（应用数学专业论文）带旋转效应的rayleighbénard流的线性与非线性不稳定性.pdf

摘要 摘要 本文研究的是自由边界下小振幅b o u s s i n e s q 对流在旋转效 应下的稳定性问题 并讨论了静态解的线性与非线性不稳定 性 得到了临界r a y l e i g h r 数 彤随着旋转速度的增加而增 大 臣nr a y l e i g h b e n a r d 流在自身旋转的效应下会更加稳定 当r r 时 r a y l e i g h b e n a r d 流将会是线性不稳定的 并证 明了静态解是非线性不稳定的 在r a y l e i g h b e n a r d 流处在临界不稳定的情况下 我们得到 f t a y l o r 7 数与p r a n d t l a 数之间的关系式 并用它来区分不 稳定性的形式 即震荡不稳定和对流不稳定 我们用数值模拟 两个数之间的近似表达式仃 口 1 一f 等r 9 1 7 8 1 盯木 0 6 7 6 6 同时我们还得到了一个新的最小临界t a y l o r t 数 7 一罕 攀 当r r 术且丁 r t h e s y s t e mi s l i n e a ri n s t a b i l i t y f u r t h e r m o r e i ti sp r o v e dt h a tt h em o t i o n l e s ss t a t ei s n o n l i n e a ru n s t a b l ei fr r 宰 f u r t h e r m o r e w eo b t a i nt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt a y l o rn u m b e r 7 a n dp r a n d t ln u m b e r 盯a l o n gt h em a r g i n a li n s t a b i l i t y w h e r ei n s t a b i l i t ys e t si ne i t h e ra ss t a t i o n a r yc o n v e c t i o a n do b t a i naa p p r o x i m a t ef o r m u l a 盯 o n 0 6 7 6 6 w ea l s oo b t a i nas o c a l l e dm i n i m u m c r i t i c a lt a y l o rn u m b e r 7 堆 w h e nr r 4a n d7 盯4 盯 i st h ec r i t i c a lp r a n d t l n u m b e r 盯 0 6 7 6 6 y g u oa n dy q h a n 2 2 s t u d yt h en o n l i n e a ri n s t a b i l i t yo f m o t i o n l e s ss t a t ea b o u tr a y l e i g h b 6 n a r dc o n v e c t i o nw i t h o u tr o t a t i o na n do b t a i n e dt h e c r i t i c a lr a y l e i g hn u m b e rr b yv a r i a t i o n a lm e t h o ds i n c et h ec o r r e s p o n d i n go p e r a t o r i ss e l f a d j o i n t a n ds t a t e st h a ti fr r t h es y s t e mi sn o n l i n e a ru n s t a b l e r c k l o o s t e r z i e la n dg ec a m e v a l e 16 h a v ef o u n dt h es i m p l ee x p r e s s i o no fc l o s e d f o r m l i n e a rs t a b i l i t yc o n d i t i o n sb yt a k i n gt h er a y l e i g hn u m b e rra si n d e p e n d e n tv a r i a b l e w h e nt h ep r a n d t ln u m b e r 仃 盯 0 6 7 6 6 t h em a r g i n a ls t a b i l i t yb o u n d a r yi s d e s c r i b eb yt h ec u r v e7 r r r r 1 2 一l f o r 盯 盯 t h em a r g i n a ls t a b i l i t y b o u n d a r yi sd e t e r m i n e db yt h i sc u r v eu n t i l i ti si n t e r s e c t e db yt h ec u r v e 丁 酬 r 等 v 2 n n 2 害 h o w e v e rw et a k et h et a y l o rn u m b e r7 a n dp r a n d t ln u m b e r 盯a si n d e p e n d e n tv a n a b l e i n t h i sp a p e la n do b t a i ns o m en e wr e s u l t s w h i l ei ti ss a i dt h a tt h e r ei sn os i m p l e f o r m u l at og i v e7 盯 a sf u n c t i o no f 盯i n 1 8 h e r ew eo b t a i n e dt h er e l a t i o n s h i p s b e t w e e nt a y l o rn u m b e r 丁a n dp r a n d t ln u m b e r 盯a l o n gt h em a r g i n a ls t a b i l i t y a n dt h e r e s u l t sa r es h o w e dn u m e r i c a l l yi nf i g u r e2 w ea l s oo b t a i naa p p r o x i m a t ef o r m u l a b e t w e e nta n d 盯 盯玎1 一 9 1 7 8 t h ec u r v ed i v i d e st h ew h o l es p a c ei n t ot w op a n s w h e r ei n s t a b i l i t ys e t si ne i t h e ra s s t a t i o n a r yc o n v e c t i o no ri na no s c i l l a t o r yf a s h i o n f i n a l l yw eo b t a i n e das o c a l l e d m i n i m u m c r i t i c a lt