高等数学 理工类 第三版 吴赣昌 第7章 微分方程.pdf

第第十二十二章章 微分方程微分方程 内容概要内容概要 名称 主要内容 基本概念 微分方程 方程的阶 方程的解 通解 特解 初始条件 常见微分方 程及其解法 一阶微分方程 可分离变量型 齐次微分方程 可化为齐次的微分方程 一阶线性微分方程 贝努利方程 全微分方程 高阶微分方程 可降阶的高阶方程 高阶线性 微分方程 方程解的结构理论 齐次线性微分方程解法 非齐次线性微分方程解法 欧拉方程 其他 刘维尔公式 常数变异法 微分方程组求解 微分方程的应用 12 112 1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 内容内容概要概要 名称 定义 微分方程 表示未知函数 未知函数的导数或微分与自变量的关系的方程 未知函数是一元函数 的微分方程称为常微分方程 未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程 微分方程的阶 微 分 方 程 中 出 现 的 未 知 函 数 最 高 阶 导 数 的 阶 数 n阶 微 分 方 程 形 如 0 n yyyxF 其中 1 n yyyx 可以不出现 n y必须出现 微分方程的解 代入微分方程使微分方程成为恒等式的函数 确切的说 设函数 xy 在区间I 上有n阶连续导数 如果在区间I上 0 xxxxF n 则称 函数 xy 是微分方程0 n yyyxF 的解 通解 n阶微分方程的含有n个相互独立的任意常数的解 特解 不含任意常数的方程的解为特解 初始条件 确定微分方程通解中任意常数的条件 所有解 通解以及不能包含在通解中的解 积分曲线 微分方程解的图形 课后习题全解课后习题全解 1 指出下列微分方程的阶数 知识点 知识点 微分方程阶的定义 1 034 2 xyyyyx 解解 出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为 1 方程的阶数为 1 注注 通常会有同学误解成未知函数y的幂或y的导数的幂 例 错解 方程的阶数为 2 2 y 2 02 2 yxyyx 解解 出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为 2 方程的阶数为 2 3 025 xyyyx 解解 出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为 3 方程的阶数为 3 4 0 67 dyyxdxyx 思路 思路 先化成形如 0 n yyyxF 的形式 可根据题意选x或y作为因变量 解解 化简得 yx xy dx dy 76 出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为 1 方程的阶数为 1 2 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解 知识点 知识点 微分方程的解的定义 思路 思路 将所给函数及其相应阶导数代入方程验证方程是否成立 1 yyx2 2 5xy 解解 将xy10 2 5xy 代入原方程得 左边 yxxx25210 2 右边 所以 2 5xy 是所给微分方程的解 2 xCxCyyy sincos 0 21 2 解解 xCxCy cossin 21 将xCxCy sincos 2 2 1 2 xCxCy sincos 21 代入原方程得 左边yy 2 sincos sincos 21 2 2 2 1 2 xCxCxCxC 右边 所以xCxCy sincos 21 是所给微分方程的解 3 2 21 2 0 22 xCxCy x y y x y 解解 将 2 21 xCxCy xCCy 21 2 2 2Cy 代入原方程得 左边 0 242 2 22 2 2 2121 2 2 x xCxC x xCC C x y y x y右边 所以 2 21 xCxCy 是所给微分方程的解 4 0 2121 yyy xx eCeCy 21 21 解解 将 xx eCeCy 21 21 xx eCeCy 21 2211 xx eCeCy 21 2 22 2 11 代入原方程得 左边yyy 2121 212121 2121221121 2 22 2 11 xxxxxx eCeCeCeCeCeC 0右边 所以 xx eCeCy 21 21 是所给微分方程的解 3 验证由方程xyyln 所确定的函数为微分方程02 2 yyyyxyxxy 的解 解解 将xyyln 的两边对x求导得 y yx y 11 即 xxy y y 再次求导得 1 1 2 2 2 2 yyyy y x xxyxxy yyyx xxy yxyyxxyy y 注意到由y yx y 11 可得 1 yxy y x 所以 2 1 1 1 2 yyyyx xxy yyyyyx xxy y 从而 02 2 yyyyxyxxy 即由xyyln 所确定的函数是所给微分方程的解 注注 在验证等式的过程要依据题目采用灵活方法 不必将函数及各项导数依次代入验证 4 C Cxy 1 C是任意常数 是方程01 yyyx的通解 求满足初始条件2 0 x y的 特解 解解 将初始条件2 0 x y 代入通解得 C 1 2 从而 2 1 C 所以所求特解为2 2 1 xy 5 x exCCy 21 21 C C为任意常数 