高中数学 第三章 概率 3.1.3 概率的基本性质课件 新人教A版必修3.ppt

3 1 3概率的基本性质 自主预习 主题1 事件的关系与运算1 在抛掷骰子试验中 我们用集合形式定义如下事件 c1 出现1点 c2 出现2点 c3 出现3点 c4 出现4点 c5 出现5点 c6 出现6点 d1 出现的点数不大 于1 d2 出现的点数大于4 d3 出现的点数小于6 e 出现的点数小于7 f 出现的点数大于6 g 出现的点数为偶数 h 出现的点数为奇数 如果事件c1发生 则一定有哪些事件发生 反之 成立吗 在集合中 集合c1与这些集合之间的关系怎样描述 提示 如果事件c1发生 则一定发生的事件有d1 d3 e h 反之 如果事件d1 d3 e h分别成立 能推出事件c1发生的只有d1 所以从集合的观点看 事件c1是事件d3 e h的子集 事件c1与事件d1相等 2 在问题1的基础上 如果事件d2与事件h同时发生 就意味着哪个事件发生 事件c3和事件d2能同时发生吗 它们两个事件有什么关系 事件g与事件h呢 提示 如果事件d2与事件h同时发生 就意味着事件c5发生 事件c3和事件d2不能同时发生 且在一次试验中可能一个也不发生 同样的 事件g与事件h不能同时发生 但必有一个发生 通过以上探究总结出事件间的关系及其运算事件的关系 发生 b a a b 不可能 事件 a b 不可能 事件 必 然事件 a b 事件的运算 事件a发生或事件b发生 a b a b 事件a发生且事件b发生 a b ab 主题2 概率的基本性质1 一个事件的频率的范围是什么 必然事件的频率呢 不可能事件的频率呢 提示 由于事件的频数总是小于或等于试验的次数 所以 频率在0 1之间 必然事件是在试验中一定要发生的事件 所以频率为1 不可能事件是在试验中一定不发生的事件 所以频率为0 2 如果事件a与事件b互斥 则事件a b发生的频数与事件a b发生的频数有什么关系 fn a b 与fn a fn b 有什么关系 提示 若事件a与事件b互斥 则a b发生的频数等于事件a发生的频数与事件b发生的频数之和 从而有fn a b fn a fn b 由于频率逐渐稳定于概率 所以根据上述频率的特点可以总结出概率的几个基本性质 1 任何事件概率的取值范围为 即0 p a 1 2 的概率为1 的概率为0 0 1 必然事件 不可能事件 3 概率的加法公式 若事件a与事件b为互斥事件 则p a b 4 若a与b互为对立事件 则p a p 1 p 0 p a p b 1 p b a b a b 深度思考 结合教材p121例题你认为利用概率的加法公式求概率的步骤有哪些 第一步 第二步 第三步 确定各个事件是两两互斥的 求出各个事件分别发生的概率 利用互斥事件的概率加法公式直接求解 预习小测 1 给出事件a与b的关系示意图 如图所示 则 a a bb a bc a与b互斥d a与b互为对立事件 解析 选c 由互斥事件 对立事件的概念可知 a与b互斥但不对立 2 某小组有5名男生和3名女生 从中任选2名同学参加演讲比赛 那么互斥不对立的两个事件是 a 至少有1名男生与全是女生b 至少有1名男生与全是男生c 至少有1名男生与至少有1名女生d 恰有1名男生与恰有2名女生 解析 选d a中两事件互斥且对立 b c中两个事件能同时发生故不互斥 d中两事件互斥不对立 3 掷一枚骰子的试验中 出现各点的概率均为 事件a表示 小于5的偶数点出现 事件b表示 小于5的点数出现 则一次试验中 事件a 表示事件b的对立事件 发生的概率为 解析 选c 由题意记c表示 大于等于5的点数出现 事件a与事件c互斥 由概率的加法公式可得p a c p a p c 4 一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项 其中中一等奖的概率为0 1 中二等奖的概率为0 25 则不中奖的概率为 解析 中奖的概率为0 1 0 25 0 35 中奖与不中奖互为对立事件 根据对立事件的概率公式 可得不中奖的概率为1 0 35 0 65 答案 0 65 