高中数学 第一章 立体几何初步 1.6 垂直关系 1.6.2 垂直关系的性质课件 北师大版必修2.ppt

6 2垂直关系的性质 1 理解并掌握直线与平面垂直 平面与平面垂直的性质定理 2 会用两个性质定理解决相关问题 3 理解线线垂直 线面垂直 面面垂直的内在联系 1 直线与平面垂直的性质定理 名师点拨1 利用线面垂直的性质来证明线线平行时 其关键是找出一个平面 使所证直线都与该平面垂直 2 线面垂直的性质定理 线面平行的性质定理 平行于同一直线的两条直线平行都是证明线线平行的依据 证明线面平行 面面平行 归结到最后还是证明线线平行 3 垂直于同一直线的两个平面互相平行 2 平面与平面垂直的性质定理 名师点拨1 应用面面垂直的性质定理时必须注意到两个条件 1 线在平面内 2 线垂直于两平面的交线 因此找准两平面的交线是关键 2 已知面面垂直的条件 其性质定理就给出了作辅助线的一种方法 设法找出 作出 一个平面内的一条直线垂直于它们的交线 就可得到线面垂直的结论 做一做 如图所示 已知平面 平面 b 直线a 且a 求证 a 证明 如图所示 在平面 内作直线c 使c b 因为 b 所以c 又a 因此 a c 又a c 所以a 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 已知直线m n 平面 下列说法正确的是 a m n m n 则 b m n 则m nc m n 则m nd m m n 则n 题型一 题型二 题型三 题型四 解析 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 直线c1c 平面abcd 直线d1c1 平面a1b1c1d1 直线c1c 直线d1c1 但是平面abcd与平面a1b1c1d1平行 排除a选项 平面abcd 平面d1dcc1 直线c1c 平面abcd b1b 平面d1dcc1 但是b1b c1c 排除b选项 平面abcd 平面a1abb1 平面abcd 平面a1abb1 ab ab bc1 但是bc1不垂直于平面a1abb1 排除d选项 答案 c反思本题是符号语言表述的位置关系的判断题 以选择题的形式出现 通常借助几何模型 利用排除法 排除错误的选项 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 已知平面 平面 m是 内一条直线 n是 内一条直线 且m n 那么 m n m 或n m 且n 这四个结论中 不正确的三个是 a b c d 解析 本题主要考查面面垂直的性质和线面垂直的判定 解决问题的关键是正确理解定理的条件及结论 在正方体abcd a1b1c1d1中 令平面abcd和平面cdd1c1分别为 和 若m为ab n为cc1 则m n 但m 故 错误 同理 错误 故选b 答案 b 题型一 题型二 题型三 题型四 例2 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 点e f分别在a1d ac上 且ef a1d ef ac 求证 ef bd1 分析 题目条件中给出了线线垂直 通过转化可证得线面垂直 要证ef bd1 只需证明ef与bd1同垂直于某一平面即可 由条件可知这里选择平面ab1c 题型一 题型二 题型三 题型四 证明 连接ab1 b1c bd b1d1 如图所示 dd1 平面abcd ac 平面abcd dd1 ac 又ac bd ac 平面bdd1b1 bd1 平面bdd1b1 ac bd1 同理bd1 b1c 又ac b1c c bd1 平面ab1c ef a1d 且a1d b1c ef b1c 又ef ac 且ac b1c c ef 平面ab1c ef bd1 反思当题中垂直条件很多 但又需证明两条直线平行时 就要考虑用直线与平面垂直的性质定理 从而完成由垂直向平行的转化 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 1 本例中的 正方体abcd a1b1c1d1 换为 长方体abcd a1b1c1d1 结论 ef bd1 还成立吗 2 本例中去掉点e 点f 线段a1d 若ac与bd的交点为o dd1的中点为g 证明 go 平面acb1 题型一 题型二 题型三 题型四 1 解 不一定成立 如例题解析在长方体abcd a1b1c1d1中 bd与ac不一定垂直 故bd1与平面ab1c不一定垂直 所以ef bd1不一定成立 2 证明 如图所示 连接bc1 b1d1 则b1c bc1 又d1c1 b1c d1c1 bc1 c1 b1c 平面bc1d1 bd1 平面bc1d1 b1c bd1 由例题知ac 平面bb1d1d 且bd1 平面bb1d1d ac bd1 又ac b1c c bd1 平面acb1 由点g o分别为dd1 db的中点 知go bd1 go 平面acb1 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 如图所示 p是四边形abcd所在平面外一点 