九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数章节复习同步练习课件 （新版）新人教版.ppt

章末复习 知识框架 归纳整合 中考链接 素养提升 知识框架 锐角三角函数 解直角三角形的简单应用 定义 定义 在rt abc中 c 90 由直角三角形中的已知元素 直角除外 求出其余未知元素的过程 叫作解直角三角形 三边之间的关系式 a2 b2 c2 解直角三角形 边角之间的关系式 两锐角之间的关系式 a b 90 三边成比例的两个三角形相似 解与坡度 坡角有关的实际问题 解与生活有关的其他实际问题 依据 a b为直角边 c为斜边 已知斜边和一直角边 基本类型 已知两直角边 已知斜边和一锐角 解与方向角有关的实际问题 解与仰角 俯角有关的实际问题 利用计算器 计算 特殊角的三角函数值 由所给度数求三角函数 已知一直角边和一锐角 一般锐角的三角函数值 由概念求三角函数值 正弦 余弦 正切 专题一有关锐角三角函数的计算 要点指导 根据锐角三角函数的定义 在直角三角形中 已知锐角的对边 邻边和斜边的长度求出锐角三角函数值 或已知直角三角形两边的长度 由勾股定理求出第三条边的长度 进而求出锐角三角函数值 归纳整合 例1如图28 z 1所示 ab是 o的直径 弦cd ab于点e 连接oc 若oc 5 cd 8 则tan coe的值为 d 相关题1 b 已知 abc中 ac 12 bc 5 ab 13 则sina的值为 专题二含特殊角的三角函数值的相关运算 要点指导 30 45 60 角的三角函数值是既容易记忆又比较常用的数值 在含有以上角度的三角函数的代数式中 代入相关数值即可求出算式的值 例2计算 相关题2 计算 3tan30 sin45 2tan45 2cos60 专题三利用解直角三角形解决实际问题 要点指导 利用解直角三角形可以解答测量物体高度 测量两地距离 航海 堤坝等实际问题 在解题过程中常涉及勾股定理 锐角三角函数知识以及方程思想 解题的关键是构造直角三角形 再利用直角三角形的边角关系进行解答 例3如图28 z 2所示 小杨在广场上的a处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕 测得屏幕下端d处的仰角为30 然后他正对大楼方向前进5m到达b处 又测得该屏幕上端c处的仰角为45 广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐 若该楼高为26 65m 小杨的眼睛离地面1 65m 求广告屏幕上端与下端之间的距离 1 732 结果精确到0 1m 解设ab的延长线与cd的延长线交于点e cbe 45 ce ae bce cbe 45 ce 26 65 1 65 25 m be 25m ae ab be 30m 在rt ade中 dae 30 答 广告屏幕上端与下端之间的距离约为7 7m 相关题3 黔东南州中考 如图28 z 3 某校教学楼ab后方有一斜坡 已知斜坡cd的长为12米 坡角 为60 根据有关部门的规定 39 时 才能避免滑坡危险 学校为了消除安全隐患 决定对斜坡cd进行改造 在保持坡脚c不动的情况下 学校至少要把坡顶d向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全 结果取整数 参考数据 sin39 0 63 cos39 0 78 tan39 0 81 例4如图28 z 4所示 在一次数学课外实践活动中 要求测教学楼的高度ab 小刚在d处用高1 5m的测角仪cd测得教学楼顶端a的仰角为30 然后向教学楼前进40m到达点e 此时测得教学楼顶端a的仰角为60 求这栋教学楼的高度ab 解设cf的延长线交ab于点g 在rt afg中 tan afg 相关题4为建设 宜居宜业宜游 山水园林式城市 内江市正在对城区沱江河段进行区域性景观打造 某施工单位为测量某河段的宽度 测量员先在河对岸岸边取一点a 再在河岸另一边取两点b c 如图28 z 5所示 在b处测得点a在北偏东30 方向上 在点c处测得点a在西北方向上 