江西省宜市高安中学高二数学上学期期末试题 理（重点班含解析）.doc

2015-2016学年江西省宜春市高安中学高二（上）期末数学试卷（理科）（重点班）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1=（）a1+ib1icidi2下列结论不正确的是（）a若y=ln3，则y=0b若y=，则y=c若y=，则y=d若y=3x，则y=33已知=2， =3， =4，若（a，br），则（）aa=7，b=35ba=7，b=48ca=6，b=35da=6，b=484已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf（1），则f（1）的值等于（）abc1d15从5名学生中选2名学生参加周日社会实验活动，学生甲被选中而学生乙没有被选中的方法种数是（）a10b6c4d36设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（k）k2成立时，总可推出f（k+1）（k+1）2成立”那么，下列命题总成立的是（）a若f（1）1成立，则f（10）100成立b若f（2）4成立，则f（1）1成立c若f（3）9成立，则当k1时，均有f（k）k2成立d若f（4）25成立，则当k4时，均有f（k）k2成立7函数f（x）=（x4）ex的单调递减区间是（）a（，3）b（3，+）c（1，3）d（0，3）8若，则的值为（）a1b2c3d49已知结论：“在正三角形abc中，若d是边bc的中点，g是三角形abc的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体abcd中，若bcd的中心为m，四面体内部一点o到四面体各面的距离都相等，则=（）a1b2c3d410已知函数f（x）=x2ax+3在（0，1）上为减函数，函数g（x）=x2alnx在（1，2）上为增函数，则a的值等于（）a1b2c0d11已知f（x）为r上的可导函数，且对xr，均有f（x）f（x），则有（）ae2016f（2016）f（0），f（2016）e2016f（0）be2016f（2016）f（0），f（2016）e2016f（0）ce2016f（2016）f（0），f（2016）e2016f（0）de2016f（2016）f（0），f（2016）e2016f（0）12如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2a3，则称这样的三位数为凸数（如120，232，354等），那么所有小于700的凸数的个数为（）a44b86c112d214二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡相应位置上13若，则实数m的值为14用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不小于60度”时，反设正确的是15若曲线f（x）=ax2+lnx存在平行于x轴的切线，则实数a的取值范围是16设f（x）是函数y=f（x）的导函数f（x）的导数，定义：若f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），且方程f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的对称中心有同学发现“任何一个三次函数都有对称中心”，请你运用这一发现处理下列问题：设，则=三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17证明：不等式（m2）18分别求出符合下列要求的不同排法的种数（用数字作答）（1）7人排成一排，甲、乙两人不相邻；（2）从7人中选出4人参加4100米接力赛，甲、乙两人都必须参加，但甲不跑第一棒，乙不跑第四棒19已知函数f（x）=x3+bx2+ax+d的图象过点p（0，2），且在点m（1，f（1）处的切线方程为6xy+7=0（）求函数y=f（x）的解析式；（）求函数y=f（x）的单调区间20已知在的展开式中，第4项为常数项（1）求f（x）的展开式中含x3的项的系数；（2）求f（x）的展开式中系数最大的项21已知函数f（x）=asinxx+b（a，b均为正常数），设函数f（x）在x=处有极值（1）若对任意的，不等式f（x）sinx+cosx总成立，求实数b的取值范围；（2）若函数f（x）在区间上单调递增，求实数m的取值范围22已知函数（a为常数，a0）（）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（）求证：当0a2时，f（x）在上是增函数；（）若对任意的a（1，2），总存在，使不等式f（x0）m（1a2）成立，求实数m的取值范围2015-2016学年江西省宜春市高安中学高二（上）期末数学试卷（理科）（重点班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1=（）a1+ib1icidi【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： =故选：c【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题2下列结论不正确的是（）a若y=ln3，则y=0b若y=，则y=c若y=，则y=d若y=3x，则y=3【考点】导数的运算【专题】计算题；函数思想；定义法；导数的概念及应用【分析】根据导数的运算法则计算即可【