理论力学--质点力学习题.pdf

2014 3 13 第一章 习题课 1 理 论 力 学 教材 周衍柏 理论力学教程 编 北京交通大学理学院 教师 王波波 2014 3 13 第一章 习题课 2 第一章 习题课 1 4 P76 细杆细杆OL绕绕O点一匀角速点一匀角速w转动转动 并推动小环并推动小环 C在固定的钢丝在固定的钢丝AB上滑动上滑动 图中的图中的d为一已知常数为一已知常数 试求小环的速度及加速度的量值试求小环的速度及加速度的量值 解 小环解 小环C作一维运动 以作一维运动 以AB为为x轴 轴 A为坐标原点为坐标原点 O B A x d L tanxd tan xd 2 1 cos dw 2 secdw 22 ddww 2 sec xdw 2 3 2sin cos d w 2222 2 x dxdw 2014 3 13 第一章 习题课 3 解 解 cos sinxryr cossinxrr cossinyrr 2 cossinsinsincosxrrrrr 2 cos2sinrrrr 2 sincoscoscossinyrrrrr 2 sin2cosrrrr 1 7 P77 试自试自 出发出发 计算计算 及及 并由此推出径向加速度并由此推出径向加速度 及及 横向加速度横向加速度 cos sinxryr xy r a a 2014 3 13 第一章 习题课 4 cossinsinvxiy jrrirrj axiy j 2 2 cos2sin sin2cos rrrri rrrrj i j i j r x y o cos sin sin cosiijjij cossin cos sin sin sin cos vrrij rrij rir j 故故 r vr vr 同理可证 同理可证 2 2 r arrarr 2014 3 13 第一章 习题课 5 解 解 2 p p 2 p p x y O 2 n dvv aa dt 题设题设 2 n aka 所以所以 2 2 dvv k dt 而而 dsds dtdt v ddt dd 于是于是 2 dvd kv dtdt 或或 2 dv kd v 1 10 P77 一质点沿抛物线一质点沿抛物线 运动运动 其切向加其切向加 速度的量值是法向加速度量值的速度的量值是法向加速度量值的 倍倍 如此质如此质 点从正交弦点从正交弦 的一端以速度的一端以速度u出发出发 试求其试求其 达到正交弦另一端时的速率达到正交弦另一端时的速率 2 2ypx 2k 2 pp 2014 3 13 第一章 习题课 6 2 dv kd v 2 1 2 v u dv kd v 21 ln2 v k u 21 2k vue tan dyy dsp 因为因为 1 tan1 2 tan1 12 3 444 21 2 k vue 2014 3 13 第一章 习题课 7 v x y 1 20 P79 一枪弹以仰角一枪弹以仰角a 初速初速v0自倾角为自倾角为 的斜面的斜面 的下端发射的下端发射 试证子弹击中斜面的地方和发射点试证子弹击中斜面的地方和发射点 的距离的距离d 沿斜面度量沿斜面度量 及此距离的最大值分别为及此距离的最大值分别为 解 解 0 mx mymg 两次积分两次积分 0 2 0 cos 1 sin 2 xtv ytvgt 2 0 2 cossin2 cos v d g 2 2 0 max 2 sec 42 v d g 2014 3 13 第一章 习题课 8 1 2 两式联立两式联立 求得枪弹落在斜面上的点 求得枪弹落在斜面上的点 22 0 22 0 tantan 2cos tantan 2costan xv g yv g 22 dxy 2 1 tanx 22 0 tantan1 2cos cos v g 2 0 2 cossin2 cos v g 消去消去t 得轨道方程 得轨道方程 2 22 0 1 tan 2cos g yxx v 斜面方程为斜面方程为 tanyx 1 2 2014 3 13 第一章 习题课 9 2 0 2 cossin2 cos v d g 求极值 一阶导数为零求极值 一阶导数为零 2 0 2 2dd cossin0 dcosd vd g 给出给出 cos 20 即即 2 2 42 2 2 0 max 2 cossin 22 cos2 2 v d g 2 2 0 2 sec 42 v g 2014 3 13 第一章 习题课 10 解解 切向方程切向方程 sin dv mmg dt 法向方程法向方程 86420 2 4 6 8 0 0 