是方程02 yyy的通解 求满足初始条件 2 4 00 xx yy的特解 解解 将4 0 x y 代入通解得 4 1 C 所以 xx exCeCy 4 22 将2 0 x y 代入上式得 42 2 C 所以 2 2 C 所以所求特解为 x exy 24 6 设函数 1 2 xuxy 是方程 3 1 1 2 xy x y 的通解 求 xu 解解 由题意得 1 2 1 2 xuxxuxy 即 1 1 xux x y 代入所给微分方程得 1 2 1 2 xuxxux 1 2xux 3 1 x 即 xxu 1 积分得 dxxxu 1 Cx x 2 2 C为任意常数 即为所求 7 曲线上点 yxP处的法线与x轴的交点为Q 且线段PQ被y轴平分 试写出该曲线满足的微 分方程 解解 设曲线为 xyy 则曲线上点 yxP处的法线斜率为 y 1 由题目条件知PQ中点的横坐标为0 所以Q点的坐标为 0 x 从而有 yxx y 10 即02 xyy 为该曲线满足的微分方程 8 求连续函数 xf使它满足xxxfdttxfsin 1 0 思路 思路 利用变上下限积分的求导公式逐次消去积分符号 并逐步根据积分相应的值定出微分方程的初始条 件 解解 令txu 则xdtdu 且有0 0 ut xut 1 原方程化简为xxxfdu x uf x sin 1 0 即xxxxfduuf x sin 2 0 两边关于x求导得xxxxxf xxfxfcossin2 2 化简得xxxxfcossin2 两边积分得 dxxxxxf cossin2 Cxxx sincos 即为所求函数 12 212 2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 内容概要内容概要 名称 标准形式 解法或通解公式 可 分 离 变 量型 形如 ygxf dx dy 解法 设0 yg 整理为dxxfdy yg 1 两边积分得 方程通解为dxxfdy yg 1 通常为隐函数形式 若0 0 yg得 0 yy 也为原方程的解 齐次 微分 方程 形如 x y dx dy 解法 令 x y u 即uxy 则 dx du xu dx dy 代入原方程得 u dx du xu 分 离 变 量 得 x dx uu du 两 端 积 分 x dx uu du 求出积分后 再用 x y 代替u 便得所给齐次方程的 通解 可 化 为 齐 次 的 微 分 方程 形如 222 111 cybxa cybxa f dx dy 解法 联立 0 0 222 111 cybxa cybxa 1 方程组有解 求得交点 00 yx 作平移变换 0 0 yyY xxX 即 0 0 yYy xXx 则 有 dx dy dX dY 原 方 程 就 化 为 齐 次 方 程 22 11 YbXa YbXa f dX dY 求得通解再回代 0 0 yyY xxX 即得原方程通 解 2 方程组无解 做变量代换ybxau 11 则 dx dy ba dx du 11 原 方程化为可分离变量方程 求得通解再回代即可 课后习题全解课后习题全解 2 指出下列微分方程的通解 知识点知识点 可分离变量微分方程的解法 1 0ln yyyx 解解 分离变量得 dx x dy yy 1 ln 1 两边积分得 dx x dy yy 1 ln 1 求解得 Cxylnlnlnln 从而 Cxylnlnln 即Cxy ln 故通解为 Cx ey 注注 积分出现对数形式时 绝对值符号可以忽略 并不影响结果的正确性 例 Cxylnlnlnln 改写为Cxylnln ln ln 从而Cxyln ln ln 即Cxy ln 故通解为 Cx ey 2 0 1 1 22 dyxydxyx 解解 分离变量得 dx x x dy y y 11 22 两边积分 dx x x dy y y 11 22 即 1 22 1ln 2 1 1ln 2 1 Cxy 化简得 1 222 1 1 C exy 故通解为Cxy 1 1 22 其中C为任意常数 3 01 2 dyxxydx 解解 分离变量得 dx x x dy y 2 1 1 两边积分得 dx x x dy y 2 1 1 即 1 2 1lnCxy 故通解为 2 1 2 x eCy 其中 1 2 C eC 为任意非零常数 而0 y显然也为原方程的解 所以通解为 2 1 x Cey C为任意常数 注 注 解题过程中任意常数出现e的幂的形式 通常需考察常数取零时是否为方程的解 拓展任意常数的范 围可否包括零 4 dxedxxdy y 解解 分离变量得 dx x dy e y 1 1 1 两边积分得 dx x dy e y 1 1 1 即 Cxe y lnln1ln 故通解为Cxe y 1 注 注 其中Ce e ed dy e e dy e y y y y y y 1ln 1 1 11 1 5 y dx dy x 1tan 解解 分离变量得 xdxdy y cot 1 1 两边积分得 xdxdy y cot 1 1 即 Cxylnsinln1ln 故通解为xCysin1 6 ydydxyxydydx 2 解解 分离变量得 dx x dy y y 1 1 1 2 两边积分得 dx x dy y y 1 1 1 2 即 1 2 1ln1ln 2 1 Cxy 化 简得 1 2 2 2 1 1 C e x y 故通解为 22 1 1 xCy 其中C为任意常数 注注 本题与课本答案不一致 