四边形abcd是 dab 60 的菱形 g为ad边的中点 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd 求证 1 bg 平面pad 2 ad pb 分析 由题干可获取以下主要信息 四边形abcd是 dab 60 的菱形 平面pad 平面abcd 解答本题可先由面垂直于面得线垂直于面 再进一步得出线垂直于线 题型一 题型二 题型三 题型四 证明 1 如图所示 连接pg bd pad为正三角形 g是ad的中点 pg ad 又平面pad 平面abcd 且平面pad 平面abcd ad pg 平面abcd bg 平面abcd pg bg 又四边形abcd是菱形 且 dab 60 abd是正三角形 bg ad 又ad 平面pad pg 平面pad 且ad pg g bg 平面pad 2 由 1 可知bg ad pg ad 又bg 平面pbg pg 平面pbg 且bg pg g ad 平面pbg pb 平面pbg ad pb 题型一 题型二 题型三 题型四 反思证明线面垂直 一种方法是利用线面垂直的判定定理 另一种方法是利用面面垂直的性质定理 本题已知面面垂直 故考虑利用面面垂直的性质定理 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时 要注意以下三点 1 两个平面垂直 2 直线必须在其中一个平面内 3 直线必须垂直于它们的交线 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 证明 如图所示 取cd的中点e 连接pe em ea pcd为正三角形 pe cd pe 又平面pcd 平面abcd pe 平面abcd 又am 平面abcd pe am 四边形abcd为矩形 ade ecm abm均为直角三角形 em2 am2 ae2 即am em 又pe em e am 平面pme am pm 题型一 题型二 题型三 题型四 易错点 应用定理时因忽视条件而致误 例4 如图所示 已知s为 abc所在平面外一点 sa 平面abc 平面sab 平面sbc 求证 bc ab 错解 sa 平面abc 且平面sab 平面sbc bc sb bc 平面sab 又ab 平面sab bc ab 错因分析 错因是没有理解面面垂直的定理 误认为若两个平面垂直 则一个平面内的所有直线都垂直于另一个平面 显然不正确 知道面面垂直 要证线线垂直 可将证线线垂直转化为线面垂直 由已知面面垂直 则可在一个面内作两个平面的交线的垂线 由面面垂直的性质定理可知该直线垂直于另一个平面 题型一 题型二 题型三 题型四 正解 如图所示 过点a作ae sb 垂足为e 平面sab 平面sbc 且平面sab 平面sbc sb ae 平面sbc bc ae 由已知sa 平面abc 得sa bc bc 平面sab bc ab 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练4 如图所示 在三棱锥p abc中 平面pab 平面abc pb bc 求证 bc pa 题型一 题型二 题型三 题型四 证明 如图所示 作po ab 垂足为o 因为平面pab 平面abc 平面pab 平面abc ab 所以po 平面abc 所以po bc 因为pb bc po pb p 所以bc 平面pab 因为pa 平面pab 所以bc pa 12345 1 已知直线a b 平面 且a 下列条件中 能推出a b的是 a b b b c b d b与 相交解析 由线面垂直的性质定理可知 当b a 时 a b 答案 c 12345 2 给出下列命题 平行于同一平面的两直线平行 垂直于同一平面的两直线平行 平行于同一直线的两平面平行 垂直于同一直线的两平面平行 其中正确的有 a b c d 12345 解析 如图所示 a1b1 平面abcd a1d1 平面abcd 而a1b1与a1d1相交 故 错误 c1c 平面a1abb1 c1c 平面a1add1 而平面a1abb1 平面a1add1 a1a 故 错误 正确 故选a 答案 a 12345 3 已知m n是直线 是平面 给出下列命题 若 m n m 则n 或n 若 m n 则m n 若m不垂直于 则m不可能垂直于 内的无数条直线 若 m m n 且n n 则n 且n 其中正确命题的序号是 12345 解析 如图所示 命题 显然错误 与 无公共点 交线m与交线n也无公共点 又m n m n 命题 正确 虽然直线m不垂直于 但m有可能垂直于平面 内的一条直线 于是 内所有平行于这条直线的无数平行直线都垂直于m 命题 错误 由直线与平面平行的判定定理可知 m m m 又m n n n 必有n n 命题 正确 故应填 答案 12345 4 已知平面 平面 l 点p l 给出下面四个结论 正确的有 只填序号 过点p与l垂直的直线在 内 过点p与 垂直的直线在 内 过点p与l垂直的直线必与 垂直 过点p与 垂直的平面必与l垂直 解析 画出示意图 如图所示 显然 mp l 但mp不在平面 内 故