5 1 1 5 2 2 cos v Rmgm sin dy ds 1 2 3 1 29 P80 一质量为一质量为m的质点自光滑圆滚线的尖的质点自光滑圆滚线的尖 端无初速地下滑端无初速地下滑 试证在任何一点的压力为试证在任何一点的压力为 式中式中 为水平线和质点运动方向为水平线和质点运动方向 之间的夹角之间的夹角 已知圆滚线方程为已知圆滚线方程为 2cosmg 2sin2 1 cos2xaya 几何关系几何关系 2014 3 13 第一章 习题课 11 vdvgdy 初始时刻初始时刻 0 0 0 2 txayv 00 vy vdvgdy 2vgy 22 4 cos dsdxdy a ddd 4 5 将 将 4 5 代入 代入 2 2 cos v Rmgm 2cosmg 3 代入 代入 1 dv dy g dtds 即即 2014 3 13 第一章 习题课 12 1 40 P82 一质点受一与距离成反比的引力作用在一质点受一与距离成反比的引力作用在 一直线上运动一直线上运动 质点的质量为质点的质量为m 比例系数为比例系数为k 如此质如此质 点从距原点点从距原点O为为a的地方由静止开始运动的地方由静止开始运动 求其达到求其达到O 点所需的时间点所需的时间 解 解 fk x 运动方程运动方程 mxfk x 即即 k mxdxdx x 积分得积分得 0 xx a k xdxdx mx 2 22 lnln kxka x mamx 2 ln ka x mx 2014 3 13 第一章 习题课 13 2 ln dxka dtmx 2 ln dx dt ka mx 0 0 2 ln t a dx dt ka mx 0 2 ln a dx t ka mx 0 2 ln a mdx ka x 1 0 2ln mdy a ky 2 m a k 2014 3 13 第一章 习题课 14 解 解 动能定理动能定理 2 1 2 dmvF dr 角动量守恒角动量守恒 2 mhmr 1 2 角动量还可以表示为角动量还可以表示为 sinrmvmvrmvp 所以所以 mvpmh 即即 vh p 3 1 41 P82 试导出下面有心力量值的公式试导出下面有心力量值的公式 式中式中m为质点的质量为质点的质量 r为质点到力心的距离为质点到力心的距离 p为力心到轨道切线的垂直距离为力心到轨道切线的垂直距离 22 2 mh dp F dr 2 hr 常数 2014 3 13 第一章 习题课 15 3 代入代入 1 并注意到 并注意到 F drFdr 2 2 1 2 h dmFdr p 即即 22 2 mh dp F dr 得得 2014 3 13 第一章 习题课 16 解 解 已知已知 FF r va r 而而 2 22 vrr 所以所以 2 2 2 2 a rr r 1 46 P83 质点在有心力作用下运动质点在有心力作用下运动 此力的量值为此力的量值为 质点到力心距离质点到力心距离r的函数的函数 而质点的速率则与此距离而质点的速率则与此距离 成反比成反比 即即 如果如果 求质点的轨道求质点的轨道 方程方程 设当设当 时时 va r 222 ahhr 0 rr 0 利用利用 可得可得 2 rh 222 2 1 rah r 22 1dr ah dtr 2014 3 13 第一章 习题课 17 22 1dr ah d rh 0 22 0 1 r r dr ahd rh 22 0 1 ln r ah rh 注意到注意到 2 drdr ddrh dr dtddtdr d 上式变为上式变为 2014 3 13 第一章 习题课 18 解 解 2 rh 2 2 2 1 h pae k 1 2 将 将 2 代入 代入 1 22 1rk ae 3 行星椭圆运动的总能量行星椭圆运动的总能量 22 2 1 22 k mk m mv ra 1 49 P83 在行星绕太阳运动的椭圆运动中 如令在行星绕太阳运动的椭圆运动中 如令 2 cos araeEdtT 式中 式中t为周期 为周期 a为半长为半长 轴 轴 e为偏心率 为偏心率 E为一个新参量 在天文学叫做为一个新参量 在天文学叫做 偏近点角 试由能量方程导出下面的开普勒方程偏近点角 试由能量方程导出下面的开普勒方程 sinMEeE 2014 3 13 第一章 习题课 19 3 代入代入 4 2 2 222 2 k ra ear r a 椭圆运动中 其周期为椭圆运动中 其周期为 所所以所所以 5 式变为式变为 3 2 2 a k 5 22 2 22 22 4dra a ear dtr 积