课本答案错误 7 dyyxxyydxx 1 22222 解解 分离变量得 dx x x dy y y 1 1 2 22 两边积分得 dx x dyy y 1 1 1 1 2 即 Cxx y y arctan 2 ln 2 故通解为Cxx y y arctan 2 ln 2 其中C为任意常数 8 2 sin 2 sin yxyx y 解解 变形为 2 sin 2 cos2 2 sin 2 sin yxyxyx y 分离变量得 dx x dy y 2 cos 2 sin2 1 两边积分得 dx x dy y 2 cos 2 sin2 1 即 2 sin2 4 tanln x C y 故0 2 sin y 时的通解为 2 sin2 4 tanln x C y 当0 2 sin y 时 Ky2 K为整数 注注 1 三角函数和差化积公式 2 cos 2 sin2sinsin yxyx yx 2 sin 2 cos2sinsin yxyx yx 2 cos 2 cos2coscos yxyx yx 2 sin 2 sin2coscos yxyx yx 2 在解题过程中 求通解可忽略特解情形 2 求下列齐次方程的通解 知识点知识点 齐次微分方程的解法 1 0 22 yxyyx 解解 原方程变为 2 1 x y x y dx dy 令 x y u 则原方程化为 2 1uu dx du xu 即dx x du u 1 1 1 2 两边积分得 Cxu lnarcsin 将 x y u 代入上式得原方程的通解为 Cx x y lnarcsin 注注 本题与课本答案不一致 课本答案有误 2 x y y dx dy xln 解解 原方程变为 x y x y dx dy ln 令 x y u 则原方程化为 uu dx du xuln 即dx x du uu 1 1 ln 1 两边积分得 Cxulnln1lnln 即 1 Cx eu 将 x y u 代入上式得原方程的通解为 1 Cx xey 3 0cos cos dy x y xdx x y yx 解解 原方程变为 x y x y dx dy sec 令 x y u 则原方程化为 uu dx du xu sec 即dx x udu 1 cos 两边积分得 Cxu lnsin 将 x y u 代入上式得原方程的通解 Cx x y lnsin 4 x y ey x y 解解 令 x y u 则原方程化为 ue dx du xu u 即 u e dx du x 分离变量得 dx x due u 1 两边积分得 1 lnCxe u 即xCulnln 将 x y u 代入上式得原方程的通解 xC x y lnln 即xCxylnln 注 注 也可将 1 lnCxe u 中的 1 C改写为C 与后面出现的C保持一致 5 0 2222 dyyxyxxdxyxyxy 解解 原方程变形为 2 2 1 1 x y x y x y x y x y dx dy 令 x y u 则原方程化为 2 2 1 1 uu uu u dx du xu 即 2 3 1 22 uu uu dx du x 分离变量得 dx x du uu uu21 3 2 即 dx x du uu 2 1 11 2 两边积分得 Cxuulnln2arctanln 即 u euCx arctan2 将 x y u 代入上式得原方程的通解 x y eCxy arctan 3 求下列各初值问题的解 知识点知识点 可分离变量 以及齐次型微分方程求解 思路思路 求得通解的条件下代入初始条件 解出其中的任意常数 代入通解即得所求特解 1 0 0 11 0 x ydy x y dx y x 解解 分离变量得 dxxxdyyy 1 1 两边积分得 dxxxdyyy 22 即 C xxyy 3232 3232 由0 0 x y得0 C 所以所求特解为 3232 3232 xxyy 2 x y y x y 2 1 x y 解解 令 x y u 则原方程化为 u udx du xu 1 即dx x udu 1 两边积分得Cxu ln 2 1 2 将 x y u 代入上式得原方程的通解 ln2 22 Cxxy 由2 1 x y得2 C 故所求特解为 2 ln2 22 xxy 注 注 课本所给答案不含绝对值符号 根据通解的定义也是允许的 4 化下列方程为齐次方程 并求出通解 知识点知识点 对于形如 222 111 cybxa cybxa f dx dy 的方程解法 1 42 52 yx xy dx dy 解解 联立 042 052 yx xy 解之得 2 1 y x 做平移变换 2 1 Yy Xx 则 dX dY dx dy 代入原方程得 X Y X Y YX XY dX dY 2 12 2 2 令u X Y uXY 代入原方程得 u u dX du Xu 2 12 即 u u dX du X 2 1 2 分离变量得dX X du u u1 1 2 2 即 dX X du uu 1 1 1 2 3 1 1 2 1 两边积分得 CXuuln 2 1 ln1ln 2 3 1ln 2 1 化简得 23 1 1XuCu 将u X Y 代入得 3 XYCXY 将1 xX 2 yY回代得原方程通解 3 1 3 xyCxy 2 0 14 1 dyxydxyx 解解 原方程化简为 14 1 yx yx dx dy 联立 014 01 yx yx 解之得 0 1 y x 做平移变换 Yy