解答】解：对于a，y=lnx，则y=0，故正确，对于b，y=，则y=，故正确，对于c，y=，则y=，故c错误，对于d，y=3x，则y=3，故选：c【点评】本题考查了导数的运算法则和基本导数公式，属于基础题3已知=2， =3， =4，若（a，br），则（）aa=7，b=35ba=7，b=48ca=6，b=35da=6，b=48【考点】进行简单的合情推理【专题】计算题；规律型；转化思想；推理和证明【分析】利用已知条件，找出规律，写出结果即可【解答】解： =2， =3， =4，可得通项公式为： =，若（a，br），则a=7，b=48故选：b【点评】本题考查归纳推理，考查分析问题解决问题的能力4已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf（1），则f（1）的值等于（）abc1d1【考点】导数的运算【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用【分析】对f（x）求导，将x=1代入导函数求出【解答】解：f（x）=x2+3xf（1），f（x）=2x+3f（1）当x=1时有f（1）=2+3f（1）解得f（1）=1故选：d【点评】本题考查了导数的运算，属于基础题5从5名学生中选2名学生参加周日社会实验活动，学生甲被选中而学生乙没有被选中的方法种数是（）a10b6c4d3【考点】排列、组合及简单计数问题【专题】计算题；函数思想；定义法；排列组合【分析】从5名学生中选2名学生参加周日社会实验活动，其中一名是学生甲，另一名从不含乙的三名选一名即可【解答】解：从5名学生中选2名学生参加周日社会实验活动，其中一名是学生甲，另一名从不含乙的三名选一名，故有3种，故选：d【点评】本题考查了简单的组合问题，属于基础题6设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（k）k2成立时，总可推出f（k+1）（k+1）2成立”那么，下列命题总成立的是（）a若f（1）1成立，则f（10）100成立b若f（2）4成立，则f（1）1成立c若f（3）9成立，则当k1时，均有f（k）k2成立d若f（4）25成立，则当k4时，均有f（k）k2成立【考点】函数单调性的性质【专题】压轴题【分析】“当f（k）k2成立时，总可推出f（k+1）（k+1）2成立”是一种递推关系，前一个数成立，后一个数一定成立，反之不一定成立【解答】解：对a，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若f（1）1成立，则不一定f（10）100成立；对b，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出：若f（2）4成立，则f（1）1成立，不能得出：若f（2）4成立，则f（1）1成立；对c，当k=1或2时，不一定有f（k）k2成立；对d，f（4）2516，对于任意的k4，均有f（k）k2成立故选d【点评】本题主要考查对函数性质的理解，正确理解题意是解决本题的关键7函数f（x）=（x4）ex的单调递减区间是（）a（，3）b（3，+）c（1，3）d（0，3）【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】导数的概念及应用【分析】求导，（x4）ex令导数小于0，得x的取值区间，即为f（x）的单调减区间【解答】解：f（x）=（x4）ex=ex+（x4）ex=ex（x3），令f（x）0得x3，函数f（x）的单调递减区间为（，3）故选a【点评】考查利用导数求函数的单调区间，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键8若，则的值为（）a1b2c3d4【考点】二项式定理的应用【专题】转化思想；综合法；二项式定理【分析】在所给的等式中，分别令x=1，x=1，可得两个式子，再把这两个式子相乘，即得所求【解答】解：在 中，令x=1，可得 a0+a1+a2+a3+a4=，再令x=1，可得 a0a1+a2a3+a4=，两量式相乘可得则=1，故选：a【点评】本题主要考查二项式定理的应用，在二项展开式中，通过给变量赋值，求得某些项的系数和，是一种简单有效的方法，属于基础题9已知结论：“在正三角形abc中，若d是边bc的中点，g是三角形abc的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体abcd中，若bcd的中心为m，四面体内部一点o到四面体各面的距离都相等，则=（）a1b2c3d4【考点】类比推理【专题】计算题【分析】类比平面几何结论，推广到空间，则有结论：“=3”设正四面体abcd边长为1，易求得am=，又o到四面体各面的距离都相等，所以o为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即om，从而可验证结果的正确性【解答】解：推广到空间，则有结论：“=3”设正四面体abcd边长为1，易求得am=，又o到四面体各面的距离都相等，所以o为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即om=，所以ao=amom=，所以 =3故答案为：3【点评】本题考查类比推理、几何体的结构特征、体积法等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想属于基础题10已知函数f（x）=x2ax+3在（0，1）上为减函数，函数g（x）=x2alnx在（1，2）上为增函数，则a的值等于（）a1b2c0d【考点】利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质【专题】计算题【分析】先求出二次函数f（x）图象的对称轴，由区间（0，1）在对称轴的左侧，列出不等式解出a的取值范围再利用函数g（x）单调，其导函数大于等于0或小于等于0恒成立，得到二次不等式恒成立，即最小值0恒成立两者结合即可得到答案【解答】解：函数f（x）=x2ax+3的对称轴为x=a，函数f（x）=x2ax+3在（0，1）上为减函数，且开口向上，a1，得出a2，若函数g（x）=x2alnx在（1，2）上为增函数，则只能g（x）0在（1，2）上恒成立，即2x2a0在（1，2）上恒成立恒成立，a2x2，故只要a2综上所述，a=2故选b【点评】本题考查了二次函数的单调性，先求出对称轴方程，根据图象的开口方向，再进行求解，考查利用导数研究函数的单调性、函数单调性求参数范围，属于基础题11已知f（x）为r上的可导函数，且对xr，均有f（x）f（x），则有（）ae2016f（2016）f（0），f（2016）e2016f（0）be2016f（2016）f（0），f（2016）e2016f（0）ce2016f（2016）f（0），f（2016）e2016f（0）de2016f（2016）f（0），f（2016）e2016f（0）【考点】导数的运算【专题】计算题；函数思想；转化法；导数的概念及应用【分析】根据题目给出的条件：“f（x）为r上的可导函数，且对xr，均有f（x）f（x）”，结合给出的四个选项，设想寻找一个辅助函数令g（x）=，这样有以e为底数的幂出现，求出函数g（x）的导函数，由已知得该导函数大于0，得出函数g（x）为减函数，利用函数的单调性即可得到结论【解答】解：令g（x）=，则g（x）=，因为f（x）f（x），所以g（x）0，所以函数g（x）为r上的减函数，所以g（2016）g（0）g（2016）即，所以f（0）=e2016f（2016），e2016f（0）f（2016），故选：d【点评】本题考查了导数的运算，由题目给出的条件结合选项去分析函数解析式，属逆向思维，属中档题12如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2a3，则称这样的三位数为凸数（如120，232，354等），那么所有小于700的凸数的个数为（）a44b86c112d214【考点】排列、组合的实际应用【专题】计算题；分类讨论；数学模型法；排列组合【分析】按照中间一个数字的情况分8类，当中间数为2时，百位数字只能选1，个位数字可以选1和0，当中间数为3时，百位数字有两种选择，个位数字有3种选择，以此类推，写出其他情况，利用加法原理得到结果【解答】解：按照中间一个数字的情况分8类，当中间数为2时，百位数字只能选1，个位数字可以选1和0，有12=2种；当中间数为3时，百位数字有两种选择，个位数字有3种选择，有23=6种；以此类推当中间数为4时，有34=12种；当中间数为5时，有45=20种；当中间数为6时，有56=30种；当中间数为7时，有67=42种；当中间数为8时，首位只有6种选择，末尾有8种选择，故有68=48种，当中间数为9时，首位只有6种选择，末尾有9种选择，故有69=54种，根据分类计数原理知故共有2+6+12+20+30+42+48+54=214种故选：d【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡相应位置上13若，则实数m的值为【考点】定积分【专题】计算题；函数思想；定义法；导数的概念及应用【分析】根据定积分的计算法则计算即可【解答】解：（x2+mx）dx=（+mx2）|=+m=0，m=，故答案为：【点评】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题14用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不小于60度”时，反设正确的是假设一个三角形中，三个内角都小于60【考点】反证法与放缩法【专题】证明题；反证法【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可【解答】解：在一个三角形中，至少有一个内角不小于60的反面是：一个三角形中，三个内角都小于60则应先假设在一个三角形中，三个内角都小于60故答案是：一个三角形中，三个内角都小于60【点评】本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题15若曲线f（x）=ax2+lnx存在平行于x轴的切线，则实数a的取值范围是（，0）【考点】导数的几何意义【专题】计算题；转化思想；转化法；导数的概念及应用【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义进行求解即可【解答】解：若f（x）=ax2+lnx存在平行于x轴的切线，则等价为f（x）=0有解，即f（x）=2ax+=0，则（0，+）上有解，即2a=，x0，0，则2a0，则a0，故答案为：（，0），【点评】本题主要考查函数的导数的几何意义的应用，根据条件转化为f（x）=0有解是解决本题的关键16设f（x）是函数y=f（x）的导函数f（x）的导数，定义：若f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），且方程f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