江西省吉安一中高三数学最后一模试题 文（含解析）新人教A版.doc

2013年江西省吉安一中高三最后一模数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1（5分）复数（1+3i）i=（）a3ib3+ic1+3id3i考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：根据两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i的幂运算性质，运算求得结果解答：解：复数（1+3i）i=i3=3i，故选a点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题2（5分）（2012包头一模）设u=1，2，3，4，且m=xu|x25x+p=0，若um=2，3，则实数p的值为（）a4b4c6d6考点：补集及其运算专题：计算题分析：由全集u和集合m的补集确定出集合m，得到集合m中的元素是集合m中方程的解，根据韦达定理利用两根之积等于p，即可求出p的值解答：解：由全集u=1，2，3，4，cum=2，3，得到集合m=1，4，即1和4是方程x25x+p=0的两个解，则实数p=14=4故选b点评：此题考查学生理解掌握补集的意义，灵活利用韦达定理化简求值，是一道基础题3（5分）若，是两个单位向量，则“|3+4|=5”是“”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：平面向量及应用分析：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，但解题的关键是向量模的运用及向量垂直的充要条件解答：解：，即因为向量，都是单位向量，所以|=1，|=1，所以有25+24=25，=0，故选c点评：本题除了熟练掌握充要条件的判断方法外，还应明确向量垂直的充要条件，同时还应熟练向量的数量积公式4（5分）函数的定义域是 （）abcd考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法专题：计算题分析：函数的定义域是：，由此能求出结果解答：解：函数的定义域是：，解得，故选a点评：本题考查对数函数的定义域，是基础题解题时要认真审题，仔细解答5（5分）已知一个算法的程序如图所示，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数是（）a1b2c3d4考点：伪代码专题：图表型分析：根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是求分段函数的函数值利用输出的值，求出输入的x的值即可解答：解：这是一个用条件分支结构设计的算法，该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y=的函数值，输出的结果为3，0x2时，3log2x=3，解得x=2，x0或x2时，x26=3，解得x=3，故选c点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，注意读懂框图的作用，考查计算能力6（5分）设等差数列an的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的方差为1，则d等于（）ab1cd1考点：极差、方差与标准差；等差数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：根据等差数列an的公差为d，由a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7是等差数列，知这组数据的平均数是a4，写出这组数据的方差，得到关于数列的公差的代数式，根据方差是1，得到关于d的方程，解方程即可解答：解：等差数列an，a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7是等差数列，这组数据的平均数是a4，a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的方差为1，（9d2+4d2+d2+0+d2+4d2+9d2）=4d2=1d2=，d=故选c点评：本题考查数据的方差，考查等差数列，是一个非常好的问题，解题时注意应用等差数列的两项之差的值的表示形式，这是解题的突破口7（5分）在矩形abcd中，ab=2，ad=3，如果向该矩形内随机投一点p，那么使得abp与adp的面积都不小于1的概率为（）abcd考点：几何概型专题：概率与统计分析：本题是一个几何概型的概率，以ab为底边，要使面积不小于1，则三角形的高要h1，高即为p点到ab和ad的距离要不小于1和，得到结果解答：解：由题意知本题是一个几何概型的概率，以ab为底边，要使面积不小于1，由于sabp=abh=h，则三角形的高要h1，高即为p点到ab的距离要不小于1，同样，p点到ad的距离要不小于，其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是2=，概率为 =故选a点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件a的基本事件对应的“几何度量”n（a），再求出总的基本事件对应的“几何度量”n，最后根据p=n（a）/n求解8（5分）已知抛物线y2=8x的焦点f到双曲线c：=1（a0，b0）渐近线的距离为，点p是抛物线y2=8x上的一动点，p到双曲线c的上焦点f1（0，c）的距离与到直线x=2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）abcd考点：双曲线的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得b=2a，再利用抛物线的定义，结合p到双曲线c的上焦点f1（0，c）的距离与到直线x=2的距离之和的最小值为3，可得ff1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论解答：解：抛物线y2=8x的焦点f（2，0），双曲线c：=1（a0，b0）的一条渐近线的方程为axby=0，抛物线y2=8x的焦点f到双曲线c：=1（a0，b0）渐近线的距离为，b=2ap到双曲线c的上焦点f1（0，c）的距离与到直线x=2的距离之和的最小值为3，ff1=3c2+4=9c2=a2+b2，b=2aa=1，b=2双曲线的方程为故选c点评：本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题9（5分）已知三棱锥sabc的三视图如图所示，在原三棱锥中给出下列命题：bc平面sac；平面sbc平面sab；平面sbc平面sac；三棱锥sabc的体积为其中所有正确命题的个数为（）a4b3c2d1考点：简单空间图形的三视图；命题的真假判断与应用专题：空间位置关系与距离分析：根据题意画出图形，由线面垂直的判定定理即可推出bc平面sac；显然错误；由及面面垂直的判定定理可推出平面sbc平面sac；由三棱锥的体积公式，代入数据即可得到三棱锥sabc的体积解答：解：由几何体的三视图可知，在三棱锥sabc中，sa面abc，acbc，且sa=1，ab=3，c到ab的距离为1，如下图示sa面abc，bc面abc，sabc又bcac，saac=a，bc平面sac；显然错误；由可知bc平面sac，bc平面sbc，平面sbc平面sac；由题意知，三棱锥sabc的体积为=故答案为 b点评：本题考查棱锥的结构特征，考查学生发现问题解决问题的能力，射影定理的应用等，是中档题10（5分）某观察者站在点o观察练车场上匀速行驶的小车p的运动情况，小车从点a出发的运动轨迹如图所示设观察者从点a开始随动点p变化的视角为=aop（0），练车时间为t，则函数=f（t）的图象大致为（）abcd考点：函数的图象专题：压轴题；函数的性质及应用分析：题干错误：=aop（0），应该去掉括号根据视角=aop的值的变化趋势，可得函数图象的单调性特征，从而选出符合条件的选项解答：解：根据小车从点a出发的运动轨迹可得，视角=aop的值先是匀速增大，然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，故选d点评：本题主要考查利用函数的单调性判断函数的图象特征，属于基础题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分11（5分）（2012泉州模拟）已知直线ax+by+c=0与圆：x2+y2=1相交于a、b两点，且，则=考点：向量在几何中的应用专题：计算题；综合题分析：直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，不难确定aob的大小，即可求得 的值解答：解：依题意可知角aob的一半的正弦值，即sin =所以：aob=120 则 =11cos120=故答案为：点评：初看题目，会被直线方程所困惑，然而看到题目后面，发现本题容易解答本题考查平面向量数量积的运算，直线与圆的位置关系是基础题12（5分）已知x、y满足条件，则u=的取值范围是，1考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（2，1）构成的直线的斜率范围解答：解：不等式组表示的区域如图，z=的几何意义是可行域内的点与点（2，1）构成的直线的斜率问题当取得点a（0，1）时，z=取值为1，当取得点b（2，0）时，z=取值为，则u=的取值范围是，1故答案为：，1点评：本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解13（5分）在锐角abc中，b=2，b=，sin2a+sin（ac）sinb=0，则abc的面积为考点：解三角形专题：计算题分析：根据三角形的内角和定理得到三个角之和为，表示出b，代入已知的等式中，利用诱导公式化简，再利用二倍角的正弦函数公式及和差化积公式变形，提取2cosa，等式左边变为积的形式，根据两数之积为0，至少有一个为0，可得cosa=0或sina=sinc，由cosa=0，根据a为三角形的内角，可得a为直角，但三角形为锐角三角形，矛盾，故舍去；由sina=sinc，根据a和c都为锐角，可得a=c，又b为，可得三角形为等边三角形，且边长为2，进而求出等边三角形的面积即可解答：解：a+b+c=，b=（a+c），sinb=sin（a+c）=sin（a+c），代入sin2a+sin（ac）sinb=0得：sin2asin（a+c）sin（ac）=0，变形得：2sinacosa2cosasinc=0，即2cosa（sinasinc）=0，所以cosa=0或sina=sinc，解得a=（又锐角abc，此情况不满足，舍去）或a=c，所以a=c，又b=，b=2，所以abc为边长为2的等边三角形，则abc的面积s=22=故答案为：点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有诱导公式，和差化积公式，二倍角的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键14（5分）已知函数f（x）满足f（x）=（其中为f（x）在点x=处的导数，c为常数）若函数f（x）的极小值小于0，则c的取值范围是（，1）考点：函数在某点取得极值的条件专题：导数的综合应用分析：求出f（x）的导函数，令x=得到关于f（ ）的方程，解方程求出f（）的值再将f（ ）的值代入f（x）的解析式，列出x，f（x），f（x）的变化情况表，根据表求出函数f（x）的单调区间，进而得出函数的极小值，最后建立关于c的不等关系求解即可解答：解：由f（x）=x3+f（ ）x2x+c，得f（x）=3x2+2f（ ）x1取x=，得f（ ）=3（ ）2+2f（ ）（ ）1，解之，得f（ ）=1，f（x）=x3x2x+c从而f（x）=3x22x1=3（x+）（x1），列表如下：x（，）（，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）有极大值有极小值f（x）的单调递增区间是（，）和（1，+）；f（x）的单调递减区间是（，1）函数f（x）的极小值为f（1）=1+c，由题意得1+c0，c1则c的取值范围是 （，1）故答案为：（，1）点评：求函数的单调区间及函数的极值、最值，一般列出x，f（x），f（x）的变化情况表来解决；求函数在某区间函数单调性已知的问题，一般转化为导函数大于等于或小于等于0恒成立问题15（5分）已知a2+b2=2，若a+b|x+1|x2|对任意实数a、b恒成立，则x的取值范围是）考点：函数恒成立问题；绝对值不等式的解法专题：计算题；压轴题分析：由已知，只需|x+1|x2|大于等于a+b的最大值即可，利用三角换元法可求出a+b的最大值为2通过解2|x+1|x2|即可求出x的取值范围解答：解：由已知，只需|x+1|x2|大于等于a+b的最大值即可由于a2+b2=2，令a=cos，b=sin，则a+b=（cos+sin）=2sin（），故a+b的最大值为2所以2|x+1|x2|可以化为下面的三个不等式组，此时无解或，解得或，解得x2综上所述，x的取值范围是，2）2，+）=）故答案为：）点评：本题考查函数恒成立问题，绝对值不等式的解法考查逻辑思维、计算、分类讨论等思想方法三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）16（12分）已知函数f（x）=a+bsin2x+ccos2x的图象经过点a（0，1）、b（，1）（1）当a1时，求函数f（x）的单调增区间；（2）已知x0，且f（x）的最大值为2，求f（）的值考点：正弦函数的单调性专题：三角函数的图像与性质分析：（1）先利用条件求出参数a，b，然后将三角函数进行化简，然后利用三角函数的图象研究函数的单调增区间（2）当x0，通过三角函数的图象结合f（x）的最大值，确定参数a，进而求值解答：解：（1）由得：即b=c=1a，所以因为a1，所以1a0，所以当，即时，f（x）为增函数函数f（x）的单调增区间（6分）（2）x0，即当1a0，即a1时，得a=1；当1a0，即a1时，无解；当1a=0，即a=1时，矛盾故，所以（12分）点评：本题考查三角函数的恒等变换以及三角函数的图象和性质，熟练掌握三角函数的图象和性质是解决三角函数的关键17（12分）在三棱锥pabc中，pac和pbc是边长为的等边三角形，ab=2，o，d分别是ab，pb的中点（1）求证：od平面pac；（2）求证：po平面abc考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定专题：计算题；空间位置关系与距离分析：（1）由o，d分别为ab，pb的中点，知odpa，由此能够证明od平面pac（2）连接oc，op，由，o为ab的中点，ab=2，知ocab，oc=1同理，poab，po=1，由此能够证明po平面pac解答：证明：（1）o，d分别为ab，pb的中点，odpa（3分）又od平面pac，pa平面pac（5分）od平面pac（6分）（2）连接oc，op，o为ab的中点，ab=2，ocab，oc=1（8分）同