Xx1 则 dX dY dx dy 代入原方程得 X Y X Y YX YX dX dY 41 1 4 令u X Y uXY 代入原方程得 u u dX du Xu 41 1 即 14 14 2 u u dX du X 分离变量得dX X du u u1 14 14 2 即 dX X du uu u1 14 1 14 4 22 两边积分得 2 ln2arctan 2 1 14ln 2 1 2 C Xuu 化简得 CuuX 2arctan 14 ln 22 将u X Y 代入得 C X Y XY 2 arctan4ln 22 将1 xX yY 回代得原方程通解 C x y xy 1 2 arctan 1 4ln 22 5 利用变量代换的方法求 0 433 dyyxdxyx的通解 思路 思路 先化成形如 222 111 cybxa cybxa f dx dy 由于 2 1 2 1 b b a a 所以联立 0 0 222 111 cybxa cybxa 无解 做变换ybxau 11 即可求得通解 解解 原方程化简为 433 yx yx dx dy 联立 0433 0 yx yx 无解 无法应用平移变换 令yxu 则 dx dy dx du 1 代入原方程得 u u u u dx du 34 24 34 1 分离变量得dxdu u u 42 43 即 dxdu u 42 2 2 3 两边积分得 Cxuu 2ln 2 3 将yxu 代入得 2 2ln 2 3C xyxyx 化简得Cyxyx 2ln23 即为所求通解 6 质量为g1的质点受外力作用作直线运动 该外力和时间成正比 和质点运动的速度成反比 在 st10 时 速度等于scmv 50 外力为 2 4scmgF 问运动 1 分钟后的速度是多少 解解 已知 v t kF 并且当st10 时 scmv 50 2 4sgcmF 故 50 10 4k 从而20 k 因此 v t F20 又由牛顿定律maF 即 v t dt dv 201 故tdtvdv20 即为速度与时间应满足的微分方程 两边积分得 Ctv 22 10 2 1 即Ctv220 2 由初始条件st10 时 scmv 50 有C 22 101050 2 1 解得 250 C 因此 50020 2 tv 当st60 时 cm s3 2695006020 2 v即为所求 7 求一曲线的方程 该曲线通过点 1 0 且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线 解解 设曲线方程为 xfy 切点为 yxP 则与原点连线斜率为 x y 由题意得曲线满足的微分方程为 y x dx dy 即 xdxydy 两边积分得 222 22 Cxy 方程通解为Cyx 22 又曲线通过点 1 0 代入通解得 C 10 所以所求曲线方程为1 22 yx 8 设有连结点 0 0 O和 1 1 A的一段向上凸的曲线弧AO 对于AO 上任一点 yxP 曲线弧 PO 与直线段OP所围图形的面积为 2 x 求曲线弧AO 的方程 解解 设曲线弧AO 的方程为 xyy 由题意知满足下面方程 2 0 2 1 xxxydxxy x 方程为积分形式的方程 需化为微分方程 两边求导得 xxyxxyxy2 2 1 2 1 即4 x y y为齐次方程 令 x y u 则有 4 u dx du xu 即dx x du 4 两边积分得 Cxu ln4 将 x y u 代入上式得方程的通解 Cxxxy ln4 由于 1 1 A在曲线上 即1 1 y 代入通解求得1 C 从而所求曲线方程为xxxy ln4 注 注 积分化为微分形式的方程 往往利用变上下限积分的求导公式逐次消去积分符号 9 某林区现有木材 10 万立方米 如果每一瞬时木材的变化率与当时木材数成正比 假使 10 年内这林区 能有 20 万立方米 是确定木材数p与时间t的关系 解解 由题意得 kp dt dp 且 20 10 100 tt pp 方程为可分离变量类型 分离变量 kdtdp p 1 两边积分得通解为 kt Cep 代入初始条件得 10 2ln 10 kC 所以所求函数关系为 10 210 t p 10 在某池塘养鱼 该池塘内最多能养鱼 1000 尾 在时刻t 鱼数y是时间t的函数 tyy 其变化 率与鱼数y及 1000 y成正比 已知在池塘内放养鱼 100 尾 3 个月后池塘内有鱼 250 尾 求放养t月后 池塘内鱼数 ty的公式 解解 由题意得 1000 yky dt dy k为比例系数 且 250 100 30 tt yy 可分离变量类型方程 kdtdy yy 1000 1 两边积分得通解为 kt Ce y y 1000 1000 代入初始条件得 3000 3ln 9 1 kC 所以所求函数关系为 3 3 39 31000 t t y 1212 3 3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 内容内容概要概要 名称 标准形式 解法或通解形式 一 阶 线 性 微 分 方程 形如 xQyxP dx dy 若0 xQ称为一阶线 性齐次微分方程 否则称为 一阶线性非齐次微分方程 解法 1 齐次线性方程0 yxP dx dy 是可分离变量方程 通解为 dxxP Cey 2 非齐次线性方程的通解为 CdxexQey dxxPdxxP 或 dxexQeCey dxxPdxxPdxxP 