量得bc长为200米 求该河段的宽度 结果保留根号 素养提升 专题一转化思想应用 要点指导 转化思想在本章中的应用非常广泛 当不能直接求一个锐角的三角函数值时 常转化为求另一个直角三角形中与它相等的角的三角函数值 在一般三角形中 通过作出三角形的高 将一般三角形转化为两个直角三角形 再根据勾股定理 边角之间的关系 就可以求出未知线段的长度 例1如图28 z 6所示 o是 abc的外接圆 ad是 o的直径 若 o的半径为3 ac 4 则sinb的值是 c 相关题1如图28 z 7所示 a b c三点在正方形网格线的交点处 若将 acb绕着点a逆时针旋转45 得到 ac b 则tanb 的值为 b 专题二建模思想 要点指导 解直角三角形在生产 生活中有着广泛的应用 这就要求我们能从实际问题出发去分析理解题意 从而构建含直角三角形的数学模型 例2小亮和小明相约周六去登山 小亮从东坡山脚c处出发 以24米 分的速度攀登 同时 小明从西坡山脚b处出发 如图28 z 8 已知小山东坡的坡度i 1 山坡长为2400米 西坡的坡角是45 小明以什么速度攀登才能和小亮同时到达山顶a 将山路ab ac看成线段 结果保留根号 解过点a作ad bc于点d 在rt adc中 在rt abd中 b 45 相关题2如图28 z 9所示 热气球的探测器显示 从热气球a看一栋大楼顶部b的俯角为30 看这栋大楼底部c的俯角为60 热气球a的高度为240米 求这栋大楼的高度 母题1 教材p65练习第1题 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值 余弦值和正切值 中考链接 考点 锐角三角函数的概念 考情 已知直角三角形的两边长求锐角的三角函数值 或者根据锐角三角函数值求三角形的边长或求其他角的三角函数值 策略 一般地 已知一个锐角的三角函数值 求同角或其余角的另一种三角函数值 可根据三角函数的定义和勾股定理 用含一个字母的代数式表示直角三角形的三边长 即可求出所有的三角函数值 链接1 孝感中考 如图28 z 11所示 在rt abc中 c 90 ab 10 ac 8 则sina等于 a 链接2 陕西中考 在 abc中 若三边bc ca ab满足bc ca ab 5 12 13 则cosb的值为 c 母题2 教材p69习题28 1第3题 求下列各式的值 考点 特殊角的三角函数值 考情 利用特殊角的三角函数值计算 常与实数进行混合运算 策略 1 在进行实数的混合运算时 首先要明确与实数有关的概念 性质 运算法则和运算律 弄清运算顺序 中考中常常将绝对值 锐角三角函数 二次根式结合在一起考查 2 要注意零指数幂和负整数指数幂的意义 负整数指数幂的运算 a p 1 ap a 0 且p是正整数 零指数幂的运算 a0 1 a 0 链接3 大庆中考 2cos60 a 链接4在 abc中 若锐角 a b满足则 c的度数是 a 45 b 60 c 75 d 105 d 母题3 教材p75例4 热气球的探测器显示 从热气球看一栋楼顶部的仰角为30 看这栋楼底部的俯角为60 热气球与楼的水平距离为120m 这栋楼有多高 结果取整数 考点 解直角三角形 仰角与俯角 考情 利用仰角与俯角测量物体的高度 策略 通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形的问题 然后利用解直角三角形的知识来解决 这是解此类问题的常规思路 链接5 长春中考 如图28 z 12 某地修建高速公路 要从a地向b地修一条隧道 点a b在同一水平面上 为了测量a b两地之间的距离 一架直升机从a地出发 垂直上升800米到达c处 在c处观察b地的俯角为 则a b两地之间的距离为 a 800sin 米b 800tan 米 d 链接6 河南中考 如图28 z 13所示 小东在教学楼距地面9米高的窗口c处 测得正前方旗杆顶部a点的仰角为37 旗杆底部b点的俯角为45 升旗时 国旗上端悬挂在距地面2 25米处 若国旗随国歌声冉冉升起 并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端 