补偿训练 某射手在一次射击训练中 射中10环 9环 8环 7环的概率分别为0 21 0 23 0 25 0 28 计算这个射手在一次射击中 1 射中10环或7环的概率 2 不够7环的概率 仿照教材p例2的解析过程 解析 1 设 射中10环 为事件a 射中7环 为事件b 由于在一次射击中 a与b不可能同时发生 故a与b是互斥事件 射中10环或7环 的事件为a b 故p a b p a p b 0 21 0 28 0 49 所以射中10环或7环的概率为0 49 2 不够7环从正面考虑有以下几种情况 射中6环 5环 4环 3环 2环 1环 0环 但由于这些概率都未知 故不能直接求解 可考虑从反面入手 不够7环的反面为大于等于7环 即7环 8环 9环 10环 由于这两个事件必有一个发生 另一个不发生 故是对立事件 设 不够7环 为事件e 则事件为 射中7环或8环或9环或10环 又 射中7环 射中8环 射中9环 射中10环 是彼此互斥的事件 所以p 0 21 0 23 0 25 0 28 0 97 从而p e 1 p 1 0 97 0 03 所以不够7环的概率为0 03 互动探究 1 观察互斥事件与对立事件的集合表示 思考互斥事件一定是对立事件吗 对立事件一定是互斥事件吗 提示 从互斥事件与对立事件的图示表示可以看出 对立事件一定是互斥事件 互斥事件不一定是对立事件 2 互斥事件和对立事件的定义中都用事件a和b来定义的 能否认为互斥事件和对立事件都是仅适用于两个事件之间 提示 不能 在一次试验中 只要不可能同时发生的事件都是互斥事件 一般适用于两个或多个事件之间 而对立事件 两者必有其一发生 仅适用于两个事件之间 3 概率的加法公式是否对任意的两个事件都适用呢 提示 不是 只有两个事件为互斥事件的时候才成立 事实上 对任意的两个事件它们和事件的概率和每个事件的概率应该满足 p a b p a p b 4 如果事件a和事件b的互斥事件分别为c d 那么c与d一定是互斥事件吗 提示 不一定 c与d有可能同时发生 如a 出现1点 b 出现2点 c 出现2 3 4 5 6点 d 出现1 3 4 5 6点 显然此时c与d很有可能同时发生 拓展延伸 多个互斥事件概率计算公式一般地 如果事件a1 a2 an两两互斥 那么事件 a1 a2 an 发生的概率 等于这n个事件分别发生的概率和 即p a1 a2 an p a1 p a2 p an 探究总结 知识归纳 方法总结 求复杂事件的概率通常有两种方法 1 将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件 2 先求其对立事件的概率 再求所求事件的概率 题型探究 类型一 事件关系的判断 典例1 从40张扑克牌 红桃 黑桃 方块 梅花 点数从1 10各10张 中 任取一张 1 抽出红桃 与 抽出黑桃 2 抽出红色牌 与 抽出黑色牌 3 抽出的牌点数为5的倍数 与 抽出的牌点数大于9 判断上面给出的每对事件是否为互斥事件 是否为对立事件 并说明理由 解题指南 解此类问题 要紧紧抓住互斥与对立事件的定义来判断 或利用集合的观点 结合图形解题 解析 1 是互斥事件 不是对立事件 理由是 从40张扑克牌中任意抽取1张 抽出红桃 和 抽出黑桃 是不可能同时发生的 所以是互斥事件 同时 不能保证其中必有一个发生 这是由于还可能抽出 方块 或者 梅花 因此 二者不是对立事件 2 既是互斥事件 又是对立事件 理由是 从40张扑克牌中 任意抽取1张 抽出红色牌 与 抽出黑色牌 两个事件不可能同时发生 但其中必有一个发生 所以它们既是互斥事件 又是对立事件 3 不是互斥事件 当然不可能是对立事件 理由是 从40张扑克牌中任意抽取1张 抽出的牌点数为5的倍数 与 抽出的牌点数大于9 这两个事件可能同时发生 如抽得牌点数为10 因此 二者不是互斥事件 当然不可能是对立事件 规律总结 互斥事件与对立事件的判断方法 1 利用基本概念 互斥事件不可能同时发生 对立事件首先是互斥事件 且必须有一个要发生 2 利用集合的观点来判断 设事件a与b所含的结果组成的集合分别是a