的对称中心有同学发现“任何一个三次函数都有对称中心”，请你运用这一发现处理下列问题：设，则=2015【考点】导数的运算；函数的值【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用【分析】求出g（x）的对称中心，根据函数的中心对称特点将2015的函数值两两组合求出【解答】解：g（x）=2x1，令g（x）=0得x=，g（）=1g（x）的对称中心为（，1）g（）+g（）=g（）+g（）=g（）+g（）=g（）+g（）=2，=10072+g（）=10072+g（）=2014+1=2015故答案为2015【点评】本题考查了导数的运算，函数求值，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17证明：不等式（m2）【考点】不等式的证明【专题】计算题；规律型；转化思想；推理和证明【分析】移项将不等式化为，利用分析法证明即可【解答】证明：要证不等式（m2）成立，需证，需证（）2（）2，即证需证（m+1）（m2）m2m，需证m2m1m2m，只需证10因为10显然成立，所以原命题成立【点评】本题考查的知识点是不等式的证明，考查的知识点是分析法证明18分别求出符合下列要求的不同排法的种数（用数字作答）（1）7人排成一排，甲、乙两人不相邻；（2）从7人中选出4人参加4100米接力赛，甲、乙两人都必须参加，但甲不跑第一棒，乙不跑第四棒【考点】排列、组合及简单计数问题【专题】计算题；转化思想；定义法；排列组合【分析】（1）根据题意，由于甲、乙不相邻，运用插空法分析，先安排甲乙之外的5人，形成了6个空位，再从这6个间隔选2个插入甲乙，由分步计数原理计算即可答案（2）先分步，再分类，第一步，选4人参见比赛，由于甲、乙两人都必须参加，再选2人，第二步，安排顺序，若甲跑第四棒和甲不跑第四棒，问题得以解决【解答】解：（1）根据题意，分2步分析：先安排除甲乙之外的5人，有a55=120种不同的顺序，排好后，形成6个空位，在6个空位中，选2个安排甲乙，有a62=30种选法，则甲乙不相邻的排法有12030=3600种，（2）第一步，选4人参见比赛，由于甲、乙两人都必须参加，再选2人有c52=10种，第二步，安排顺序，若甲跑第四棒，则有a33=6种，若甲不跑第四棒，则甲有2种，乙也有2种，剩下的2人任意，故222=8种，根据分类计数原理，有6+8=14种，再根据分步计数原理可得，共有1014=140种【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及不相邻问题，处理此类问题，需要运用插空法，19已知函数f（x）=x3+bx2+ax+d的图象过点p（0，2），且在点m（1，f（1）处的切线方程为6xy+7=0（）求函数y=f（x）的解析式；（）求函数y=f（x）的单调区间【考点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求解析式，只需把a，b，d三个字母求出即可已知点p（0，2）满足f（x），得到d，又点m（1，f（1）处的切线方程为6xy+7=0，可以得到f（1）的值，并且得到f（x）在x=1处的导数为6（）利用导数研究函数的单调性即可求出函数的单调区间【解答】解：（）f（x）的图象经过p（0，2），d=2，f（x）=x3+bx2+ax+2，f（x）=3x2+2bx+a点m（1，f（1）处的切线方程为6xy+7=0f（x）|x=1=3x2+2bx+a|x=1=32b+a=6，还可以得到，f（1）=y=1，即点m（1，1）满足f（x）方程，得到1+ba+2=1由、联立得b=a=3故所求的解析式是f（x）=x33x23x+2（）f（x）=3x26x3，令3x26x3=0，即x22x1=0解得当；当故f（x）的单调增区间为（，1），（1+，+）；单调减区间为（1，1+）【点评】本题主要考查了两个知识点，一是导数的几何意义，二是利用导数研究函数的单调性，属于函数这一内容的基本知识，更应该熟练掌握20已知在的展开式中，第4项为常数项（1）求f（x）的展开式中含x3的项的系数；（2）求f（x）的展开式中系数最大的项【考点】二项式定理的应用；二项式系数的性质【专题】转化思想；综合法；二项式定理【分析】（1）利用通项公式根据第4项为常数项，求得n的值，可得f（x）的展开式中含x3的项的系数（2）根据通项公式可得f（x）的展开式中系数最大的项，即r=4，或r=5，从而得出结论【解答】解：（1）在的展开式中，第4项为t4=x9n，为常数项，n=9，故=，它的通项公式为tr+1=x3r9，令3r9=3，求得r=2，可得f（x）的展开式中含x3的项的系数为=36（2）f（x）的展开式中系数最大的项，即r=4，或r=5，故系数最大的项为第五项或第六项，即t5=x3，t6=x9【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题21已知函数f（x）=asinxx+b（a，b均为正常数），设函数f（x）在x=处有极值（1）若对任意的，不等式f（x）sinx+cosx总成立，求实数b的取值范围；（2）若函数f（x）在区间上单调递增，求实数m的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【专题】导数的综合应用【分析】（1）由f（x）在x=时，f（x）=0，解得a的值，构造函数g（x），bg（x），即b大于g（x）的最大值；（2）f（x）在区间上单调递增，所以区间是g（x）单调递增区间的了集，列出不等式，求