江西省南昌大学附中高二数学上学期期中试卷（含解析）.doc

2015-2016学年江西省南昌大学附中高二（上）期中数学试卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1直线x+3y+1=0的倾斜角是( )abcd2二圆c1：x2+y2=1和c2：x2+y24x5=0的位置关系是( )a相交b外切c内切d外离3命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是( )a若a2+b20，则a0且b0b若a2+b20，则a0或b0c若a=0且b=0，则a2+b20d若a0或b0，则a2+b204已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( )abcy=2xd5若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为( )a2b2c4d46“1m2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件7双曲线c：=1（a0，b0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则c的焦距等于( )a2b2c4d48已知圆x22x+y22my+2m1=0，当圆的面积最小时，直线y=x+b与圆相切，则b=( )a1b1cd9已知点a（3，4），f是抛物线y2=8x的焦点，m是抛物线上的动点，当|ma|+|mf|最小时，m点坐标是( )a（0，0）b（3，2）c（2，4）d（3，2）10下列说法正确的个数为( )（1）椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为4（2）直线l：ax+ya=0在x轴和y轴上的截距互为相反数，则a的值是1（3）圆x2+y2=9的弦过点p（1，2），当弦长最短时，圆心到弦的距离为2（4）等轴双曲线的离心率为1a2b3c4d111若椭圆的离心率，右焦点为f（c，0），方程ax2+2bx+c=0的两个实数根分别是x1和x2，则点p（x1，x2）到原点的距离为( )abc2d12已知点f（c，0）（c0）是双曲线的左焦点，离心率为e，过f且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点p，且点p在抛物线y2=4cx上，则e2=( )abcd二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13设y2=4px（p0）上横坐标为6的点到焦点的距离为10，则抛物线的解析式_14过直线l：x+y2=0上一动点p作圆o：x2+y2=1两切线，切点分别为a，b，则四边形oapb面积的最小值为_15设f1，f2是双曲线的两个焦点，p是双曲线与椭圆的一个公共点，则pf1f2的面积等于_16下面给出的四个命题中：以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（x1）2+y2=1；点（1，2）关于直线l：xy+2=0对称的点的坐标为（0，3）命题“xr，使得x2+3x+4=0”的否定是“xr，都有x2+3x+40”；命题：过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有2条其中是真命题的有_（将你认为正确的序号都填上）三解答题：本大题共6个小题，17题10分，其它各题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知直线l1：3x+4y2=0与l2：2x+y+2=0的交点为p（）求交点p的坐标；（）求过点p且平行于直线l3：x2y1=0的直线方程；（）求过点p且垂直于直线l3：x2y1=0直线方程18已知双曲线c：=1（a0，b0）的离心率为，实轴长为2；（1）求双曲线c的标准方程；（2）已知直线xy+m=0与双曲线c交于不同的两点a，b，且线段ab的中点在圆x2+y2=5上，求实数m的值19已知圆c经过点a（2，1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=2x上（）求圆c的方程；（）已知直线l经过原点，并且被圆c截得的弦长为2，求直线l的方程20已知椭圆与双曲线的焦点相同，且它们的离心率之和等于（）求椭圆方程；（）过椭圆内一点m（1，1）作一条弦ab，使该弦被点m平分，求弦ab所在直线方程21已知椭圆c：+=1（ab0）经过点m（1，），其离心率为，设直线l：y=kx+m与椭圆c相交于a、b两点（1）求椭圆c的方程；（2）已知直线l与圆x2+y2=相切，求证：oaob（o为坐标原点）22在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的a、b两点且=4（1）证明直线l必过一定点，并求出该定点（2）求线段ab的中点p的轨迹方程（3）求三角形aob面积最小时，直线ab的方程2015-2016学年江西省南昌大学附中高二（上）期中数学试卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1直线x+3y+1=0的倾斜角是( )abcd【考点】直线的倾斜角【专题】计算题；直线与圆【分析】求出直线的斜率，即可求出直线的倾斜角【解答】解：直线x+3y+1=0的斜率是，倾斜角是，故选：d【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题2二圆c1：x2+y2=1和c2：x2+y24x5=0的位置关系是( )a相交b外切c内切d外离【考点】圆与圆的位置关系及其判定【专题】直线与圆【分析】先求出两圆的圆心 和半径，根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，得出两圆相外切【解答】解：圆x2+y24x5=0 即 （x2）2+y2=9，表示以（2，0）为圆心，以3为半径的圆，两圆的圆心距为2，正好等于两圆的半径之差，故两圆相内切，故选c【点评】本题考查两圆的位置关系，由两圆的圆心距等于两圆的半径之和与差，得出两圆的位置关系3命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是( )a若a2+b20，则a0且b0b若a2+b20，则a0或b0c若a=0且b=0，则a2+b20d若a0或b0，则a2+b20【考点】四种命题【专题】常规题型【分析】若原命题是“若p，则q”，则逆否命题是“若非q，则非p”也就是将命题的条件与结论都否定，再进行互换由此分别将“a2+b2=0”、“a=0且b=0”否定，得到否命题，再将其改成逆命题，就不难得出正确答案【解答】解：原命题是若a2+b2=0，则“a=0且b=0”否命题是“若a2+b20，则a0或b0”从而得到逆否命题是“若a0或b0，则a2+b20”故选d【点评】本题考查了原命题与逆否命题之间的关系，属于基础题解题时应该注意含有逻辑词的条件的否定：“p且q”的否定是“非p或非q”4已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( )abcy=2xd【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为y=x再由双曲线离心率为，得到c=a，由定义知b=a，代入即得此双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线c方程为：，双曲线的渐近线方程为y=x又双曲线离心率为，c=a，可得b=a因此，双曲线的渐近线方程为y=x故选：a【点评】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题5若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为( )a2b2c4d4【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先根据椭圆方程求出其右焦点的坐标，在于抛物线的性质可确定p的值【解答】解：椭圆中，c2=62=4，即c=2，故椭圆的右焦点为（2，0），所以抛物线y2=2px的焦点为（2，0），则p=4，故选d【点评】本题主要考查椭圆的简单性质和抛物线的标准方程，难度不大，属于基础题6“1m2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据椭圆的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则，即，解得1m2，即“1m2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，故选：c【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆方程的性质是解决本题的关键7双曲线c：=1（a0，b0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则c的焦距等于( )a2b2c4d4【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论【解答】解：=1（a0，b0）的离心率为2，e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bxay=0，则c=2a，b=，焦点f（c，0）到渐近线bxay=0的距离为，d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：c【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础8已知圆x22x+y22my+2m1=0，当圆的面积最小时，直线y=x+b与圆相切，则b=( )a1b1cd【考点】圆的切线方程【专题】直线与圆【分析】求出圆的圆心和半径，由二次函数的最值，可得最小值为1，m=1，再由直线和圆相切的条件：d=r，解方程即可得到b【解答】解：圆x22x+y22my+2m1=0的圆心为（1，m），半径为r=，当圆的面积最小时，半径r=1，此时m=1，即圆心为（1，1），由直线和圆相切的条件：d=r，可得=1，解得b=故选：c【点评】本题考查直线与圆的位置关系：相切，主要考查直线和圆相切的条件：d=r，同时考查点到直线的距离，属于基础题9已知点a（3，4），f是抛物线y2=8x的焦点，m是抛物线上的动点，当|ma|+|mf|最小时，m点坐标是( )a（0，0）b（3，2）c（2，4）d（3，2）【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设抛物线的准线为l，过m作mbl于b，过a作acl于c，利用抛物线的定义，可得结论【解答】解：设抛物线的准线为l，过m作mbl于b，过a作acl于c，由抛物线定义知|mf|=|mb|ma|+|mf|=|ma|+|mb|ac|（折线段大于垂线段），当且仅当a，m，c三点共线取等号，即|ma|+|mf|最小此时m的纵坐标为4，横坐标为2所以m（2，4）故选c【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题10下列说法正确的个数为( )（1）椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为4（2）直线l：ax+ya=0在x轴和y轴上的截距互为相反数，则a的值是1（3）圆x2+y2=9的弦过点p（1，2），当弦长最短时，圆心到弦的距离为2（4）等轴双曲线的离心率为1a2b3c4d1【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质【专题】转化思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由题意可得：1=，解得m，即可判断出；（2）当a=0时，y=0，不满足题意；当a0时，直线方程化为x+=1，则a的值是1，即可判断出正误；（3）当弦长ab最短时，abop，圆心到弦的距离d=op，利用两点之间的距离个数即可得出（4）等轴双曲线的离心率为【解答】解：（1）椭圆x2+my2=1即=1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，1=，解得m=4，正确；（2）直线l：ax+ya=0在x轴和y轴上的截距互为相反数，当a=0时，y=0，不满足题意；当a0时，直线方程化为x+=1，则a的值是1，正确；（3）圆x2+y2=9的弦过点p（1，2），当弦长ab最短时，abop，圆心到弦的距离d=，因此不正确（4）等轴双曲线的离心率为，因此不正确综上可得：正确命题的个数为2故选：a【点评】本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11若椭圆的离心率，右焦点为f（c，0），方程ax2+2bx+c=0的两个实数根分别是x1和x2，则点p（x1，x2）到原点的距离为( )abc2d【考点】椭圆的简单性质；一元二次方程的根的分布与系数的关系；两点间距离公式的应用【专题】计算题【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出 