高中数学 第二章 平面解析几何 2.1 平面直角坐标系中的基本公式课件 新人教B版必修2.ppt

2 1平面直角坐标系中的基本公式 一 二 三 一 数轴上的基本公式 问题思考 1 填空 1 数轴的定义 一条给出了原点 度量单位和正方向的直线叫做数轴 或者说这条直线上建立了直线坐标系 2 向量的相关定义 位移是一个既有大小又有方向的量 通常叫做位移向量 简称为向量 数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量 一 二 三 3 数轴上的基本公式 数轴上任意三点a b c 则ac ab bc 设ob x2 oa x1 则ab x2 x1 已知数轴上两点a b ob x2 oa x1 则两点a b的距离公式是d a b ab x2 x1 一 二 三 3 做一做 数轴上a b c的坐标分别为 7 2 3 则ab ca的值为 a 1b 19c 1d 19解析 ab ca xb xa xa xc xb xc 2 3 1 答案 c 一 二 三 二 平面直角坐标系中的基本公式 问题思考 一 二 三 3 当a b两点的连线平行于坐标轴或在坐标轴上时 两点间的距离公式还适用吗 提示 仍然适用 两点间的距离公式适用于求平面内任意两点间的距离 若ab x轴或与x轴重合 则 ab x2 x1 若ab y轴或与y轴重合 则 ab y2 y1 4 做一做 已知点a 4 12 在x轴上的点p与点a的距离等于13 求点p的坐标 解 设点p x 0 解得x 9或x 1 所以点p的坐标为 9 0 或 1 0 一 二 三 三 中点公式 问题思考 1 数轴上两点a 3 b 7 则线段ab的中点m的坐标如何求解 在平面直角坐标系中两点a 3 6 b 7 2 此时线段ab的中点m的坐标又是如何 提示 在数轴上时 m的坐标为m 2 在平面直角坐标系中时 m的坐标为m 2 4 推导的思路均是利用数量等式am mb 2 填空 1 直线上的中点坐标公式 2 平面内的中点坐标公式 一 二 三 3 1 点p x y 关于点g x0 y0 的对称点的坐标是什么 提示 点p x y 关于点g x0 y0 的对称点的坐标为 2x0 x 2y0 y 2 如果数轴上的单位长取作1cm 你能在数轴上标出数0 001 0 0001和对应的点吗 你能说明在数轴上确实存在这些点吗 提示 不能标出0 001 0 0001和对应的点 因为数轴上的单位长取作1cm 而0 001 0 0001 太小 了 是无理数 因此它们在数轴上不能准确标出 数轴上的点与实数是一一对应的关系 即每给出一个点 一定有唯一的实数与之对应 反过来 每一个实数也有唯一的一个点与之对应 因此0 001 0 0001 在数轴上确实存在 一 二 三 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 如果数轴上两个向量相等 那么这两个向量的坐标相等 2 在数轴上 对任意三点m n q均有mn qn mq 答案 1 2 3 探究一 探究二 探究三 思维辨析 数轴上的坐标运算 例1 1 已知a b c是数轴上任意三点 若ab 5 cb 3 求ac 证明 ac cb ab 2 已知数轴上两点a a b 5 分别求出满足下列条件时a的取值 两点间距离为5 两点间距离大于5 两点间距离小于3 探究一 探究二 探究三 思维辨析 1 解 因为ac ab bc 所以ac ab cb 5 3 2 证明 设数轴上a b c三点的坐标分别为xa xb xc 则ac cb xc xa xb xc xb xa ab 所以ac cb ab 2 解 数轴上两点a b之间的距离为 ab 5 a 根据题意得 5 a 5 解得a 0或a 10 根据题意得 5 a 5 即5 a 5或5 a10 根据题意得 5 a 3 即 3 5 a 3 故2 a 8 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 向量的数量 或坐标 与向量的长度是不同的量 向量的数量 或坐标 是在向量的长度前面加上向量的方向符号 它可能为正也可能为负 还可以为零 向量的数量 或坐标 的绝对值等于向量的长度 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1如图所示 是数轴上的一个向量 o是原点 则下列各式不成立的是 答案 b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 平面内两点间距离公式的应用 例2 已知 abc是直角三角形 斜边bc的中点为m 建立适当的平面直角坐标系 证明 am bc 证明 如图所示 以rt abc的直角边ab ac所在直线为坐标轴 建立平面直角坐标系 设b c两点的坐标分别为 b 0 0 c 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟建立平面直角坐标系的常见技巧 