高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2.1 双曲线的简单几何性质课件 新人教A版选修11.ppt

2 2 2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质 主题双曲线的范围 对称性 顶点 离心率及渐近线观察图示 探究下面问题 1 从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的 那么它是否与椭圆一样有范围限制 提示 有限制 因为 1 即x2 a2 所以x a 或x a 2 观察双曲线图形 它是否是轴对称图形 对称轴是哪条直线 是否是中心对称图形 对称中心是哪个点 提示 关于x轴 y轴和原点都是对称的 x轴 y轴是双曲线的对称轴 原点是对称中心 又叫做双曲线的中心 3 双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点 这种说法对吗 为什么 提示 不对 双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点 只有在标准形式下 坐标轴才是双曲线的对称轴 此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点 结论 f1 c 0 f2 c 0 f1 0 c f2 0 c f1f2 2c x a x a y a y a 坐标轴 原点 a1 a 0 a2 a 0 a1 0 a a2 0 a a1a2 2a b1b2 2b a b 1 微思考 1 能不能用a b表示双曲线的离心率 提示 能 e 2 双曲线的离心率的大小如何决定双曲线的开口大小 提示 由于e 所以 因此离心率的大小决定了渐近线斜率的大小 从而决定了双曲线的开口大小 离心率越大 双曲线开口越开阔 离心率越小 双曲线开口越扁狭 3 从离心率e 直观上看 随着a与c的变化双曲线的形状如何变化 提示 当趋于1时 双曲线的开口非常小 此时双曲线的形状接近两条以顶点为端点的射线 当趋于无穷大时 双曲线的开口非常大 此时双曲线的形状接近两条过顶点垂直于实轴的直线 预习自测 1 双曲线的渐近线方程是 解析 选c a2 4 b2 9 焦点在x轴上 所以渐近线方程为 2 双曲线的离心率为 a 2b 2c 3d 4 解析 选b 因为a2 2 所以a 又b2 14 所以c2 a2 b2 16 所以c 4 所以e 备选训练 中心在原点 实轴长为10 虚轴长为6的双曲线的标准方程是 解析 选b 考虑焦点在x轴和y轴两种情况 3 双曲线的实轴长是 虚轴长是 顶点坐标是 焦点坐标是 解析 由题意知a2 3 b2 4 所以c2 a2 b2 3 4 7 解得a b 2 c 因此 双曲线的实轴长2a 2 虚轴长2b 4 顶点坐标为 0 0 焦点坐标为 0 0 答案 4 椭圆与双曲线有相同的焦点 则a的值是 解析 因为a 0 所以焦点在x轴上 所以4 a a 2 所以a 1 答案 1 5 求双曲线9y2 4x2 36的顶点坐标 焦点坐标 实轴长 虚轴长 离心率和渐近线方程 并作出草图 解析 将9y2 4x2 36变形为 即 所以a 3 b 2 c 因此顶点为a1 3 0 a2 3 0 焦点坐标f1 0 f2 0 实轴长是2a 6 虚轴长是2b 4 离心率 渐近线方程y x x 作草图如图所示 类型一根据双曲线方程研究几何性质 典例1 求双曲线nx2 my2 mn m 0 n 0 的实半轴长 虚半轴长 焦点坐标 离心率 顶点坐标和渐近线方程 解题指南 解析 把方程nx2 my2 mn m 0 n 0 化为标准方程 m 0 n 0 由此可知 实半轴长a 虚半轴长b c 焦点坐标 0 0 离心率 顶点坐标为 0 0 所以渐近线的方程为 延伸探究 将本例双曲线方程改为 4x2 y2 4 试求解之 解析 将方程4x2 y2 4变形为所以a 2 b 1 c 所以实半轴长为2 虚半轴长为1 焦点坐标为 0 0 离心率 顶点坐标为 0 2 0 2 渐近线方程为y 2x 方法总结 根据双曲线方程研究其性质的基本思路 1 将双曲线的方程转化为标准形式 2 确定双曲线的焦点位置 弄清方程中的a b所对应的值 再利用c2 a2 b2得到c的值 3 根据确定的a