高中数学 第八章 解三角形 8.2 余弦定理（一）课件 湘教版必修4.ppt

第8章 解三角形 8 2余弦定理 一 学习目标 1 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法 2 会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 1 以下问题可以使用正弦定理求解的是 1 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 进而可求其他的边和角 2 已知两角和一边 求其他角和边 3 已知一个三角形的两条边及其夹角 求其他的边和角 4 已知一个三角形的三条边 解三角形 1 2 2 如图所示 在直角坐标系中 若a 0 0 b c 0 c bcosa bsina 利用两点间距离公式表示出 bc 化简后会得出怎样的结论 解a2 bc 2 bcosa c 2 bsina 0 2 b2 sin2a cos2a 2bccosa c2 b2 c2 2bccosa 得出a2 b2 c2 2bccosa 预习导引 1 余弦定理三角形中任何一边的等于其他两边的的和减去这两边与它们的的余弦的积的 即a2 b2 c2 平方 平方 夹角 两倍 b2 c2 2bccosa c2 a2 2cacosb a2 b2 2abcosc 2 余弦定理的推论cosa cosb cosc a2 9a 18 0 得a 3或6 当a 3时 由于b 3 所以a b 30 c 120 a 90 c 60 由b c c 60 或120 当c 60 时 a 90 当c 120 时 a 30 abc为等腰三角形 a 3 解由余弦定理知b2 a2 c2 2accosb 0 a 180 a 60 c 75 0 a 180 a 120 c 15 规律方法已知两边及一角解三角形有以下两种情况 1 若已知角是其中一边的对角 有两种解法 一种方法是利用正弦定理先求角 再求边 另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解 2 若已知角是两边的夹角 则直接运用余弦定理求出另外一边 然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角 跟踪演练1在 abc中 已知a 5 b 3 角c的余弦值是方程5x2 7x 6 0的根 求第三边长c 解5x2 7x 6 0可化为 5x 3 x 2 0 c 4 即第三边长为4 a 60 b 45 c 180 a b 75 规律方法 1 已知三角形三边求角时 可先利用余弦定理求角 再用正弦定理求解 在用正弦定理求解时 要根据边的大小确定角的大小 防止产生增解或漏解 2 若已知三角形三边的比例关系 常根据比例的性质引入k 从而转化为已知三边解三角形 跟踪演练2在 abc中 已知bc 7 ac 8 ab 9 试求ac边上的中线长 即所求ac边上的中线长为7 即a2 b2 c2 abc是直角三角形 方法二在 abc中 设其外接圆半径为r 由正弦定理 b 2rsinb c 2rsinc b a c sin a c sinccosa sinacosc 0 a c都是 abc的内角 a 0 a cosc 0 abc是直角三角形 规律方法 1 判断三角形形状的常用手段有两种 一是用余弦定理将已知条件转化为边之间的关系式 二是借助于正弦定理 将已知条件转化为角的三角函数关系式 2 一般地 如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式 要考虑用余弦定理 反之 若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式 则大多用正弦定理 若是以上特征不明显 则要考虑两个定理都有可能用 跟踪演练3在 abc中 若 a ccosb sinb b ccosa sina 判断 abc的形状 整理得 a2 b2 c2 b2 a2 b2 c2 a2 1 2 3 4 a 1 2 3 4 b 1 2 3 4 解析 a b c c为最小角 b 1 2 3 4 课堂小结1 利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 1 已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形 2 若已知两边和一边的对角 既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形 2 当所给的条件是边角混合关系时 判断三角形形状的基本思想是 用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系 或边之间的关系 若统一为角之间的关系 则利用三角恒等变形化简 若统一为边之间的关系 再利用代数方法进行恒等变形 化简 3 余弦定理与勾股定理的关系 余弦定理可以看作是勾股定理的推广 勾股定理可以看作是余弦定理的特例 1 如果一个三角形两边的平方