1 要使尽可能多的已知点 直线落在坐标轴上 2 如果图形中有互相垂直的两条直线 那么考虑其作为坐标轴 3 考虑图形的对称性 可将图形的对称中心作为原点 将图形的对称轴作为坐标轴 事实上 建立不同的平面直角坐标系 相关点的坐标不同 但不影响最后的结果 探究一 探究二 探究三 思维辨析 本例中条件不变 试证明 ab 2 ac 2 bc 2 证明 如图所示 以rt abc的直角边ab ac所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系 设b c两点的坐标分别为 b 0 0 c 由两点距离公式得 ab 2 b 0 2 0 0 2 b2 ac 2 0 0 2 0 c 2 c2 bc 2 b 0 2 0 c 2 b2 c2 所以 ab 2 ac 2 bc 2 探究一 探究二 探究三 思维辨析 平面内中点坐标公式的应用 例3 已知 abc的两个顶点a 3 7 b 2 5 若ac bc的中点都在坐标轴上 求点c的坐标 思路分析 由于ac bc的中点的连线为 abc中位线 应与底边ab平行 又因为边ab与x轴 y轴均不平行 所以两中点不会在同一条坐标轴上 根据坐标轴上点的坐标的特点即可求解 解 设点c的坐标为 x y 边ac的中点为d bc的中点为e 因为ab与坐标轴不平行 所以d e两点不可能都在x轴或y轴上 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 对于平面内中点坐标公式需要从以下两方面来认识 1 从公式上看 根据方程思想 可以知二求一 即只要知道公式两边的任意两个量 就可以求出第三个量 2 从图象上看 只要知道任意两个点 就可以求出第三个点 2 对本题而言 讨论三角形两边的中点在不同的坐标轴上是关键 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2已知点a x 5 关于点c 1 y 的对称点是b 2 3 则点p x y 到原点的距离是 解析 因为点c为ab的中点 答案 d 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因考虑问题不全面而致误 典例 已知一平行四边形三个顶点的坐标分别为 1 2 3 1 0 2 求这个平行四边形第四个顶点的坐标 所以点d的坐标为 4 1 即平行四边形的第四个顶点的坐标为 4 1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何订正 你怎么防范 提示 误认为平行四边形为四边形abcd 其实还有四边形abdc 四边形acbd 由于考虑不全面而导致丢解 正解 设a 1 2 b 3 1 c 0 2 第四个顶点d的坐标为 x y 1 若四边形abcd是平行四边形 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 若四边形abdc是平行四边形 3 若四边形acbd是平行四边形 所以点d的坐标为 2 3 综上所述 满足条件的平行四边形第四个顶点的坐标为 4 1 或 4 5 或 2 3 探究一 探究二 探究三 思维辨析 防范措施要明确四边形abcd是各个顶点已具有了相对顺序 而只说是四边形 我们自己可取abcd acbd abdc等名称 因此要特别留意题目中的小细节 以防因小失大 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练已知平行四边形的三个顶点坐标为 3 2 5 2 1 4 则第四个顶点不是 a 9 4 b 1 8 c 3 0 d 1 3 解析 设第四个顶点的坐标为 x y 然后分情况讨论 1 若点 3 2 5 2 为平行四边形的对顶点 2 若 5 2 1 4 为对顶点 同理可求第四个顶点为 1 8 3 若 3 2 1 4 为对顶点 同理可求第四个顶点为 3 0 故应选d 答案 d 1 2 3 4 5 1 下列各组点中 点c位于点d的右侧的是 a c 3 和d 4 b c 3 和d 4 c c 4 和d 3 d c 4 和d 3 答案 a 1 2 3 4 5 2 数轴上的三点m n p的坐标分别为3 1 5 则mp pn等于 a 4b 4c 12d 12解析 mp pn mn 1 3 4 答案 a 1 2 3 4 5 3 已知点a 5 1 b 1 1 c 2 3 则 abc的形状是 a 等腰三角形b 直角三角形c 等腰直角三角形d 等边三角形 ac2 ab2 bc2 abc为直角三角形 答案 b 1 2 3 4 5 4 x 1 x 2 的最小值为 解析 x 1 可以看作数轴上点x与1之间的距离 x 2 x 2 可以看作数轴上点x与 2之间的距离 所以 x 1 x 2 就表示数轴上点x与1和 2之间的距离之和