贝努 利型 形如 n yxQyxP dx dy n 0 1 解法 方程的两边同除以 n y 得 1 xQyxP dx dy y nn 令 n yz 1 得 1 1 xQnzxPn dx dz 解得线性微分方程 的解 回代即得原方程通解 1 求下列微分方程的解 知识点知识点 一阶线性微分方程的解法 1 xxy dx dy 42 解解 xxP2 xxQ4 代入公式得 4 22 Cdxexey xdxxdx 4 22 Cdxexe xx 2 22 Cee xx 2 2 x Ce 原方程通解为2 2 x Cey 2 2 2 1 xy xdx dy 解解 x xP 1 2 2 xxQ 代入公式得 2 1 2 1 Cdxexey dx x dx x 1 2 2 Cdx x xx CxxCxx 32 3 3 2 2 2 xy dx dy x 解解 原方程变形为 2 2 2 2 1 xy xdx dy 其中 2 1 x xP 2 2 2 xxQ 代入公式得 2 2 2 1 2 2 1 Cdxexey dx x dx x 2 1 2 2 2 2 Cdx x xx 2 2 2 2 32 xCxCxx 即为原方程通解 4 22 42 1 xxyyx 解解 原方程变形为 1 4 1 2 2 2 2 x x y x x y 其中 1 2 2 x x xP 1 4 2 2 x x xQ 代入公式得 1 4 1 2 2 2 1 2 22 Cdxe x x ey dx x x dx x x 3 4 1 1 1 1 4 1 1 3 2 2 2 2 2 Cx x Cdxx x x x 即为原方程通解 5 02 6 2 y dx dy xy 思路 思路 微分方程中函数关系可以依解题方便来定 本题中若将y看作x的函数 不便解题 若将x看作y 的函数 则可改写成一阶线性微分方程 yQxyP dy dx 通解公式为 CdyeyQex dyyPdyyP 解解 原方程变形为 yx ydy dx 2 13 令 y yP 3 yyQ 2 1 代入公式得 2 1 33 Cdyeyex dy y dy y 1 2 1 3 3 Cdy y yy 323 2 1 2 1 CyyC y y 即为原方程通解 6 dyexdyyydx y 1 思路思路 同题 5 解解 原方程变形为 y e x y y dy dx y 1 令 y y yP 1 y e yQ y 代入公式得原方程通解为 1 1 1 1 Cdye y e ex dy y y dy y 2 1 1 2 C e e y Cdyye y e e y y yy y y 2 1 y y Ce e y 7 yyxdx dy 2sincos 1 思路思路 同题 5 解解 原方程变形为yyx dy dx 2sincos 即yyx dy dx 2sincos 令 yyPcos yyQ2sin 代入公式得 2sin coscos Cdyyeex ydyydy cossin2 2sin sinsinsinsin CdyyeyeCdyyee yyyy sin2 sinsin Cydee yy sin2sin2 sinsinsin Cydeyee yyy yyyy CeyCeyee sinsinsinsin 2sin2 2sin2 8 0 2 222 y dx dy yxyx 解解 原方程变形为1 21 2 x yydy dx 令1 21 2 yQ yy yP 代入公式得 21 12 22 Cdyeex dy yy dy yy 1 2 11 2 Cdy y eey yy yyy eCyyCeey 1 22 11 2 9 xfxfyxfy 解解 xfxP xfxfxQ 代入公式得 Cdxexfxfey dxxfdxxf Cdexfe Cdxexfxfe xfxf xfxf Cxdfeexfe xfxfxf 1 xfxfxfxf CexfCeexfe 2 求下列微分方程满足初始条件的特解 1 83 y dx dy 2 0 x y 解解 由通解公式得 8 33 Cdxeey dxdx xxxxx CeCeeCdxee 33333 3 8 3 8 8 由2 0 x y 得 3 2 C 故所求特解为 4 3 2 3x ey 2 xxy dx dy sectan 0 0 x y 解解 由通解公式得 sec tantan Cdxexey xdxxdx cos 1 cossec cos 1 Cx x Cxdxx x 由0 0 x y 得0 C 故所求特解为xxysec 3 求一曲线的方程 这曲线通过原点 并且它在点 yx 处的切线斜率等于yx 2 解解 由题意知yxy 2 并且0 0 x y 由通解公式得 2 2 CdxxeeCdxxeey xx dxdx 22 Cexee xxx 22 xCex 由0 0 x y 得2 C 故所求曲线的方程为 1 2 xey x 4 设连续函数 xy满足方程 x x edttyxy 0 求 xy 解解 方程两边关于x求导 得 x exyxy 为一阶线性非齐次微分方程 利用公式得通解为 CdxeCdxeeey x dx x dx Cxex 由1 0 x y 得1 C 故所求曲线的方程为 1 xey x 5 求下列伯努利方程的通解 知识点知识点 伯努利方程的解法 1 2 3xyxyy 解解 原方程可变形为x y x dx dy y 1 3 1 2 令 dx dy y dx dz yz 21 代入原方程得线性方程 xxz dx dz 