高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.4 空间直角坐标系课件 新人教B版必修2.ppt

2 4空间直角坐标系 1 通过具体情境 感受建立空间直角坐标系的必要性 了解空间直角坐标系 会用空间直角坐标系刻画点的位置 2 会推导空间两点间的距离公式 并能在具体问题中正确应用 1 2 3 1 空间直角坐标系的建立为了确定空间点的位置 在平面直角坐标系xoy的基础上 通过原点o 再作一条数轴z 使它与x轴 y轴都垂直 这样它们中的任意两条都互相垂直 轴的方向通常这样选择 从z轴的正方向看 x轴的正半轴沿逆时针方向转90 能与y轴的正半轴重合 这样就在空间建立了一个空间直角坐标系oxyz o叫做坐标原点 每两条坐标轴分别确定的平面yoz xoz xoy叫做坐标平面 三个坐标平面把空间分成八个卦限 如图 1 2 3 xoy平面 由x轴及y轴确定的坐标面 xoz平面 由x轴及z轴确定的坐标面 yoz平面 由y轴及z轴确定的坐标面 1 2 3 2 点在空间直角坐标系中的坐标取定了空间直角坐标系后 就可以建立空间内的任意一点与三个实数的有序数组 x y z 之间的一一对应关系 点m为空间一已知点 在空间直角坐标系中 过这点作两条坐标轴所确定平面的平行平面 交另一条轴于一点 交点在这条轴上的坐标就是点m相应的一个坐标 设点m在x轴 y轴 z轴的坐标依次为x y z 于是空间的点m就唯一确定了一个有序数组x y z 这组数x y z就叫做点m的坐标 记为 x y z 并依次称x y和z为点m的x坐标 y坐标和z坐标 反之 设 x y z 为一个三元有序数组 过x轴上坐标为x的点 y轴上坐标为y的点 z轴上坐标为z的点 分别作平面yoz xoz xoy的平行平面 这三个平面的交点m便是三元有序数组 x y z 唯一确定的点 所以 通过空间直角坐标系 我们就建立了空间的点m和有序数组 x y z 之间的一一对应关系 1 2 3 八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点 1 2 3 归纳总结坐标轴及坐标平面上点的坐标形式 1 2 3 做一做1 若半径为r的球在第 卦限内 且与各坐标平面均相切 则球心的坐标是 a r r r b r r r c r r r d r r r 答案 b 1 2 3 3 空间两点的距离公式空间两点的距离公式可以看作平面内两点间距离公式的推广 如图 m1 x1 y1 z1 p x2 y1 z1 m2 x2 y2 z2 n x2 y2 z1 m1p x2 x1 pn y2 y1 m2n z2 z1 m1n 2 m1p 2 pn 2 x2 x1 2 y2 y1 2 m1m2 2 m1n 2 nm2 2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 1 2 3 1 2 3 做一做2 求下列两点间的距离 1 a 1 1 0 b 1 1 1 2 c 3 1 5 d 0 2 3 求空间一点a x y z 关于坐标轴 坐标原点 坐标平面的对称点的坐标 剖析 对称点坐标问题 无非就是中点与垂直问题 空间点关于点的对称点 与平面内点关于点的对称点定义一样 已知点与其对称点连接所得线段的中点即为对称中心 空间点关于已知直线的对称点 与平面内点关于已知直线的对称点的定义一样 已知点与其对称点连接所得线段被对称轴垂直平分 连接空间点与其关于已知平面的对称点的线段垂直于平面 且中点在平面内 a x y z 关于坐标平面xoy的对称点a1 x y z a x y z 关于坐标平面yoz的对称点a2 x y z a x y z 关于坐标平面xoz的对称点a3 x y z a x y z 关于x轴的对称点a4 x y z a x y z 关于y轴的对称点a5 x y z a x y z 关于z轴的对称点a6 x y z a x y z 关于原点的对称点a7 x y z 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 已知一个长方体的长 宽 高分别为5 3 4 试建立适当的空间直角坐标系 将长方体的各个顶点表示出来 分析 可以以长方体的一个顶点为原点 建立空间直角坐标系 也可以以长方体的中心作为原点 题型一 题型二 题型三 题型四 解 如图 