高中数学 第二章 数列 2.2.2 等差数列的前n项和课件 新人教B版必修5.ppt

2 2 2等差数列的前n项和 一 二 三 一 等差数列的前n项和公式 问题思考 1 填空 2 如何选用上述两个公式进行求和 四 一 二 三 四 3 做一做 1 在等差数列 an 中 已知a1 1 a10 11 则s10等于 a 30b 40c 50d 60 2 已知等差数列 an 中 a1 5 d 3 则s8 a 44b 40c 15d 5答案 1 c 2 a 一 二 三 四 二 等差数列的前n项和公式与函数的关系 问题思考 1 填空 因此 由二次函数的性质可以得出结论 当d 0时 sn有最小值 当d 0时 sn有最大值 一 二 三 四 2 从函数的角度认识等差数列的前n项和 你有何新发现 一 二 三 四 3 做一做 在等差数列 an 中 a1 7 公差为d 前n项和为sn 当且仅当n 8时 sn取得最大值 则d的取值范围为 解析 由题意知当d0 数列 an 中所有非负项的和最大 又当且仅当n 8时 sn取最大值 一 二 三 四 三 等差数列前n项和的性质 问题思考 1 填空 等差数列的依次连续每k项之和sk s2k sk s3k s2k 成等差数列 解法一 利用等差数列的性质 一 二 三 四 四 有关等差数列中奇数项和 偶数项和的问题 问题思考 1 填空 一 二 三 四 一 二 三 四 2 做一做 一个等差数列前20项和为75 其中奇数项和与偶数项和之比为1 2 则公差d等于 一 二 三 四 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号里打 错误的打 1 公式an sn sn 1对任意的n n 均成立 2 等差数列的前n项和一定是关于n的二次函数 3 若sn是等差数列 an 的前n项和 则数列为等差数列 4 在等差数列 an 中 若a10 则该数列的前n项和存在最大值 5 若数列 an 的前n项和sn an2 bn c 则该数列一定不是等差数列 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 一题多解 当堂检测 等差数列的前n项和公式的直接应用 例1 在等差数列 an 中 1 已知a10 30 a20 50 sn 242 求n 2 已知s8 24 s12 84 求a1和d 3 已知a6 20 s5 10 求a8和s8 4 已知a16 3 求s31 思路分析 在等差数列的前n项和公式中有五个基本量a1 an d n sn 只要已知任意三个量 就可以求出其他两个量 探究一 探究二 探究三 一题多解 当堂检测 探究一 探究二 探究三 一题多解 当堂检测 反思感悟在等差数列 an 中 首项a1与公差d是两个最基本的元素 有关等差数列的问题 均可化成有关a1 d的方程或方程组求解 解题过程中 要注意 1 选择适当的公式 2 合理利用等差数列的有关性质 探究一 探究二 探究三 一题多解 当堂检测 变式训练1设sn为等差数列 an 的前n项和 s4 14 s10 s7 30 则s9 解析 设等差数列 an 的首项为a1 公差为d 答案 54 探究一 探究二 探究三 一题多解 当堂检测 sn与an的关系问题 例2 1 若数列 an 的前n项和sn n2 1 则a4 a 7b 8c 9d 17 2 已知数列 an 的前n项和sn 3n2 5n 则数列 an 的通项公式为 3 已知 an 的前n项和为sn 且满足a1 1 sn an 则 an 的通项公式为 解析 1 a4 s4 s3 42 1 32 1 7 2 当n 2时 an sn sn 1 3n2 5n 3 n 1 2 5 n 1 6n 2 当n 1时 a1 s1 8适合上式 所以an 6n 2 n n 探究一 探究二 探究三 一题多解 当堂检测 3 由已知2sn n 1 an 2sn 1 nan 1 n 2 两式相减 得2an n 1 an nan 1 即 n 1 an nan 1 以上各式相乘可得an na1 n n 2 又a1 1也适合上式 an n n n 答案 1 a 2 an 6n 2 n n 3 an n n n 探究一 探究二 探究三 一题多解 当堂检测 反思感悟1 如果知道了数列 an 的前n项和sn 可由公式来求解 an 的通项公式 求解时注意要分类讨论 对n 1的情况进行验证 能写成统一的形式就将a1合进来 否则保留分段函数形式 2 如果给出的已知条件是含有sn与an的递推关系 也往往利用sn sn 1 an n 2 来转化 探究一 探究二 探究三 一题多解 当堂检测 1 将本例2 2 中的 sn 3n2 5n 改为 sn 3n2 5n 2 结果又如何 解析 