湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 3.2.1直线的点斜式方程学案 新人教版必修2.doc

32.1直线的点斜式方程提出问题斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线问题1：已知某一斜拉索过桥塔上一点b，那么该斜拉索位置确定吗？提示：不确定从一点可引出多条斜拉索问题2：若某条斜拉索过点b(0，b)，斜率为k，则该斜拉索所在直线上的点p(x，y)满足什么条件？提示：满足k.问题3：可以写出问题2中的直线方程吗？提示：可以方程为ybkx.导入新知1直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点p(x0，y0)，斜率为k，则把方程yy0k(xx0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式(2)说明：如图所示，过定点p(x0，y0)，倾斜角是90的直线没有点斜式，其方程为xx00，或xx0.2直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程ykxb叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距倾斜角是直角的直线没有斜截式方程化解疑难1关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：已知一点p(x0，y0)和斜率k；斜率必须存在只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程(2)方程yy0k(xx0)与方程k不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点p(x0，y0)的一条直线(3)当k取任意实数时，方程yy0k(xx0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线2斜截式与一次函数的解析式相同，都是ykxb的形式，但有区别，当k0时，ykxb即为一次函数；当k0时，yb，不是一次函数，一次函数ykxb(k0)必是一条直线的斜截式方程截距不是距离，可正、可负也可为零 例1(1)经过点(5,2)且平行于y轴的直线方程为_(2)直线yx1绕着其上一点p(3,4)逆时针旋转90后得直线l，则直线l的点斜式方程为_(3)求过点p(1,2)且与直线y2x1平行的直线方程为_解析(1)直线平行于y轴，直线不存在斜率，方程为x5.(2)直线yx1的斜率k1，所以倾斜角为45.由题意知，直线l的倾斜角为135，所以直线l的斜率ktan 1351，又点p(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y4(x3)(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点p(1,2)，直线方程为y22(x1)，即2xy0.答案(1)x5(2)y4(x3)(3)2xy0类题通法已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用当直线的斜率不存在时，直线方程为xx0.活学活用1写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点a(2,5)，斜率是4；(2)经过点b(2,3)，倾斜角是45；(3)经过点c(1，1)，与x轴平行解：(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y54(x2)(2)直线的倾斜角为45，此直线的斜率ktan451.直线的点斜式方程为y3x2.(3)直线与x轴平行，倾斜角为0，斜率k0.直线的点斜式方程为y10(x1)，即y1. 例2(1)倾斜角为150，在y轴上的截距是3的直线的斜截式方程为_(2)已知直线l1的方程为y2x3，l2的方程为y4x2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程解析(1)倾斜角150，斜率ktan 150，由斜截式可得所求的直线方程为yx3.(2)由斜截式方程知直线l1的斜率k12，又ll1，l的斜率kk12.由题意知l2在y轴上的截距为2，l在y轴上的截距b2，由斜截式可得直线l的方程为y2x2.答案(1)yx3类题通法1斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在当b0时，ykx表示过原点的直线；当k0时，yb表示与x轴平行(或重合)的直线2截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数活学活用2求倾斜角是直线yx1的倾斜角的，且在y轴上的截距是5的直线方程解：直线yx1的斜率k，其倾斜角120，由题意，得所求直线的倾斜角130，故所求直线的斜率k1tan 30.所求直线的斜率是，在y轴上的截距为5，所求直线的方程为yx5. 例3当a为何值时，(1)两直线yax2与y(a2)x1互相垂直？(2)两直线yx4a与y(a22)x4互相平行？