以a为坐标原点 ab 3所在的直线为x轴 ad 5所在的直线为y轴 aa1 4所在的直线为z轴 建立空间直角坐标系oxyz 则a 0 0 0 b 3 0 0 d 0 5 0 a1 0 0 4 c 3 5 0 d1 0 5 4 b1 3 0 4 c1 3 5 4 反思建立适当的坐标系的原则一般是让更多的点落在坐标轴上 进而使得点的坐标表示比较简单 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 已知棱长为1的正方体abcd a b c d 如图 建立空间直角坐标系 试写出正方体各顶点的坐标 题型一 题型二 题型三 题型四 例2 在空间直角坐标系中 给定点m 1 2 3 求它分别关于三个坐标平面 三条坐标轴和原点的对称点的坐标 分析 此题要类比平面直角坐标系中点的对称问题 要掌握对称点的变化规律 才能准确求解 解 m 1 2 3 关于坐标平面xoy对称的点是 1 2 3 关于xoz平面对称的点是 1 2 3 关于yoz平面对称的点是 1 2 3 m 1 2 3 关于x轴对称的点是 1 2 3 关于y轴对称的点是 1 2 3 关于z轴对称的点是 1 2 3 m 1 2 3 关于原点的对称点是 1 2 3 题型一 题型二 题型三 题型四 反思本题反映了求对称点时的一个规律 关于谁对称 谁保持不变 其余坐标相反 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 点 5 6 2 关于yoz平面对称点的坐标是 关于x轴对称点的坐标是 关于原点对称点的坐标是 答案 5 6 2 5 6 2 5 6 2 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab bc 2 d1d 3 点m是b1c1的中点 点n是ab的中点 如图 建立空间直角坐标系 1 写出点d n m的坐标 2 求线段md mn的长度 题型一 题型二 题型三 题型四 分析 根据所给空间直角坐标系 先求出相关点的坐标 再用距离公式求解 解 1 因为d是原点 所以d 0 0 0 由 ab bc 2 d1d 3 得a 2 0 0 b 2 2 0 b1 2 2 3 c1 0 2 3 因为n是ab的中点 所以n 2 1 0 同理可得m 1 2 3 题型一 题型二 题型三 题型四 反思在运用两点间的距离公式时 注意不要弄错坐标相减的顺序 要记准 同类相减 平方相加再开方 这一规律 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 若点m 2 a 0 与点n 1 0 a 之间的距离等于5 则实数a的值为 题型一 题型二 题型三 题型四 例4 在三棱锥a bcd中 ad bc 1 ac ab dc db 2 求该三棱锥的体积 分析 三棱锥的六条棱长都已知 且比较特殊 我们不难求得 acb的面积 但点d在平面abc内的射影位置不明显 三棱锥的高比较难求 于是 我们以点a为原点 建立空间直角坐标系 问题便转化为求点d的坐标 而这不难用空间两点的距离公式求解 题型一 题型二 题型三 题型四 解 以点a为原点 abc所在平面为xoy平面 将ab置于oy轴的正半轴上 建立空间直角坐标系 如图 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思本题采用建立空间直角坐标系 将问题转化为求点d的坐标问题的方法 避开了逻辑推理与空间想象而进行代数运算 思路也比较自然 求解也不复杂 这种通过建立空间坐标系来解决的立体几何问题 显得有规律可循 而且少了立体几何的空间想象 题型一 题型二 题型三 题型四 1 2 3 4 5 6 1 点 2 0 3 在空间直角坐标系中的位置是在 a y轴上b xoy平面上c xoz平面上d 第一卦限内解析 因为点 2 0 3 的纵坐标为0 所以此点一定在xoz平面上 故选c 答案 c 1 2 3 4 5 6 2 在空间直角坐标系中 下列各点中位于yoz平面内的是 a 3 2 1 b 2 0 0 c 5 0 2 d 0 1 3 解析 位于yoz平面内的点的横坐标一定是0 答案 d 1 2 3 4 5 6 3 点p 1 2 1 关于xoz平面的对称点坐标是 a 1 2 1 b 1 2 1 c 1 2 1 d 1 2 1 答案 a 1 2 3 4