高中数学 第四章 导数应用 4.2.2 最大值、最小值问题（一）课件 北师大版选修11.ppt

2 2最大值 最小值问题 一 第四章导数应用 学习导航 第四章导数应用 1 最大值点与最小值点函数y f x 在区间 a b 上的最大值点x0指的是 函数在这个区间上所有点的函数值都 f x0 函数y f x 在区间 a b 上的最小值点x0指的是 函数在这个区间上所有点的函数值都 f x0 不超过 不低于 2 最大值与最小值最大 小 值或者在极大 小 值点取得 或者在区间的端点取得 因此 要想求函数的最大 小 值 应首先求出函数的极大 小 值点 然后将所有极大 小 值点与区间端点的函数值进行比较 其中最大 小 的值即为函数的最大 小 值 函数的最大值和最小值统称为 最值 3 函数的最大值与最小值函数f x 在闭区间 a b 上的图像是一条连续不间断的曲线 则该函数在 a b 上一定能够取得最大值与最小值 函数的最值必在端点处或极值点处取得 注意 在开区间 a b 上连续函数y f x 的最值有如下几种情况 图 中的函数y f x 在开区间 a b 上有最大值无最小值 图 中的函数y f x 在开区间 a b 上有最小值无最大值 图 中的函数y f x 在开区间 a b 上既无最大值也无最小值 图 中的函数y f x 在开区间 a b 上既有最大值也有最小值 4 函数的最值与极值的区别和联系 1 函数的最值是一个整体性的概念 函数极值是在局部上对函数值的比较 具有相对性 而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况 是对整个区间上的函数值的比较 2 函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值 则最大值或最小值只能各有一个 具有唯一性 而极大值和极小值可能多于一个 也可能没有 例如 常数函数既没有极大值也没有极小值 3 极值只能在区间内取得 最值则可以在端点处取得 有极值的不一定有最值 有最值的也未必有极值 极值有可能成为最值 最值只要不在端点处取得必定是极值 1 判断正误 正确的打 错误的打 1 函数的最值一定是极值 而极值不一定是最值 2 函数的最大值大于最小值 函数的极大值大于极小值 3 单调函数在闭区间上一定有最值 一定无极值 4 若函数存在最大 小 值 则最大 小 值唯一 a 求函数在闭区间上的最值 求函数f x x4 2x2 3 x 3 2 的最值 解 法一 f x 4x3 4x 令f x 4x x 1 x 1 0 得x 1 x 0 x 1 当x变化时 f x 及f x 的变化情况如下表 当x 3时 f x 取最小值 60 当x 1或x 1时 f x 取最大值4 法二 f x x4 2x2 3 f x 4x3 4x 令f x 0 即 4x3 4x 0 解得 x 1或x 0或x 1 又f 3 60 f 1 4 f 0 3 f 1 4 f 2 5 所以当x 3时 f x 有最小值 60 当x 1时 f x 有最大值4 方法归纳求一个函数在闭区间 a b 上的最值 一般是先求出f x 在 a b 内所有极值和两个端点值f a f b 再比较各极值与端点值即可得到函数在 a b 上的最值 求含参数函数的最值 2013 高考浙江卷改编 函数f x 2x3 3 a 1 x2 6ax a 1 求f x 在闭区间 0 2 a 上的最小值 解 记g a 为f x 在闭区间 0 2 a 上的最小值 f x 6x2 6 a 1 x 6a 6 x 1 x a 令f x 0 得x1 1 x2 a 当a 1时 方法归纳求含参数函数最值的步骤是 先求导 令导数等于0 求得方程的根 方程的根都是含有参数的 然后对参数进行分类讨论 参数的取值范围不同时 函数的最值也可能有所不同 已知函数f x ax3 6ax2 b x 1 2 的最大值为3 最小值为 29 求a b的值 解 由题设知a 0 否则f x b为常函数 与题设矛盾 根据导数公式表和求导法则可得 f x 3ax2 12ax 3ax x 4 令f x 0 得x1 0 x2 4 舍去 当a 0时 列表如下 感悟提高 此类问题关键在于确定最值 然后列方程 组 求出参数 但参数的值往往对最值点有影响 故常需分类讨论 感悟提高 本例由于f x 的解析式中含绝对值 首先对x进行分类讨论 以去掉绝对值号 然后再对参数a进行分类讨论 两次分类讨论的对象和出发点不同 已知函数f x x3 3ax2 2bx在x 1处有极小值 1 1 求函数f x 的单调区间 2 求函数f x 在闭区间 2 2 上的最大值和最小值 2 由 1 知 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由表中数据知 函数f x 在x 2时 取得最大值2 在x 2时 取得最小