贵州省贵阳市高考数学专题复习 角度制弧度制同角三角函数学案11.doc

专题任意角的三角函数 1.知识积累1. 单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆.2. 任意角的三角函数的定义:如图，在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则；。利用单位圆定义任意角的三角函数，设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:(1)比值叫做的正弦(sine),记作,即；(2)比值叫做的余弦(cossine),记作,即；(3)比值叫做的正切(tangent),记作,即。(4)比值叫做的余切,记作，即；(了解)(5)比值叫做的正割,记作，即；(了解)(6)比值叫做的余割,记作，即(了解)说明:(1)三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应三角函数的自变量是角，比值是角的函数(2)当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义,除此情况外，对于确定的值，上述三个值都是唯一确定的实数.(3)当是锐角时，此定义与初中定义相同；当不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值.(4)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.(5)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点p(x，y)在终边上的位置无关，只由角的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关3. 三角函数的定义域,函数值的符号三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin rcos rtan |k，kz归纳口诀：一全正，二正弦、三余弦、四余弦。该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值4. 诱导公式1、 由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：，其中这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为02间角的三角函数值问题2、 三角函数诱导公式（）的本质是：奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成,；(2)转化为锐角三角函数。5. 各特殊角的三个三角函数值角度030456090120135150180270360弧度02sin 01010cos 10-101tan 01不存在-1-0不存在06. 三角函数线的定义：以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）。当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点，过点作轴交轴于点，根据三角函数的定义：；。我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以为始点、为终点，规定：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有同理,当角的终边不在轴上时,以为始点、为终点，规定：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标这样,无论那种情况都有。像这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。如上图,过点作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点,根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线，即sin mp，cos om，tan at.。注：三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。三角函数线的特征是：正弦线mp“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线om“躺在轴上(起点是原点)”、正切线at“站在点处(起点是)”。7. 同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：（2）商数关系：注意：（1）公式成立的条件sin2cos21对一切r均成立，tan 仅在时成立（2）同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22cos221，tan 8等都成立，理由是式子中的角为“同角”（3）使用平方关系sin ，cos ，“”由角所在象限来确定（4）对于同角三角函数的基本关系式应注意变用及逆用如：sin21cos2，cos21sin2，1sin2cos2，sin tan cos ，cos ，tan 等（5）的互换：2.典型例题第一部分：任意角的三角函数【例1】 已知角的终边经过点p(4a,3a)(a0)，求sin 、cos 、tan 的值解：r5|a|.若a0，则r5a，角在第二象限，sin ，cos ，tan .若a0，且cos 0，2k22k(kz)，kk(kz)当k为偶数，设k2m(mz)有：2m2m(mz)；当k为奇数，设k2m1(mz)有：2m2m(mz)为第一或第三象限角又cos 0，sin ，cos ，.【例4】 求下列函数的定义域：(1)y；(2)ylg(34sin2 x)解：(1)如图(1)2cos x10，cos x.函数定义域为2k，2k(kz)(2)如图(2)34sin2x0，sin2x， sin x0；(2).解：(1)原不等式可化为3tan ，即tan ，则不等式的解的集合如图(阴影部分)所示，|kk，kz(2)原不等式组可化为即则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，x|2kx2k，kz【例5】 求函数y的定义域解：要使函数有意义，需或x2k，2k)(2k，2k，kz，即定义域为2k，2k)(2k，2k，kz.第二部分：同角的三角函数的基本关系【例1】 已知cos ，求sin ，tan 的值解：cos 0且cos 1，是第二或第三象限角当为第二象限角时，sin ，tan .当为第三象限角时，sin ，tan .【例2】 已知tan 3，求下列各式的值(1)；(2)2sin23sin cos .解：(1)原式(2)原式.【例3】 已知0，sin cos ，求tan 的值解：由sin cos 两边平方易得sin cos 0，又00，cos 0，sin cos 由解得sin ，cos ，所以tan .变式训练：已知x0，sin xcos x.求sin xcos x的值解：法一：由sin xcos x，平方得sin2x2sin xcos xcos2x，即2sin xcos x，(sin xcos x)212sin xcos x.又x0，sin x0，sin xcos x0，sin xcos x.【例4】 化简：.解：原式变式训练：若tan ，则的值为_解析：tan ，4.【例5】 求证：.证明：左边 右边原式成立变式训练：证明：.证明： ，.【例6】 若sin a，且a是三角形的一个内角，求的值解：因为sin a，所以cos a，当cos a时，6；当cos a时，.故所求的值为6或.变式训练：已知在abc中，sin acos a.(1)求sin acos a；(2)判断abc是锐角三角形，还是钝角三角形？解：(1)因为sin acos a，所以两边平方得12sin acos a，sin acos a.(2)由(1)sin acos a0，且0a，可知cos a0)且cos