当n 1时 a1 s1 6 当n 2时 an sn sn 1 3n2 5n 2 3 n 1 2 5 n 1 2 6n 2 当n 1时 a1 6不适合an 6n 2 探究一 探究二 探究三 一题多解 当堂检测 探究一 探究二 探究三 一题多解 当堂检测 等差数列前n项和的性质的应用 例3 1 等差数列 an 中共有3m项 前2m项的和为100 后2m项的和为200 求中间m项的和 2 项数为奇数的等差数列 奇数项之和为44 偶数项之和为33 求这个数列的中间项及项数 思路分析 1 本题考查等差数列前n项和的性质及前n项和公式的应用 2 已知等差数列的奇 偶数项的和 求特殊项与项数 可从整体上直接考虑奇 偶数项的和与特殊项及项数的关系 探究一 探究二 探究三 一题多解 当堂检测 解 1 法一 由已知得 探究一 探究二 探究三 一题多解 当堂检测 2 设等差数列 an 共有 2n 1 项 则奇数项有 n 1 项 偶数项有n项 中间项是第 n 1 项 即an 1 2n 1 7 又s奇 n 1 an 1 44 an 1 11 故这个数列的中间项为11 共有7项 探究一 探究二 探究三 一题多解 当堂检测 反思感悟等差数列前n项和的性质主要有以下两类 1 在等差数列 an 中 sn s2n sn s3n s2n 成等差数列 2 在等差数列 an 中 若项数为2n 1 n n 则 其中s奇 n 1 an 1 s偶 n an 1 若数列项数为2n n n 则s偶 s奇 nd 探究一 探究二 探究三 一题多解 当堂检测 变式训练2 1 已知某等差数列 an 共有10项 其奇数项之和为15 偶数项之和为30 则其公差为 a 5b 4c 3d 2 2 等差数列 an 的前m项和为30 前2m项和为100 则它的前3m项和为 a 130b 170c 210d 260 2 令m 1 则sm s1 a1 30 s2m s2 a1 a2 100 则有a1 30 a2 70 d 40 则a3 110 故s3m s3 s2 a3 100 110 210 答案 1 c 2 c 探究一 探究二 探究三 一题多解 当堂检测 等差数列前n项和的最值问题 典例 在等差数列 an 中 a1 25 s17 s9 求sn的最大值 名师点拨本题可用二次函数求最值或由通项公式求n 使an 0 an 1 0或利用等差数列的性质求出大于或等于零的项 解法一 由s17 s9 得 探究一 探究二 探究三 一题多解 当堂检测 当n 13时 sn有最大值169 法三 先求出d 2 同法一 由s17 s9 得a10 a11 a17 0 又a10 a17 a11 a16 a12 a15 a13 a14 故a13 a14 0 d 20 a13 0 a14 0 故n 13时 sn有最大值169 探究一 探究二 探究三 一题多解 当堂检测 探究一 探究二 探究三 一题多解 当堂检测 方法点睛解等差数列的前n项和最大 最小 值问题的常用方法有 1 二次函数法 由于是关于n的二次式 因此可用二次函数的最值来确定sn的最值 但要注意这里的n n 2 图象法 可利用二次函数图象的对称性来确定n的值 使sn达到最大 或最小 3 通项法 由于sn sn 1 an 所以当an 0时 sn sn 1 当an 0时 sn sn 1 因此当a1 0 且d0时 满足an 0的最大的n的值 使sn最小 探究一 探究二 探究三 一题多解 当堂检测 变式训练等差数列 an 中 a3 a9 公差d0 a9 0 因此 a3 a9 可化为a3 a9 0 即a6 0 s5 s6 故使 an 的前n项和sn最大 n的值为5或6 答案 c 探究一 探究二 探究三 一题多解 当堂检测 1 等差数列 an 的前n项和为sn 若a3 a17 10 则s19的值为 a 55b 95c 100d 不能确定答案 b2 在等差数列 an 中 a9 a12 6 则数列 an 的前11项和s11 a 24b 48c 66d 132解析 由a9 a12 6 得2a9 a12 12 由等差数列的性质得 a6 a12 a12 12 a6 12 答案 d 探究一 探究二 探究三 一题多解 当堂检测 3 设数列 an 是等差数列 且a2 6 a8 6 sn是数列 an 的前n项和 则 a s4 s5b s4 s5c s6 s5d s6 s5解析 法一 设该等差数列的首项为a1 公差为d 从而有s4 20 s5 20 s6 18 从而有s4 s5 法二 由等差数列的性质知a5 a5 a2 a8 6 6 0 所以a5 0 从而有s4 s5 答案 b 探究一 探究二 探究三 一题多解 当堂检测 4 设数列 an 的前n项和为sn 2 2 3n 则通项公式an 解析 当n