x1 +x2 和x1 x2 的值，再利用椭圆的简单性质求出p（x1，x2）到原点的距离【解答】解：由题意知 x1 +x2 =2 ，（x1+x2）2=4（1e2）=3 ，x1 x2 = ，由解得 x12+x22=2，故p（x1，x2）到原点的距离为 =，故选 a【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，两点间的距离公式，椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用12已知点f（c，0）（c0）是双曲线的左焦点，离心率为e，过f且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点p，且点p在抛物线y2=4cx上，则e2=( )abcd【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质、相似三角形的性质即可得出【解答】解：如图，设抛物线y2=4cx的准线为l，作pql于q，设双曲线的右焦点为f，p（x，y）由题意可知ff为圆x2+y2=c2的直径，pfpf，且tanpff=，|ff|=2c，满足，将代入得x2+4cxc2=0，则x=2cc，即x=（2）c，（负值舍去）代入，即y=，再将y代入得，=e21即e2=1+=故选：d【点评】本题考查双曲线的性质，掌握抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质是解题的关键二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13设y2=4px（p0）上横坐标为6的点到焦点的距离为10，则抛物线的解析式y2=16x【考点】抛物线的简单性质【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求得抛物线的焦点和准线的方程，运用抛物线的定义可得横坐标为6的点到焦点的距离为10，即有横坐标为6的点到准线的距离为10，解方程可得p=4，进而得到抛物线的方程【解答】解：y2=4px（p0）的焦点为（p，0），准线方程为x=p，由抛物线的定义可得，横坐标为6的点到焦点的距离为10，即有横坐标为6的点到准线的距离为10，即6+p=10，解得p=4，则抛物线的方程为y2=16x，故答案为：y2=16x【点评】本题考查抛物线的解析式的求法，注意运用抛物线的定义，考查运算能力，属于基础题14过直线l：x+y2=0上一动点p作圆o：x2+y2=1两切线，切点分别为a，b，则四边形oapb面积的最小值为1【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】四边形paob为2个对称的直角三角形构成，由oa与ob为圆的半径，其值固定不变，得到当po最小值，四边形paob的面积最小，即圆心到直线的距离最小，利用点到直线的距离公式求出po的长，利用勾股定理求出此时ap的长，利用三角形的面积公式求出两直角三角形的面积，即为四边形paob面积的最小值【解答】解：由圆x2+y2=1，得到圆心o坐标为（0，0），半径r=1，又直线x+y2=0，|po|min=，又|oa|=1，在rtaop中，利用勾股定理得：|ap|=1，则四边形paob面积的最小值s=2|oa|ap|=1故答案为：1【点评】此题考查了直线与圆方程的应用，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，勾股定理，以及三角形面积的求法，其中根据题意得到|po|的最小时，rtapo面积最小是解本题的关键15设f1，f2是双曲线的两个焦点，p是双曲线与椭圆的一个公共点，则pf1f2的面积等于24【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意，|f1f2|=10，椭圆与双曲线共焦点，利用椭圆、双曲线的定义，求出pf1f2的三边，即可求其面积【解答】解：由题意，|f1f2|=10，椭圆与双曲线共焦点p是双曲线与椭圆的一个公共点，（不妨设是右支上一点）|pf1|+|pf2|=14，|pf1|pf2|=2，|pf1|=8，|pf2|=6，|f1f2|=10，pf1f2是直角三角形，pf1f2的面积等于=24故答案为：24【点评】本题考查三角形面积的计算，考查椭圆、双曲线的定义，求出pf1f2的三边是关键16下面给出的四个命题中：以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（x1）2+y2=1；点（1，2）关于直线l：xy+2=0对称的点的坐标为（0，3）命题“xr，使得x2+3x+4=0”的否定是“xr，都有x2+3x+40”；命题：过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有2条其中是真命题的有（将你认为正确的序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用【专题】方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑【分析】以抛物线y2=4x的焦点（1，0）为圆心，且过坐标原点的圆的半径为1，可得原点方程，即可判断出正误；设点（1，2）关于直线l：xy+2=0对称的点的坐标为（x，y），则，解得即可判断出正误利用命题的否定定义即可判断出正误；这样的直线有3条，分别为x=0，y=1，y=x+1，即可判断出正误【解答】解：以抛物线y2=4x的焦点（1，0）为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（x1）2+y2=1，正确；设点（1，2）关于直线l：xy+2=0对称的点的坐标为（x，y），则，解得，因此所求对称点为（0，3），正确命题“xr，使得x2+3x+4=0”的否定是“xr，都有x2+3x+40”，正确；命题：过