高中数学 第二章 数列 2.1.2 数列的递推公式（选学）课件 新人教B版必修5.ppt

2 1 2数列的递推公式 选学 一 二 一 数列的递推公式 问题思考 1 填空 如果已知数列的第一项 或前几项 且从第二项 或某一项 开始的任一项an与它的前一项an 1 或前几项 间的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 2 所有的数列都有递推公式吗 提示 递推公式也是给出数列的一种重要方法 但并不是所有的数列都有递推公式 例如精确到1 0 1 0 01 0 001 的不足近似值排列成一列数 1 1 4 1 41 1 414 就没有递推公式 3 做一做 已知数列 an 的首项a1 1 且an 3an 1 1 n 2 则a4为 a 13b 15c 30d 40答案 d 一 二 二 通项公式与递推公式的区别与联系 问题思考 一 二 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号里打 错误的打 1 所有的数列都有递推公式 2 如果数列 an 满足 且a1 0 那么数列 an 是递增数列 3 已知数列 an 满足a1 1 a2 3 且an an 1 an 2 n 3 则一定有a2017 a1 4 数列2 4 6 8 10 的递推公式可以表示为an 1 an 2 n n 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 由递推公式写出数列的项 例1 已知数列 an 的第一项是2 且an n 2 写出这个数列的前5项 你能说出这个数列有什么特点吗 思路分析 根据数列的第一项和递推公式 可依次求出a2 a3 a4 a5 然后再观察数列的特点 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 反思感悟由递推公式写出数列的项的方法1 根据递推公式写出数列的前几项 首先要弄清楚公式中各部分的关系 然后依次代入计算即可 2 解答这类问题时还需注意 若知道的是首项 通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式 3 若知道的是末项 通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 由递推公式求通项公式 例2 1 已知a1 1 an 1 an 2 求数列 an 的通项公式 2 已知a1 1 an 1 2an 求数列 an 的通项公式 思路分析 递推公式反映的是相邻两项 或几项 之间的关系 可将递推公式转化为通项公式进行研究 1 解法一 累加法 a1 1 an 1 an 2 a2 a1 2 a3 a2 2 a4 a3 2 an an 1 2 将这些式子的两边分别相加得 a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an 1 2 n 1 即an a1 2 n 1 又a1 1 数列 an 的通项公式为an 2n 1 法二 迭代法 an an 1 1 2 an 2 2 2 a1 n 1 2 2n 1 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 又a1 1 20 数列 an 的通项公式为an 2n 1 法二 迭代法 an 2an 1 22an 2 23an 3 2n 1 a1 2n 1 即数列 an 的通项公式为an 2n 1 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 反思感悟1 归纳法一般是根据递推公式先写出前几项 然后进行归纳猜想n与an间的内在规律 但此方法不严密 有时易发生错误 2 累加法当an an 1 f n 满足一定条件时 常用an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1累加来求通项公式an 3 累乘法如果递推关系可以变形为an 1 g n an的形式 且g n 能够求积 则可用累乘法求数列的通项公式 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 因没有对归纳的结论进行论证而致误 典例 数列 an 满足a1 1 以后各项由an 1 an 2 2n3 12n2 22n 11 给出 写出这个数列的前4项 并写出其通项公式 错解a1 1 a2 3 a3 5 a4 7 由此猜想 这个数列是正奇数从小到大排成的 故an 2n 1 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 正解a2 a1 2 2 13 12 12 22 1 11 a3 a2 2 2 23 12 22 22 2 11 a4 a3 2 2 33 12 32 22 3 11 an an 1 2 2 n 1 3 12 n 1 2 22 n 1 11 以上所有式子相加得an n4 10n3 35n2 48n 23 纠错心得根据数列的递推公式求通项公式 可以先通过求出数列的前n项 再进行归纳猜想得出数列的通项公式 但这种方法虽然操作简单 但所得结论有失严谨 极易产生错误结论 本例中的错解便是例证 解决此类问题 若从根本上解决问题 只能从递推公式出发 推导出其等价的结构形式 以上的累加法就是求通项公式的一种常用方法 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 1 下列说法错误的是 a 递推公式也是数列的一种表示方法b an an 1 a1 1 n 2 是递推公式c 给出数列的方法只有图象法 列表法 通项公式d an 2an 1 a1 2 n 2 是递推公式解析 通过图象 列表 通项公式我们可以确定一个数列 另外根据递推公式和数列的第一项 我们也可以确定数列 它也是给出数列的一种方法 an an 1 n 2 与an 2an 1 n 2 这两个关系式虽然比较特殊 但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系 且都已知a1 所以都是递推公式 答案 c 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 2 已知数列 an 的第1项是1 第2项是2 以后各项由an an 1 an 2 n 2 给出 则该数列的第5项等于 a 6b 7c 8d 9解析 a1 1 a2 2 an an 1 an 2 n 2 a3 a2 a1 2 1 3 a4 a3 a2 3 2 5 a5 a4 a3 5 3 8 答案 c3 一个数列 an 满足a1 1 a2 2 从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加上后一项 请写出构成这个数列的递推公式an 解析 这个数列给出的方法是不同的 它是由前后项之间的关系确定的 只需要根据已知条件就可以直接列出关系式 要注意n的取值范围 答案 2an 1 an 1 n 2 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 a1 2 an 2 lnn a1 2 ln1 2 an 的通项公式为2 lnn 答案 2 lnn 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 5 已知数列 an 分别满足下列条件 写出它的前5项 并归纳出数列的一个通项公式 1 a1 0 an 1 a