理，poab，po=1（10分）又，pc2=od2+po2=2，poc=90，pooc（12分）ocab=o，（13分）po平面pac（14分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化18（12分）甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸x（单位：cm）及个数y如下表1.011.021.031.041.05零件尺寸x甲37893零件个数y乙7444a由表中数据得y关于x的线性回归方程为y=91+100x（1.01x1.05），其中合格零件尺寸为1.030.01（cm）（1）是否有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关？（2）从甲、乙加工后尺寸大于1.03cm的零件中各取1个，求恰好取到2个都是不合格零件的概率考点：独立性检验；线性回归方程；古典概型及其概率计算公式专题：应用题分析：（1）根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，看出有多大的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关（2）尺寸大于1.03cm的零件中，甲有合格零件9个、不合格零件3个，乙有合格零件4个、不合格零件11个女利用乘法原是得出可能的结果组成的基本事件个数，及满足条件事件数，求出概率解答：解：（1）根据题意得，=1.03，=，（1分）由y=91+100x知，=91+1001.03，所以，a=11，（2分）由于合格零件尺寸为1.030.01，故甲、乙加工的合格与不合格零件的数据表为：合格零件数不合格零件数合计甲24630乙121830合计362460（3分）所以，k2=10（5分）因k2=106.635，故有99%的把握认为加工的不合格零件与甲、乙有关联 （6分）（2）尺寸大于1.03cm的零件中，甲有合格零件9个、不合格零件3个，乙有合格零件4个、不合格零件11个（7分）设甲加工的合格零件为a1，a2，a9，甲加工的不合格零件为a19，a11，a12，乙加工的合格零件为b1，b2，b3，b4，乙加工的不合格零件为b5，b6，b15因此，“从甲、乙中各取1个”的所有基本事件共1215=180种情况（9分）其中，“取到的2个都是不合格零件”的基本事件共311=33种情况（11分）故所求概率为=（12分）点评：本题是一个统计综合题，包含独立性检验和概率，本题通过创设情境激发学生学习数学的情感，帮助培养其严谨治学的态度19（12分）已知函数f（x）=x2+（a1）x+b+1，当xb，a时，函数f（x）的图象关于y轴对称，数列an的前n项和为sn，且sn=f（n）（1）求数列an的通项公式；（2）设，tn=b1+b2+bn，若tnm，求m的取值范围考点：数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）依题意，可求得a=1，b=1，从而得sn=n2，于是可求得a1及an=snsn1=2n1（n2），观察即可求得数列an的通项公式；（2）由（1）得bn=，利用错位相减法可求得tn=3设g（n）=，nn+，可求得1，即g（n）=（nn+）随n的增大而减小，于是g（n）g（1），由tnm即可求得m的取值范围解答：解：（1）函数f（x）的图象关于y轴对称，a1=0，且a+b=0，解得a=1，b=1，sn=n2，即有an=snsn1=2n1（n2）a1=s1=1也满足，an=2n1（5分）（2）由（1）得bn=，tn=+，tn=+，得tn=+=+（+）=，tn=3=3（9分）设g（n）=，nn+，则由=+1，得g（n）=（nn+）随n的增大而减小，g（n）g（1），即tn3=又tnm恒成立，m（12分）点评：本题考查数列通项公式与数列的求和，着重考查数列的错位相减法，考查构造函数思想，考查函数单调性与最值，属于难题20（13分）（2010山东模拟）某电视生产厂家有a、b两种型号的电视机参加家电下乡活动若厂家投放a、b型号电视机的价值分别为p、q万元，农民购买电视机获得相应的补贴分别为p，mln（q+1）（m0）万元已知厂家把价值为10万元的a、b两种型号的电视机投放市场，且a、b两种型号的电视机投放金额都不低于1万元（精确到0.1，参考数据：ln41.4）（1）当时，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值；（2）讨论农民得到的补贴随厂家投放b型号电视机金额的变化而变化的情况考点：函数的最值及其几何意义；根据实际问题选择函数类型专题：应用题分析：（1）将m=代入到mln（q+1）中得到农民购买b种型号电视机获得相应的补贴为ln（q+1）然后设出农民得到的补贴为y元，令y=0，并根据增减性判断出y有最大值求出即可（2）根据题意，考查y=lnx函数的增减性可得答案解答：解；（1）当m=时，农民购买b种型号电视机获得相应的补贴为ln（q+1）设厂家投放市场a、b两种型号的电视机的价值分别为x万元，（10x）万