b c的值求双曲线的实轴长 虚轴长 焦距 焦点坐标 离心率及渐近线方程等 巩固训练 下列各对双曲线中 既有相同离心率又有相同渐近线的是 解析 选d 对于a 的离心率 渐近线方程为y x 的离心率 渐近线方程为 y x 不满足题意 a不正确 对于b 的离心率 渐近线方程为y x 的离心率e 2 渐近线方程为y x 不满足题意 b不正确 对于c 的离心率e 2 渐近线方程为y x 的离心率e 2 渐近线方程为y x 不满足题意 c不正确 对于d 的离心率e 2 渐近线方程为y x 的离心率e 2 渐近线方程为y x 满足题意 d正确 补偿训练 2016 天津高考 已知双曲线 a 0 b 0 的焦距为2 且双曲线的一条渐近线与直线2x y 0垂直 则双曲线的方程为 解析 选a 由题意得c 双曲线的渐近线为y x 因为渐近线与直线2x y 0垂直 所以 2 1 所以 又因为c2 a2 b2 解得a 2 b 1 所以双曲线的方程为 y2 1 类型二双曲线的离心率 典例2 1 2017 宜春高二检测 若双曲线 a 0 b 0 的一条渐近线经过圆 x 1 2 y 2 2 16的圆心 则此双曲线的离心率是 a 2b 3c d 9 2 2016 山东高考 已知双曲线e a 0 b 0 若矩形abcd的四个顶点在e上 ab cd的中点为e的两个焦点 且2 ab 3 bc 则e的离心率是 解题指南 1 利用已知条件求出双曲线的渐近线方程 从而得到a b的关系式 再求双曲线的离心率 2 充分利用图象的几何性质 找出矩形一个顶点的坐标 代入曲线方程 便可求得离心率 解析 1 选b 由题意知圆心 1 2 在双曲线的渐近线y x上 则2 所以b2 8a2 即c2 a2 8a2 所以e 3 2 假设点a在左支位于第二象限内 由双曲线和矩形的性质 可得代入双曲线方程 可得1 所以e2 1 又e 1 所以可求得e 2 答案 2 方法总结 求双曲线离心率的方法 1 若可求得a c 则直接利用e 得解 2 若已知a b 可直接利用得解 3 若得到的是关于a c的齐次方程pc2 q ac r a2 0 p q r为常数 且p 0 则转化为关于e的方程pe2 q e r 0求解 巩固训练 已知双曲线的离心率e 1 2 则m的取值范围是 a 12 0 b 0 c 3 0 d 12 解析 选a 由双曲线的标准方程知 a2 4 b2 m 离心率e 1 2 解得 12 m 0 所以m的取值范围是 12 0 补偿训练 2016 全国卷 已知f1 f2是双曲线e 的左 右焦点 点m在e上 mf1与x轴垂直 sin mf2f1 则e的离心率为 解析 选a 离心率e 由正弦定理得 类型三双曲线的渐近线 典例3 1 2017 天津高考 已知双曲线 a 0 b 0 的左焦点为f 离心率为 若经过f和p 0 4 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线 则双曲线的方程为 2 2017 全国丙卷 已知双曲线c a 0 b 0 的一条渐近线方程为y x 且与椭圆 1有公共焦点 则c的方程为 解题指南 1 可根据离心率与渐近线找出a b c的关系 进而求出双曲线方程 2 根据渐近线方程先确定 又由公共焦点推导出c的值 再根据a b c的关系可求出双曲线方程 解析 1 选b 由题意得 a b 1 c 4 a b 2 所以双曲线方程为 1 2 选b 由题意可得 c 3 又a2 b2 c2 解得a2 4 b2 5 则c的方程为 1 方法总结 由渐近线设双曲线方程的方法 1 渐近线为的双曲线方程可设为 2 如果两条渐近线的方程为ax by 0 那么双曲线的方程可设为a2x2 b2y2 m m 0 3 与双曲线共渐近线的双曲线方程可设为 巩固训练 1 求与椭圆有相同焦点 且以y x为渐近线的双曲线的方程 2 求与双曲线有共同渐近线 且过点 1 2 的双曲线方程 解析 1 椭圆的焦点是f1 5 0 f2 5 0 因为双曲线的渐近线方程是y x 故可设双曲线的方程是 k 0 即 由题意得 解得k 16 所以所求双曲线的方程为 2 由题意设所求双曲线方程为 又因其过点 1 2 将该点代入得 所以所求双曲线方程为 补偿训练 求一条渐近线方程是3x 4y 0且过点 3 的双曲线的标准方程 并求此双曲线的离心率 解析 由题意可设