高中数学 第二章 解析几何初步 2.2 圆与圆的方程 2.2.1 圆的标准方程课件 北师大版必修2.ppt

2圆与圆的方程 2 1圆的标准方程 1 掌握圆的标准方程 能根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程 2 能根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径 并运用圆的标准方程解决简单问题 3 掌握利用待定系数法求圆的标准方程的方法 借助圆的几何性质处理与圆心及半径有关的问题 1 确定圆的条件一个圆的圆心位置和半径一旦给定 这个圆就确定了 2 圆的标准方程 1 圆的定义 到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆 定点叫作圆的圆心 定长称为圆的半径 2 方程 圆心为c a b 半径为r的圆的标准方程是 x a 2 y b 2 r2 3 当圆心在坐标原点时 有a b 0 那么圆的方程为x2 y2 r2 做一做1 圆c x 2 2 y 1 2 3的圆心坐标是 a 2 1 b 2 1 c 2 1 d 2 1 答案 b 做一做2 分别求满足下列各条件的圆的方程 1 圆心是原点 半径是3 2 圆心为点c 3 4 半径是 3 经过点p 5 1 圆心是点c 8 3 解 1 x2 y2 9 2 x 3 2 y 4 2 5 r2 25 又圆心是点c 8 3 圆的方程为 x 8 2 y 3 2 25 方法二 圆心为c 8 3 故设圆的方程为 x 8 2 y 3 2 r2 又点p 5 1 在圆上 5 8 2 1 3 2 r2 r2 25 故所求圆的方程为 x 8 2 y 3 2 25 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 求经过a 6 5 b 0 1 两点 并且圆心在直线l 3x 10y 9 0上的圆的标准方程 分析 思路一 线段ab的垂直平分线与直线l的交点是圆心 则解方程组得圆心坐标 圆心到点a 或点b 的距离等于半径 可直接写出圆的标准方程 思路二 设出圆的标准方程 列方程组求解 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1 求圆的标准方程的方法包括几何法和待定系数法 由圆的几何性质易求圆心坐标和半径时 用几何法可简化运算 其他情况可用待定系数法 2 一般地 不在同一直线上的三点可以确定一个圆 三角形有唯一的外接圆和内切圆 外接圆圆心为三角形中三边垂直平分线的交点 内切圆圆心为三条角平分线的交点 已知圆心所在直线及圆上两点 则两点连线的垂直平分线与圆心所在直线的交点为圆心 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 abc的三个顶点分别为a 0 5 b 1 2 c 3 4 求其外接圆的方程 分析 方法一 三角形两边的垂直平分线的交点即为外接圆的圆心 由此确定任意两边的垂直平分线的方程 联立方程组得到圆心并可计算出半径 方法二 设出圆的标准方程 代入三点坐标 得关于a b r的方程组 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 例2 求以点c 3 5 为圆心 6为半径的圆的方程 并判断点p1 4 3 p2 3 1 p3 3 4 与这个圆的位置关系 分析 根据圆心坐标和半径可得圆的标准方程 判断点在圆上 圆外 圆内的方法是 根据已知点到圆心的距离与半径的大小关系来判断 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思点与圆的位置关系的判断方法 1 几何法 比较圆心到该点的距离d与圆的半径r的大小 2 代数法 直接利用下面的不等式判定 x0 a 2 y0 b 2 r2 点 x0 y0 在圆外 x0 a 2 y0 b 2 r2 点 x0 y0 在圆上 x0 a 2 y0 b 2 r2 点 x0 y0 在圆内 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 已知两点p1 3 8 和p2 5 4 求以线段p1p2为直径的圆的方程 并判断点m 5 3 n 3 4 p 3 5 是在此圆上 在此圆内 还是在此圆外 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 如图所示是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图 该圆拱跨度ab 20m 拱高op 4m 在建造时每隔4m需用一个支柱支撑 求支柱cd的高度 精确到0 01m 分析 根据题目中的已知条件 求出圆的标准方程 然后求出图中点c的坐标 则点c的纵坐标就是所求 题型一 题型二 题型三 题型四 解 以ab所在直线为x轴 op所在直线为y轴 建立如图所示的直角坐标系 则圆心在y轴上 设圆心的坐标是 0 b 圆的半径是r 则圆的方程是x2 y b 2 r2 因为点p b都在圆上 所以它们的坐标 0 4 10 0 都满足圆的方程 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思通过建立坐标系 把点与坐标 曲线与方程联系起来 实现空间图形与代数运算的结合 是解决几何问题的重要方法 要特别注意选择适当的坐标系 可以使解题过程简化 在通常情况下 使图形中某些线段在坐标轴上 线段的端点或中点在原点 遇到图形中有两条互相垂直的线段 常常选这两条线段所在的直线为坐标轴 遇到轴对称图形 常常选它的对称轴为坐标轴 遇到中心对称图形 常常选它的对称中心为原点 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 如图所示 一座圆拱桥 当水面在l位置时 拱顶离水面2m 水面宽12m 当水面下降1m后 水面宽为多少 精确到0 01m 题型一 题型二 题型三 题型四 解 以圆拱桥拱顶为坐标原点 以过拱顶的竖直直线为y轴 建立平面直角坐标系 如图所示 设圆心为c 水面所在弦的端点为a b 则由已知得a 6 2 设圆的半径为r 则c 0 r 即圆的方程为x2 y r 2 r2 将点a的坐标 6 2 代入方程 得36 r 2 2 r2 r 10 圆的方程为x2 y 10 2 100 当水面下降1m后 可设点a 的坐标为 x0 3 x0 0 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练4 圆心在直线2x y 3上 且与两坐标轴相切的圆的标准方程为 解析 设圆心的坐标c为 a b 则 a b 圆心在直线2x y 3上 当a b时 代入直线方程得a b 3 此时圆的方程为 x 3 2 y 3 2 9 当a b时 同理得a 1 b 1 此时圆的方程为 x 1 2 y 1 2 1 答案 x 3 2 y 3 2 9或 x 1 2 y 1 2 1 12345 答案 b 12345 答案 b 12345 3 点p m 5 与圆