3 代入通解公式得 33 Cdxexez xdxxdx 即 22 2 3 2 3 1 Cdxxeey xx 3 1 3 1 222 2 3 2 3 2 3 xxx CeCee 原方程的通解为 3 11 2 2 3 x Ce y 2 0ln33 4 xxyyyx 解解 原方程可变形为 x yxdx dy y ln 1 3 11 34 令 dx dy y dx dz yz 43 3 代入原方程化简 xz xdx dz ln3 1 为一阶线性非齐次微分方程 通解为 ln3 11 Cdxexez dx x dx x 即 4 3 ln 2 3 1 ln3 1 223 Cxxx x Cxdxx x y 原方程的通解为 x C xxx y 4 3 ln 2 31 3 3 4 21 3 1 3 1 yxy dx dy 解解 原方程可变形为 21 3 11 3 11 34 x ydx dy y 令 dx dy y dx dz yz 43 3 代入原方程得线性方程12 xz dx dz 通解为 12 Cdxexez dxdx 即 xxx CexCdxexey 12 12 3 原方程的通解为12 1 3 xCe y x 4 y x y x x dx dy1ln 2 解解 原方程可变形为 x x y xdx dy y ln1 12 令 dx dy y dx dz yz 21 代入原方程得线性方程 x x z xdx dzln1 通解为 ln 11 Cdxe x x ez dx x dx x 即 1ln ln 2 1 C xx x xCdx x x xy 原方程的通解为Cxxy 1ln 1 注注 C xx x xd xx x x xddx x x 1ln1ln1 ln ln 22 5 3 4 2 2 yxy x y 解解 原方程可变形为 2 3 1 3 4 2 xy xdx dy y 令 3 1 yz dx dy y dx dz 3 4 3 1 代入原方程化简得一阶线性微分方程 2 3 1 3 2 xz xdx dz 利用公式求通解得 3 1 3 2 2 3 2 Cdxexez dx x dx x 即 7 1 3 1 3 7 3 2 3 4 3 2 3 1 CxxCdxxxy 所以原方程的通解为 3 2 3 3 1 7 1 Cxxy 6 1 23 xyxxyx dx dy 解解 令 xyu 1 dx dy dx du 原方程可变形为 23u xxu dx du 即 312 xxu dx du u 令 1 uz dx du u dx dz 2 代入原方程化简得一阶线性方程 3 xxz dx dz 利用公式求通解得 3 Cdxexez xdxxdx 即 2 22 2 22 3 2 1 22222 CeexeCdxexeu xxxxx 原方程的通解为 2 21 2 2 x Cexxy 即 1 2 2 2 2 x Cexxy 注 注 Ceex x deexdexdxex xxxxxx 22 2 2 22 2 2 2 2 3 222222 2 2 2 6 作适当的变换求下列方程的通解 思路思路 经过变量代换 某些方程可以化为变量可分离的方程 或化为已知其求解方法的方程通常用到 的有xyu yxu 2 yu 等等 1 0 sin yxx dx dy x 解解 令yxu 则原方程化为 0sin 1 ux dx du x 即u dx du xsin 为可分离变量方程 求通解得 x C uu cotcsc 将yxu 代入上式得 原方程的通解 x C yxyx cot csc 2 1 1 yxdx dy 解解 令yxu 则原方程化为 1 1 1 udx du 即ududx 两边积分得 1 2 2 1 Cux 将yxu 代入上式得 原方程的通解 1 2 2 1 Cyxx 即Cxyx 2 2 2 1 CC 3 0 22 dyyxxdxxyy 解解 原方程变形为 1 1 xyx xyy dx dy 令xyu x u y 2 x u dx du x dx dy 代入原方程化简得 1 1 u uu u dx du x 即 1 2 2 u u dx du x为可分离变量类型方程 求通解得 u e x Cu 1 2 将xyu 代入上式得 原方程的通解为 xy xeCy 1 4 y xxy dx dy 2 sin 2 解解 原方程变形为xxy dx dy ysin2 2 令 2 yu dx dy y dx du 2 代入原方程化简得 xxu dx du sin 即xxu dx du sin 为一阶线性微分方程 求得通解 sin sin 22 22 CxdxeeCdxxeeu xx xdxxdx 原方程通解为 sin 22 2 22 Cxdxeey xx 注 注 1 课本答案有误 2 xdxe x sin 2 2 积分没有办法有初等函数表示 可保留 5 yyx dx dy ysinsincoscos 2 解解 令yusin dx dy y dx du cos 代入原方程化简得 uxu dx du cos 2 即xuu dx du cos 2 为贝努里微分方程 令 1 uz dx du u dx dz 2 代入原方程得 xz dx dz cos 为一阶线性微分方程 利用通解公式得 2 cos sin cos 1 C xxe eCdxxeez x x dxdx 化简得 x Ce xx z 2 cossin 即 x Ce xx u 2 cossin 1 原方程的通解为 x Ce xx