高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.3 函数的最大(小)值与导数课件 新人教A版选修22.ppt

第一章 导数及其应用 1 3导数在研究函数中的应用 1 3 3函数的最大 小 值与导数 自主预习学案 1 函数y f x 在闭区间 a b 上取得最值的条件如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是 的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 1 求函数y f x 在 内的极值 2 将函数y f x 的 与端点处的 比较 其中 的一个是最大值 的一个是最小值 一条连续不断 a b 各极值 函数值f a f b 最大 最小 1 若函数f x x4 2x2 3 则f x a 最大值为4 最小值为 4b 最大值为4 无最小值c 最小值为 4 无最大值d 既无最大值 也无最小值 解析 f x 4x3 4x 由f x 0得x 1或x 0 易知f 1 f 1 4为极大值也是最大值 故应选b b a 3 已知函数f x x3 12x 8在区间 3 3 上的最大值与最小值分别为m m 则m m 32 解析 令f x 3x2 12 0 得x 2或x 2 列表得 4 已知f x x2 mx 1在区间 2 1 上的最大值就是函数f x 的极大值 则m的取值范围是 4 2 互动探究学案 命题方向1 求函数的最值 典例1 c 规律总结 求函数最值的四个步骤 第一步求函数的定义域 第二步求f x 解方程f x 0 第三步列出关于x f x f x 的变化表 第四步求极值 端点值 确定最值 特别警示 不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较 跟踪练习1 2018 青岛高二检测 已知a为实数 f x x2 4 x a 若f 1 0 1 求a的值 2 求函数f x 在 2 2 上的最大值和最小值 命题方向2 含参数的函数最值问题 设函数f x x3 ax2 a2x m a 0 1 求函数f x 的单调区间 2 若函数f x 在x 1 1 内没有极值点 求a的取值范围 3 若对任意的a 3 6 不等式f x 1在x 2 2 上恒成立 求m的取值范围 思路分析 1 求f x 的单调区间 可解不等式f x 0 f x 0 由于f x 表达式中含参数 故需注意是否需要分类讨论 2 f x 在x 1 1 内没有极值点的含义是f x 0在 1 1 内没有实数根 故f x 在 1 1 内单调 3 f x 1在 2 2 内恒成立 则f x 在 2 2 内的最大值 1 典例2 规律总结 1 由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化 从而导致最值的变化 故含参数时 需注意是否分类讨论 2 已知函数最值求参数 可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值 通过比较它们的大小 判断出哪个是最大值 哪个是最小值 结合已知求出参数 进而使问题得以解决 跟踪练习2 2018 成都高二检测 已知函数f x ex ax2 bx 1 其中a b r e 2 71828 为自然对数的底数 设g x 是函数f x 的导函数 求函数g x 在区间 0 1 上的最小值 函数最值的应用主要体现在解决不等式恒成立时 求参数的取值范围问题 这是一种常见题型 主要应用分离参数法 然后转化为求函数的最值问题 在求最值时 可以借助导数求值 函数最值的综合应用 典例3 思路分析 第 1 小题可通过配方法求f x 的最小值 第 2 小题由h t 2t m 得h t 2t m 可转化为当函数g t h t 2t在区间 0 2 上的最大值小于m时 求实数m的取值范围的问题 当t变化时 g t g t 的变化情况如下表 由上表可知当t 1时 g t 有极大值g 1 1 又在定义域 0 2 内 g t 有唯一的极值点 函数g t 的极大值也就是g t 在定义域 0 2 内的最大值g t max 1 h t 1时上式成立 实数m的取值范围是 1 规律总结 将证明或求解不等式问题转化为研究一个函数的最值问题可以使问题解决变得容易 一般地 若不等式a f x 恒成立 a的取值范围是a f x max 若不等式a f x 恒成立 则a的取值范围是a f x min 没有准确把握条件致误 典例4 点评 由直线与曲线相切的定义知 直线l与曲线c相切于某点p是一个局部定义 当l与c切于点p时 不能保证l与c无其它公共点 有可能还有其它切点 也有可能还有其它交点 1 函数y 2x3 3x2 12x 5在 2 1 上的最大值 最小值分别是 a 12 8b 1 8c 12 15d 5 16 解析 y 6x2 6x 12 由y 0 x 1或x 2 舍去 x 2时y 1 x 1时y 12 x 1