解(1)设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1a，k2a2.两直线互相垂直，k1k2a(a2)1，解得a1.故当a1时，两条直线互相垂直(2)设两直线的斜率分别为k3，k4，则k31，k4a22.两条直线互相平行，解得a1.故当a1时，两条直线互相平行类题通法判断两条直线位置关系的方法直线l1：yk1xb1，直线l2：yk2xb2.(1)若k1k2，则两直线相交(2)若k1k2，则两直线平行或重合，当b1b2时，两直线平行；当b1b2时，两直线重合(3)特别地，当k1k21时，两直线垂直(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑活学活用3(1)若直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直，则a_.(2)若直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行，则a_.解析：(1)由题意可知kl12a1，kl24.l1l2，4(2a1)1，解得a.(2)因为l1l2，所以a221，且2a2，解得a1，所以a1时两直线平行答案：(1)(2)1典例已知直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，当l1l2时，求m的值解由题设l2的方程可化为yxm，则其斜率k2，在y轴上的截距b2m.l1l2，l1的斜率一定存在，即m0.l1的方程为yx.由l1l2，得解得m1.m的值为1.易错防范1两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合2解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合成功破障当a为何值时，直线l1：y2ax2a与直线l2：y(a23)x2平行？解：l1l2，a232a且2a2，解得a3.随堂即时演练1直线y2x3的斜率和在y轴上的截距分别等于()a2,3b3，3c3,2 d2，3答案：d2直线l经过点p(2，3)，且倾斜角45，则直线的点斜式方程是()ay3x2 by3x2cy2x3 dy2x3解析：选a直线l的斜率ktan 451，直线l的方程为y3x2.3过点(2，4)，倾斜角为60的直线的点斜式方程是_解析：60，ktan 60，由点斜式方程，得y4(x2)答案：y4(x2)4在y轴上的截距为2，且与直线y3x4平行的直线的斜截式方程为_解析：直线y3x4的斜率为3，所求直线与此直线平行，斜率为3，又截距为2，由斜截式方程可得y3x2.答案：y3x25(1)求经过点(1,1)，且与直线y2x7平行的直线的方程；(2)求经过点(2，2)，且与直线y3x5垂直的直线的方程解：(1)由y2x7得其斜率为2，由两直线平行知所求直线的斜率是2.所求直线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)由y3x5得其斜率为3，由两直线垂直知，所求直线的斜率是.所求直线方程为y2(x2)，即x3y80.课时达标检测一、选择题1已知直线的方程是y2x1，则()a直线经过点(1,2)，斜率为1b直线经过点(2，1)，斜率为1c直线经过点(1，2)，斜率为1d直线经过点(2，1)，斜率为1解析：选c直线的方程可化为y(2)x(1)，故直线经过点(1，2)，斜率为1.2直线yax的图象可能是()解析：选b由yax可知，斜率和截距必须异号，故b正确3与直线y2x1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是()ayx4 by2x4cy2x4 dyx4解析：选d因为所求直线与y2x1垂直，所以设直线方程为yxb.又因为直线在y轴上的截距为4，所以直线的方程为yx4.4过点(1,3)且垂直于直线x2y30的直线方程为()a2xy10 b2xy50cx2y50 dx2y70解析：选a在斜率存在的条件下，两条直线垂直的充要条件是斜率互为负倒数，则所求直线的斜率为2，所求直线的方程为y32(x1)，即2xy10.5过点(1,0)且与直线yx1平行的直线方程是()ax2y10 bx2y10c2xy20 dx2y10解析：选a与直线yx1平行的直线方程可设为：yxc，将点(1,0)代入得0c，解得c，故直线方程为yx即x2y10.二、填空题6过点(3,2)且与直线y1(x5)平行的直线的点斜式方程是_解析：与直线y1(x5)平行，故斜率为，所以其点斜式方程是y2(x3)答案：y2(x3)7直线yax3a2(ar)必过定点_解析：将直线方程变形为y2a(x3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3,2)答案：(3,2)8过点(4，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为_解析：依题意设l的方程为y3k(x4)令x0，得y4k3；令y0，得x.因此4k3.解得k1或k.故所求方程为yx1或yx.答案：yx1或yx三、解答题9已知三角形的顶点坐标是a(5,0)，b(3，3)，c(0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程解：直线ab的斜率kab，过点a(5,0