y 2 cossin sin 1 1212 4 4 全微分方程全微分方程 内容内容概要概要 名称 标准形式 解法及通解 全 微 分 方 程 形如 0 dyyxQdxyxP 若存在可微函数 yxu使得 dyyxQdxyxPdu 解 法 1 y 00 0 CdyxQdxyxPyxu y y x x 或 y 00 0 CdyxQdxyxPyxu y y x x 00 yx为 选 定的一点 通常取 0 0 2 积 分 因子 当 x Q y P 若 存 在一 函 数0 yx 使 0 dyyxQyxdxyxPyx 成为全微分方程 则 称 yx 为积分因子 3 常用积分因子 1 1 1 1 222222 x y yxyxxyx 2 y x 4 观察法找积分因子 记住常用 2 22 yx dydyxdx 2 x y d x ydxxdy ln xyd xy ydxxdy 判定方法 若 x Q y P 则为 全微分方程 arctan 22 x y d yx ydxxdy ln 2 1 22 22 yxd yx ydyxdx 课后习题全解课后习题全解 1 判别下列微分方程中哪些是全微分方程 并求其通解 知识点知识点 全微分方程的判定 全微分方程的求解 1 0 2 xdydxyx 解解 这里yxP 2 xQ 因为 x Q y P 1 所以此方程是全微分方程 其通解为 Cxdydxx yx 00 2 即 Cxyx 3 3 1 2 0 3 dyyxdxyx 解解 这里yxP 3 yxQ 因为 x Q y P 1 所以此方程是全微分方程 其通解为Cdyyxdxx yx 00 3 即 Cyxyx 24 2 1 4 1 3 02 2 xydydxyx 解解 这里yxP 2 xyQ2 因为 1 y P y x Q 2 所以此方程不是全微分方程 4 0 2 22 dyyxydxyx 解解 这里 22 yxP yxyQ 2 因为 x Q y y P 2 所以此方程是全微分方程 其通解为 Cdyyxydxx yx 00 2 2 即 Cyxyx 223 2 1 3 1 5 0 1 1 dy y x edxe y x y x 解解 这里 y x eP 1 1 y x eQ y x 因为 x Q e y x y P y x 2 所以此方程是全微分方程 其通解为 Cdy y x edxe y y x x x 11 1 1 即 Cyex y x 注注 其中 xy x y y x y y x y y x y y x y y x y y x eyedye y x dye y x yedye y x dyedy y x e 11 1 111 1 6 0sinsin coscos yxyyxyx 解解 原方程化简为0 sinsin coscos dxyxydyxyx 这里 sinsin yxyP xyxQcoscos 因为 x Q yx y P cossin 所以此方程是全微分方程 其通解为 Cdyxyxdx yx 00 coscos 0 即 Cxyyx cossin 2 证明 1 2 x y f x 是微分方程0 ydxxdy的积分因子 知识点知识点 积分因子的定义 解解 方程两边乘以 1 2 x y f x 得 0 1 2 ydxxdy x y f x 这里 2 x y f x y P 1 x y f x Q 因为 x Q x x y f y x y xf y P 3 所以 1 2 x y f x 是原方程的一个积分因子 3 已知微分方程0 8 6 322 dyyxxdxyxy具有形如 3 xfy的积分因子 求 xf 并且求微分方程的通解 解解 方程两边同乘以 3 xfy得 0 8 6 33223 dyyxxxfydxyxyxfy 因为 3 xfy为原方程的积分因子 所以有 8 6 33223 yxxxfy x yxyxfy y 即 3 8 8 524 423433423 xfyxxfyxfyxxfxyxfyxy 化简得 yxfxf xxxfxf x 2 2 8 2 由y值的任意性得 2 xfxf x 解得其通解为 2 Cxxf 取 2 xxf 原微分方程的积分因子为 32 yx 原方程两边同乘以积分因子0 8 6 45335442 dyyxyxdxyxyx为全微分方程 整理得 0 86 45543342 dyyxdxyxdyyxdxyx 从而 0 5 1 2 5543 yxyxd 原微分方程通解为Cyxyx 5543 5 1 2 2 利用观察法求出下列方程的积分因子 并求其通解 1 0 2 3 22 dyxyxdxyx 解解 方程变形为023 22 xdyydxydyxdxx 方程两边同时乘以 2 1 x 得023 2 x ydxxdy ydydx 即0 3 2 x y dyxd 所以 2 1 x 为原方程的一个积分因子 并且原方程的通解为C x y yx 2 3 2 dxyxydyxdx 22 解解 方程两边同时乘以 22 1 yx 得 0 22 dx yx ydyxdx 即0 ln 2 1 22 dxyxd 所以 22 1 yx 为原方程的一个积分因子 并且原方程的通解为 Cxyx ln 2 1 22 3 0 22 xdydxyyx 解解 方程变形为0 22 xdyydxdxyx 方程两边同时乘以 22 1 yx 得 0 22 yx xdyydx dx 即0arctan y x ddx 所以 22 1 yx 为原方程的一个积分因子 并且原方程的通解为 C y x x