高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词 1.3.11.3.2 课件 北师大版选修11.ppt

1 3 1全称量词与全称命题1 3 2存在量词与特称命题 1 理解全称量词 全称命题以及存在量词 特称命题的概念 并能利用数学符号加以表示 2 体验全称命题 特称命题概念形成的过程 体会由特殊到一般的思维方法 1 全称量词表示整体或全部的含义的词叫作全称量词 其形式为 所有 每一个 任何 任意一条 一切 等 2 全称命题含有全称量词的命题 叫作全称命题 全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某些性质的命题 名师点拨1 常用的全称量词有 一切 所有的 每一个 任意的 凡 都 全部的 等 2 在某些全称命题中 全称量词可以省略 例如 棱柱是多面体 它指的是 所有的棱柱都是多面体 因此 在判断某命题是否为全称命题时要特别注意 3 全称命题的格式 一般地 设p x 是某集合m中所有元素都具有的性质 则全称命题就是形如 对m中的所有元素x p x 成立 的命题 做一做1 下列命题是全称命题并且是真命题的是 a 所有菱形的四条边都相等b 若2x是偶数 则任意x nc 任意x r x2 2x 1 0d 是无理数解析 选项a c是全称命题 但选项c是假命题 答案 a 3 存在量词表示个别或一部分的含义的词叫作存在量词 其形式为 有些 至少有一个 有一个 存在 等 4 特称命题含有存在量词的命题叫作特称命题 特称命题就是陈述在某集合中有 存在 一些元素具有某些性质的命题 名师点拨1 常用的存在量词有 有的 有些 存在 至少有一个 等 2 特称命题中的量词一般不能省略 3 特称命题的格式 一般地 设q x 是某集合m中有些元素具有的性质 则特称命题就是形如 在集合m中存在元素x q x 成立 全称命题与特称命题的区别及其表述 做一做2 下列命题不是特称命题的是 a 有些实数没有平方根b 能被5整除的数也能被2整除c 存在x x x 3 使x2 5x 6 0d 有一个m 使2 m与 m 3异号答案 b 题型一 题型二 题型三 全称量词与全称命题 例1 判断下列命题是否为全称命题 并判断其真假 1 对任意x n 2x 1是奇数 2 每一个平行四边形的对角线都互相平分 分析 依据全称命题的概念来判定 要判定全称命题 对任意x m p x 成立 是真命题 需要对集合m中每个元素x 证明p x 成立 要判定全称命题是假命题 只需找到m中一个元素x0 使得p x0 不成立即可 解 1 是全称命题 因为对任意x n 2x 1都是奇数 所以全称命题 对任意x n 2x 1是奇数 是真命题 2 是全称命题 由平行四边形的性质可知此命题是真命题 反思若全称命题为真命题 则可由相关数学知识推证 若全称命题为假命题 则只需举出一个反例说明即可 题型一 题型二 题型三 变式训练1 试判断下列全称命题的真假 1 任意x r x2 2 0 2 任意x n x4 1 3 对任意角 都有sin2 cos2 1 解 1 由于任意x r 都有x2 0 因而有x2 2 2 0 即x2 2 0 所以命题 任意x r x2 2 0 是真命题 2 因为0 n 当x 0时 x4 1不成立 所以命题 任意x n x4 1 是假命题 3 因为任意 r sin2 cos2 1成立 所以命题 对任意角 都有sin2 cos2 1 是真命题 题型一 题型二 题型三 存在量词与特称命题 例2 判断下列命题是否为特称命题 并判断其真假 2 存在一组m n的值 使m n 1 3 至少有一个集合a 满足a 1 2 3 分析 用特称命题的概念来判定 要判定特称命题 存在x m 使p x 成立 是真命题 只需在集合m中找到一个x0 使p x0 成立即可 如果在集合m中 使p x 成立的元素不存在 那么它是假命题 解 1 是特称命题 不存在x r 以该命题是假命题 2 是特称命题 当m 4 n 3时 m n 1成立 所以该命题是真命题 3 是特称命题 存在a 3 使a 1 2 3 成立 所以该命题是真命题 题型一 题型二 题型三 反思只需找到命题中满足条件的一个元素就可以说明特称命题是真命题 如果这样的元素不存在 那么这个特称命题就是假命题 题型一 题型二 题型三 变式训练2 判断下列命题的真假 1 存在x z x3 1 2 存在一个四边形不是平行四边形 3 有一个实数 tan 无意义 4 存在x0 r 题型一 题型二 题型三 利用全称命题和特称命题求参数的范围 例3 求使下列p x 为真命题的x的取值范围 1 p x x 1 x 2 p x x2 5x 6 0 3 p x x2 x 6 分析 已知p x 为真命题求x的取值范围 实质上是对全称命题意义的考查 p x 为真命题即存在一个x取值的限定集合a 它的所有元素都使得p x 成立 显然这个限定集合就是p x 表示的不等式 或方程 的解集 题型一 题型二 题型三 解 1 对一切实数x都有x 1 x 所求x的取值范围是r 2 解一元二次不等式x2 5x 6 0 得x 3或x0 所求x的取值范围是 2 3 3 不等式 x2 x 6可化为x2 x 6或x2 x 6 解不等式x2 x 6得 x 3 x 2 0 即x 2或x 3 不等式x2 x 6无解 故所求x的取值范围是 2 3 反思含有变量的语句p x 为命题 即对变量有了限制条件 而它的真假要根据限制条件中变量的取值来确定 因此可将此类题目看成全称命题来解决 即不等式的解集内的任意一个x的取值都使得p x 为真命题 题型一 题型二 题型三 变式训练3 1 对于任意实数x 不等式sinx cosx m恒成立 求实数m的取值范围 2 存在实数x 不等式sinx cosx m有解 求实数m的取值范围 1 2 3 4 5 1 下列命题中 是真命题且是全称命题的是 a 对任意实数a b 都有a2 b2 2a 2b 2 0b 梯形的对角线不相等d 对数函数在定义域上是单调函数解析 a是全称命题 且a2 b2 2a 2b 2 a 1 2 b 1 2 0 是假命题 b中隐含量词 所有的 是全称命题 但等腰梯形的对角线相等 是假命题 c是特称命题 易知d是全称命题且是真命题 答案 d 1 2 3 4 5 2 下列命题是特称命题的是 有一个实数a a不能取对数 所有不等式的解集a 都有a r 有些向量方向不确定 矩形都是平行四边形 a b c d 答案 a 1 2 3 4 5 答案 b 1 2 3 4 5 答案 1 2 3 4 5 5 已知函数f x x2 2x 5 1 是否存在实数m 使不等式m f x 0对于任意x r恒成立 并说明理由 2 若存在实数x 使不等式m f x 0成立 求实数m的取值范围 解 1 不等