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有3条，分别为x=0，y=1，y=x+1，因此不正确其中是真命题的有故答案为：【点评】本题考查了圆锥曲线的判定方法、命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三解答题：本大题共6个小题，17题10分，其它各题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知直线l1：3x+4y2=0与l2：2x+y+2=0的交点为p（）求交点p的坐标；（）求过点p且平行于直线l3：x2y1=0的直线方程；（）求过点p且垂直于直线l3：x2y1=0直线方程【考点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标【专题】计算题【分析】（）联立两直线的方程，得到一个关于x与y的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到交点p的坐标；（）根据两直线平行时，斜率相等，由直线l3的斜率设出所求直线的方程为x2y+m=0，把第一问求出的p的坐标代入即可确定出m的值，进而确定出所求直线的方程；（）根据两直线垂直时，斜率的乘积为1，由直线l3的斜率求出所求直线的斜率，设出所求直线的方程，把p的坐标代入即可确定出所求直线的方程【解答】（本小题满分12分）解：（）由，解得，所以点p的坐标是（2，2）； （）因为所求直线与l3平行，所以设所求直线的方程为 x2y+m=0把点p的坐标代入得222+m=0，得m=6故所求直线的方程为x2y+6=0； （）因为所求直线与l3垂直，所以设所求直线的方程为 2x+y+n=0把点p的坐标代入得 2（2）+2+n=0，得n=2故所求直线的方程为 2x+y+2=0 【点评】此题考查了直线的一般式方程，以及两直线的交点坐标，两直线方程的交点坐标的求法为：联立两直线的解析式组成方程组，求出方程组的解可得交点坐标，同时要求学生掌握两直线平行及垂直时斜率满足的关系18已知双曲线c：=1（a0，b0）的离心率为，实轴长为2；（1）求双曲线c的标准方程；（2）已知直线xy+m=0与双曲线c交于不同的两点a，b，且线段ab的中点在圆x2+y2=5上，求实数m的值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）依题意得2a=2，由此能求出双曲线方程（2）设点a（x1，y1），b（x2，y2）ab的中点m（x0，y0），由，得x22mxm22=0，由此能求出实数m的值【解答】解：（1）依题意得2a=2，a=1，b2=c2a2=2，双曲线方程为：（2）设点a（x1，y1），b（x2，y2）ab的中点m（x0，y0），由得x22mxm22=0，点m在圆上，m2+（2m）2=5，m=1【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用19已知圆c经过点a（2，1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=2x上（）求圆c的方程；（）已知直线l经过原点，并且被圆c截得的弦长为2，求直线l的方程【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程【专题】综合题；直线与圆【分析】（）设出圆心的坐标为（a，2a），利用两点间的距离公式表示出圆心到a的距离即为圆的半径，且根据圆与直线x+y=1相切，根据圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出圆心坐标，进而求出圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可（）分类讨论，利用被圆c截得的弦长为2，求出直线的斜率，即可求直线l的方程【解答】解：（）设所求圆心坐标为（a，2a）由条件得=，化简得a22a+1=0，a=1，圆心为（1，2），半径r=所求圆方程为（x1）2+（y+2）2=2（）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，此时直线l被圆c截得的弦长为2，满足条件当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，由题得=1，解得k=，直线l的方程为y=x综上所述：直线l的方程为x=0或y=x【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，常常利用此性质列出方程来解决问题20已知椭圆与双曲线的焦点相同，且它们的离心率之和等于（）求椭圆方程；（）过椭圆内一点m（1，1）作一条弦ab，使该弦被点m平分，求弦ab所在直线方程【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）求出椭圆的焦点和离心率，进而得到双曲线的离心率和焦点，再由椭圆的a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；（）设出弦ab的端点的坐标，代入椭圆方程和中点坐标公式，运用作差，结合平方差公式和斜率公式，由点斜式方程即可得到直线ab的方程【解答】解：（）双曲线的焦点为（0，4），（0，4），离心率为=2，则椭圆的方程为+=1（ab0），且离心率e=2=，由于c=4，则a=5，b=3，则椭圆方程为+=1；（）设a（x1，y1），b（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2，+=1，+=1，两式相减可得，+=0，即有kab=，则直线ab所在方程为y1=（x1），由于m在椭圆内，则弦ab存在则所求直线ab的方程为25x+9y34=0【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查中点坐标公式和点差法的运用，考查运算能力，属于中档题21已知椭圆c：+=1（ab0）经过点m（1，），其离心率为，设直线l：y=kx+m与椭圆c相交于a、b两点（1）求椭圆c的方程；（2）已知直线l与圆x2+y2=相切，求证：oaob（o为坐标原点）【考点】椭圆的简单性质【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由离心率及a2=b2+c2，得a与b的关系式，再将点m的坐标代入椭圆方程中，求解关于a，b的二元二次