则国旗应以多少米 秒的速度匀速上升 参考数据 sin37 0 60 cos37 0 80 tan37 0 75 解如图28 z 13所示 在rt bcd中 bd 9米 bcd 45 则cd bd 9米 在rt acd中 cd 9米 acd 37 则所以ab ad bd 15 75米 所以整个过程中国旗上升的高度是15 75 2 25 13 5 米 所以国旗上升的速度v 0 3 米 秒 答 国旗应以0 3米 秒的速度匀速上升 链接7 达州中考 在数学实践活动课上 老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度 如图28 z 14 用测角仪在a处测得雕塑顶端点c的仰角为30 再往雕塑方向前进4米至b处 测得仰角为45 问 该雕塑有多高 测角仪高度忽略不计 结果不取近似值 解如图28 z 14所示 过点c作cd ab交ab的延长线于点d 设cd x米 cbd 45 bdc 90 bd cd x米 a 30 ad ab bd 4 x 米 母题4 教材p77练习第1题 如图28 z 15 海中有一个小岛a 它周围8nmile内有暗礁 渔船跟踪鱼群由西向东航行 在b点测得小岛a在北偏东60 方向上 航行12nmile到达d点 这时测得小岛a在北偏东30 方向上 如果渔船不改变航线继续向东航行 有没有触礁的危险 考点 解直角三角形的应用 方向角 考情 利用解直角三角形解决航海问题是中考中重要的考点之一 主要以解答题的形式出现 策略 运用锐角三角函数的概念 得到直角三角形边角之间的关系 然后利用锐角三角函数的知识得到实际问题的答案 这是解直角三角形的应用问题中最常见的方法 链接8 成都中考 科技改变生活 手机导航极大方便了人们的出行 如图28 z 16 小明一家自驾到古镇c游玩 到达a地后 导航显示车辆应沿北偏西60 方向行驶4千米至b地 再沿北偏东45 方向行驶一段距离到达古镇c 小明发现古镇c恰好在a地的正北方向 求b c两地之间的距离 解如图28 z 16 过点b作bd ac于点d 在rt abd中 bd ab sin bad 4 2 千米 在rt bcd中 cbd 45 bcd是等腰直角三角形 链接9 襄阳中考 为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办 某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情 以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道ab由西向东行驶 在a处测得岸边一建筑物p在北偏东30 方向上 继续行驶40秒到达b处时 测得建筑物p在北偏西60 方向上 如图28z 17所示 求建筑物p到赛道ab的距离 结果保留根号 解过点p作pc ab于点c 由题意可知 pac 60 pbc 30 母题5 教材p77练习第2题 如图28 z 18 拦水坝的横断面为梯形abcd af de 6m 斜面坡度i 1 1 5是指坡面的铅直高度af与水平宽度bf的比 斜面坡度i 1 3是指de与ce的比 根据图中数据 求 1 坡角 和 的度数 2 斜坡ab的长 结果保留小数点后一位 考点 解直角三角形的应用 坡度与坡角 考情 已知坡度求坡角或其他线段的长度等 策略 通过作高构造直角三角形 根据坡度及锐角三角函数的概念求解 链接10 徐州中考 如图28 z 19 一座堤坝的横截面是梯形 根据图中给出的数据 求坝高和坝底宽 坝底宽精确到0 1m 参考数据 1 414 1 732 解如图28 z 19所示 分别过点a d作bc的垂线af de 分别交bc于点f e 在rt cde中 12 124 12 12 m 四边形afed是矩形 ef ad 6m af de 7m 在rt abf中 b 45 bf af 7m bc bf ef ce 7 6 12 12 25 12 25 1 m 答 该堤坝的坝高和坝底宽分别为7m和25 1m 链接11 贺州中考 图28 z 20是某市一座人行天桥的示意图 天桥离