b 事件a与b互斥 即集合a b 事件a与b对立 即集合a b 且a b i 也即a b或b a 提醒 对立事件是针对两个事件来说的 而互斥事件可以是对多个事件来说的 拓展 如果a1 a2 an中任何两个事件都是互斥事件 那么我们就说a1 a2 an彼此互斥 巩固训练 从装有2个红球和2个白球 球除颜色外其他均相同 的口袋任取2个球 观察红球个数和白球个数 判断下列每对事件是不是互斥事件 如果是 再判断它们是不是对立事件 1 至少有1个白球 都是白球 2 至少有1个白球 至少有1个红球 3 至少有1个白球 都是红球 解析 1 不是互斥事件 因为 至少有1个白球 即 1个白球1个红球或两个白球 和 都是白球 可以同时发生 所以不是互斥事件 2 不是互斥事件 因为 至少有1个白球 即 1个白球1个红球或2个白球 至少有1个红球 即 1个红球1个白球或2个红球 两个事件可以同时发生 故不是互斥事件 3 是互斥事件也是对立事件 因为 至少有1个白球 和 都是红球 不可能同时发生 且必有一个发生 所以是互斥事件也是对立事件 类型二 求对立 互斥事件的概率 典例2 1 抛掷一枚骰子 观察掷出骰子的点数 设事件a为 出现奇数点 事件b为 出现2点 已知p a p b 出现奇数点或2点的概率之和为 2 一盒中装有各色球12只 其中5只红球 4只黑球 2只白球 1只绿球 从中随机取出1球 求取出1球是红球或黑球的概率 解题指南 1 先判断两事件互斥 再根据互斥事件的概率加法公式计算 2 首先把复杂的事件正确地分解为一些互斥事件的和 再根据概率的加法公式求解 解析 1 选d 记 出现奇数点或2点 为事件c 因为事件a与事件b互斥 所以p c p a p b 2 记事件a1 任取1球为红球 a2 任取1球为黑球 a3 任取1球为白球 a4 任取1球为绿球 方法一 利用互斥事件求概率 由题意得 p a1 p a2 p a3 p a4 根据题意知 事件a1 a2 a3 a4彼此互斥 由互斥事件概率公式得 取出1球是红球或黑球的概率为p a1 a2 p a1 p a2 方法二 利用对立事件求概率 取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球 即a1 a2的对立事件为a3 a4 所以任取1球是红球或黑球的概率为p a1 a2 1 p a3 a4 1 p a3 p a4 延伸探究 1 改变问法 题 2 改为求 取出1球是红球 黑球或白球 的概率 解析 记事件a1 任取1球为红球 a2 任取1球为黑球 a3 任取1球为白球 a4 任取1球为绿球 方法一 利用互斥事件求概率 p a1 p a2 p a3 p a4 根据题意知 事件a1 a2 a3 a4彼此互斥 由互斥事件概率公式得 取出1球为红球 黑球或白球的概率为p a1 a2 a3 p a1 p a2 p a3 方法二 利用对立事件求概率 a1 a2 a3的对立事件为a4 由对立事件概率公式得 取出1球为红球 黑球或白球的概率为p a1 a2 a3 1 p a4 1 2 变换条件 题 2 条件变为 袋中有12个小球 分别为红球 黑球 白球 绿球 从中任取一球 得到红球的概率为 得到黑球或白球的概率是 得到白球或绿球的概率也是 结果又是如何 解析 从袋中任取一球 记事件 摸到红球 摸到黑球 摸到白球 摸到绿球 分别为a b c d 则有p b c p b p c p d c p d p c p b c d 1 p a 解得p b p c p d 所以p a b p a p b 规律总结 1 求互斥事件或对立事件的概率的方法及注意点 1 求复杂事件的概率通常有两种方法 一是将所求事件化为一些彼此互斥的事件的和 二是先求该事件的对立事件的概率 2 注意点 采用方法一 一定要注意将事件拆分为若干互斥事件 不能重复和遗漏 采用方法二 一定要找准其对立事件 否则容易出现错误 2 利用概率的加法公式求概率的步骤 1 确定各个事件是两两互斥的 2 求出各个事件分别发生的概率 3 利用公式求事件的概率 巩固训练 某公务员去外地开会