高中数学 第八章 解三角形 8.2 余弦定理（二）课件 湘教版必修4.ppt

第8章 解三角形 8 2余弦定理 二 学习目标 1 熟练掌握余弦定理及其变形形式 2 会用余弦定理解三角形 3 能利用正 余弦定理解决三角形的有关问题 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 1 以下问题不能用余弦定理求解的是 1 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 进而可求其他的边和角 2 已知两角和一边 求其他角和边 3 已知一个三角形的二条边及其夹角 求其他的边和角 4 已知一个三角形的三条边 解三角形 2 2 利用余弦定理判断三角形的形状正确的是 1 在 abc中 若a2 b2 c2 则 abc为直角三角形 2 在 abc中 若a2b2 c2 则 abc为钝角三角形 1 3 2r 2rsina 2rsinb 2rsinc 2 余弦定理及其推论 1 a2 b2 c2 2 cosa cosb cosc 3 在 abc中 c2 a2 b2 c为 c2 a2 b2 c为 c2 a2 b2 c为 b2 c2 2bccosa c2 a2 2cacosb a2 b2 2abcosc 钝角 锐角 直角 3 三角变换公式 1 cos 2 cos 3 cos2 cos cos sin sin cos cos sin sin cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 要点一正弦 余弦定理的综合应用例1如图所示 在四边形abcd中 ad cd ad 10 ab 14 bda 60 bcd 135 求bc的长 解在 abd中 ad 10 ab 14 bda 60 设bd x 由余弦定理 得ab2 ad2 bd2 2ad bdcos bda 142 102 x2 2 10 xcos60 即x2 10 x 96 0 解得x1 16 x2 6 舍去 bd 16 ad cd bda 60 cdb 30 规律方法余弦定理和正弦定理一样 都是围绕着三角形进行边角互换的 在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理 还是余弦定理 必要时也可列方程 组 求解 同时 要有意识地考虑用哪个定理更合适 或是两个定理都要用 要抓住能利用某个定理的信息 跟踪演练1在 abc中 内角a b c的对边长分别为a b c 已知a2 c2 2b 且sinacosc 3cosasinc 求b 解方法一在 abc中 sinacosc 3cosasinc 则由正弦定理及余弦定理有 化简并整理得2 a2 c2 b2 又由已知a2 c2 2b 4b b2 解得b 4或b 0 舍 方法二由余弦定理得 a2 c2 b2 2bccosa 又a2 c2 2b b 0 所以b 2ccosa 2 又sinacosc 3cosasinc sinacosc cosasinc 4cosasinc sin a c 4cosasinc 即sinb 4cosasinc 要点二利用正弦 余弦定理证明三角形中的恒等式例2在 abc中 有 1 a bcosc ccosb 2 b ccosa acosc 3 c acosb bcosa 这三个关系式也称为射影定理 请给出证明 证明方法一 1 由正弦定理得b 2rsinb c 2rsinc bcosc ccosb 2rsinbcosc 2rsinccosb 2r sinbcosc cosbsinc 2rsin b c 2rsina a 即a bcosc ccosb 同理可证 2 b ccosa acosc 3 c acosb bcosa 方法二 1 由余弦定理得 a bcosc ccosb 同理可证 2 b ccosa acosc 3 c acosb bcosa 规律方法 1 证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异 形式上一般有 左 右 右 左 左 中 右三种 2 利用正弦 余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种 一是把角的关系通过正弦 余弦定理转化为边的关系 二是把边的关系转化为角的关系 一般是通过正弦定理转化 跟踪演练2在 abc中 a b c分别是角a b c的对边 等式成立 等式成立 要点三利用正弦 余弦定理判断三角形形状例3在 abc中 已知 a b c b c a 3bc 且sina 2sinbcosc 试确定 abc的形状 解由 a b c b c a 3bc 得b2 2bc c2 a2 3bc b2 c2 b c abc为等边三角形 规律方法题中边的大小没有明确给出 而是通过一个关系式来确定的 可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系 也可以利用余弦定理将边 角关系转化为边的关系来判断 跟踪演练3在 abc中 若b 60 2b a c 试判断 abc的形状 解方法一根据余弦定理得b2 a2 c2 2accosb 整理得 a c 2 0 a c 又 2b a c 2b 2a 即b a abc是正三角形 方法二根据正弦定理 2b a c可转化为2sinb sina sinc 又 b 60 a c 120 c 120 a 2sin60 sina sin 120 a 整理得sin a 30 1 0 a 120 30 a 30 150 a 30 90 a 60 c 60 abc是正三角形 1 2 3 4 a 1 2 3 4 c 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 即a2 6a 8 0 解得a 2或a 4 1 2 3 4 满足条件的三角形有两个 课堂小结1 已知两边及其中一边的对角 解三角形 一般情况下 利用正弦定理求出另一边所对的角 再求其他的边或角 要注意进行讨论 如果采用余弦定理来解 只需解一个一元二次方程 即可求出边来 比较两种方法 采用余弦定理较简单 2 根据所给条件确定三角形的形状 主要有两种途径 1 化边为角 2 化角为边 并常用正弦 余弦 定理