arctan 4 0 2 xdydxyx 解解 方程变形为0 2 xdyydxdxx 方程两边同时乘以 2 1 x 得 0 2 x ydxxdy dx 即0 x y ddx 所以 2 1 x 为原方程的一个积分因子 并且原方程的通解为 C x y x 1212 5 5 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程 内容概要内容概要 课后习题详解课后习题详解 1 求下列微分方程的通解 1 xey x sin 3 解解 积分一次 1 33 cos 3 1 sin Cxedxxey xx 积分两次 21 3 1 3 sin 9 1 cos 3 1 CxCxedxCxey xx 原方程的通解为 21 3 sin 9 1 CxCxey x 2 2 1yy 解解 令yxp 则原方程化为 2 1pp 即dxdp p 2 1 1 两边积分得 1 arctanCxp 即 tan 1 Cxpy 从而 211 cos ln tan CCxdxCxy 原方程的通解为 21 cos lnCCxy 3 xyy 名称 标准形式 通解及解法 可降 阶型 xfy n 型 解法 积分 n 次 yxfy 型 解 法 设 xpy 方 程 化 为 pxfp 求 得 通 解 1 Cxpy 再积分即得原方程通解 21 CdxCxy yyfy 型 解法 设 ypy dy dp py 方程化为 pyf dy dp p 求得通 解 1 Cypy 分 离 变 量 积 分 得 原 方 程 通 解 为 2 1 Cx Cy dy 解解 令yxp 则原方程化为 xpp 由一阶线性非齐次方程的通解公式得 1 111 xeCCdxxeeCdxexep xxx dxdx 即 1 1 xeCy x 于是 2 2 11 2 1 1 CxxeCdxxeCy xx 原方程的通解为 2 2 1 2 1 CxxeCy x 4 0 1 2 y y y 解解 令yxp 则 dy dp py 原方程化为0 1 2 y p dy dp p 即dy y dp p1 11 两边积分得 1 ln1lnlnCyp 即 1 1 yCp 故 1 1 yCy 即dxCdy y 1 1 1 两边积分得原方程的通解 21 1lnCxCy 5 x y xyyx sin 解法一解法一 令yxp 则py 代入原方程化简得 x p xppxsin 即 x p x p psin 为齐次微分方程 令 xu x p 则uuxp 代入方程得uuuuxsin 为可分离变量方程 两边积分 dx x dp u 1 sin 1 解得 1 lnln 2 tanlnCx u 化简得 xCu 1 arctan2 即xC x y 1 arctan2 从而xCxy 1 arctan2 两边积分得 2 11 arctanarctan2xdxCxdxCxy dx xC xC xCx 22 1 2 1 1 2 1 arctan dx xC CC xC xCx 22 1 11 2 1 1 2 1 11 arctan dx xCC dx C xCx 22 111 1 2 1 111 arctan 解得 21 2 11 1 2 arctan 1 arctanCxC CC x xCxy 0 1 C 若0 1 C 则0 y 2 Cy 解法二解法二 令 x y xp 则ppxy 代入原方程化简得 pxxpxppxsin 2 即ppxsin 为可分离变量方程 两边积分 dx x dp p 1 sin 1 解得 1 lnln 2 tanlnCx p 化简得xC p 1 2 tan xCp 1 arctan2 即xC x y 1 arctan2 从而xCxy 1 arctan2 两边积分 2 11 arctanarctan2xdxCxdxCxy dx xC xC xCx 22 1 2 1 1 2 1 arctan dx xC CC xC xCx 22 1 11 2 1 1 2 1 11 arctan dx xCC dx C xCx 22 111 1 2 1 111 arctan 解得 0 arctan 1 arctan 121 2 11 1 2 CCxC CC x xCxy 若0 1 C 则0 y 2 Cy 6 yyy 3 解解 令yyp 则 dy dp py 原方程化为 pp dy dp p 3 即0 1 2 p dy dp p 由0 p得Cy 这是原方程的一个解 由0 1 2 p dy dp 得 1 arctanCyp 即 tan 1 Cypy 从而 sin ln tan 1 1 1 2 Cydy Cy Cx 故原方程的通解为 1 2 arcsinCey Cx 2 求微分方程 2 2 3 yy 满足初始条件1 0 x y 1 0 x y的特解 解解 令yxp 则 dy dp py 原方程化为 2 2 3 y dy dp p 即dyypdp 2 2 3 两边积分得 1 32 2 1 2 1 2 1 Cyp 即 1 3 Cyy 由1 0 x y 1 0 x y得0 1 C 所以 2 3 yy 从而dxdyy 2 3 两边积分得 2 2 1 2Cxy 由1 0 x y 得2 2 C 故原方程的特解为 2 2 4 xy 3 试求xy 的经过点 1 0 M且在此点与直线1 2 1 xy相切的积分曲线 解解 原题转化成求xy 在初始条件1 0 x y 2 1 0 x y的特解 方程两边积分 1 2 2 1 Cxy 21 3