a y l o rn u m b e r t i tm e a n st h a tw h e n 丁 7 t h ei n s t a b i l i t ys e t si ns t a t i o n a r yc o n v e c t i o n w h e n7 r i ns e c t i o n3 w ep r o v et h em o t i o n l e s ss t e a d ys t a t e 1 0 5 i s n o n l i n e a ru n s t a b l ef o rr r m o r e o v e r t h e d y n a m i c so ft h en o n l i n e a ri n s t a b i l i t y i sc h a r a c t e r i z e db yt h ef a s t e s te x p o n e n t i a lg r o w i n gm o d e s c o n s t r u c t e di ns e c t i o n2 w i t h i nt h ei n s t a b i l i t yr e g i m e0 t 寺f n w h e r e6i st h es t r e n g t ho ft h ei n i t i a l p e r t u r b a t i o na n d a 1 0i st h el a r g e s te i g e n v a l u e t h e s eg r o w i n gm o d e s c a n e x h i b i ti n t e r e s t i n gt r a v e l i n gw a v e sa n ds t a n d i n gw a v e so b s e r v e di ne x p e r i m e n t s t h e p r o o ff o rt h en o n l i n e a ri n s t a b i l i t yi sb a s e do nag e n e r a lf r a m e w o r kg i v e ni n 2 0 a n d 2 1 t h ec r u c i a ls t e pi st oe s t a b l i s hab o o t s t r a pe n e r g ye s t i m a t ei nw h i c hw ee m p l o y t oc o n t r o lh i g h e ro r d e ra n i s o t r o p i cs o b o l e vn o r m si nt h ep r e s e n c eo ft h es t r e s s f r e e b o u n d a r yc o n d i t i o n l e t 0 2 丌 2 0 2 7 r x 0 2 丌 q 0 2 丌 2 0 1 一4 一 c h a p t e r2 线性分析 i nt h i ss e c t i o n w es t u d yt h el i n e a r i t yi n s t a b i l i t yf o rt h em o t i o n l e s ss t a t e f o rt h i s f i r s tw ec o n s i d e rt h el i n e a r i z e dp a r t so f 1 o 7 1 0 8 a r o u n dt h em o t i o n l e s ss t a t e 轨u 一v p 盯口三 盯7 u 2 a v 2 u 2 0 1 侥口 r u 乏 v 2 0 v u 0 z y z q 0 2 0 2 w i t ht h ei n i t i a lc o n d i t i o n 1 0 3 a n dt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n s 1 0 4 w er e w r i t et h e e q u a t i o n s a s a u 0 u 曰 2 0 3 w ew i l lg i v et h ed e t a i l e da n a l y s i sf o rt h el i n e a r i z e ds y s t e m 2 0 1 2 0 2 i nt h i ss e e t i o n t h ef o l l o w i n gi sa b o u tt h es p e c t r u mp r o p e r t yf o ro p e r a t o rl a c c o r d i n gt ot h eg e n e r a li d e a sd e s c r i b e di n 17 w em u s ta n a l y s ea na r b i t r a r y d i s t u r b a n c ei n t oa c o m p l e t es e to f n o r m a lm o d e s a n de x a m i n et h es t a b i l i t yo fe a c ho f t h e s em o d e s i n d i v i d u a l l y f o rs i m p l i c i t y t h ea n a l y s i sc a nb em a d ei nt e r m so ft w o d i m e n s i o n a lp e r i o d i cw a v e so fa s s i g n e dw a v en u m b e r s t h u s w ea s c r i b et oa l lq u a n t i t i e sd e s c r i b i n gt h ep e r t u r b a t i o nad e p e n d e n c eo nz l a n dto ft h ef o r me i k z x k u y 一入 w h e r ek 2 七 忌ii st h ew a v e n u m b e ro fd i s t u r b a n c ea n d 入i sac o n s t a n t w h i c hc a n b ec o m p l e x t h e r e f o r e t h es o l u t i o no ft h es t a b i l i t yp r o b l e m r e q u i r e st h es p e c i f i c a t i o n o ft h es t a t e s f o re a c h 七 w h i c ha r ec h a r a c t e r i z e db yt h er e a lp a r to f 入b e i n gz e r o w e f i r s tn o t i c et h a ti ts u f f i c e st of i n dt h et h i r dc o m p o n e n to fua n d 伊 i nf a c t t a k i n gc u r lo f e q u a t i o n 2 0 1 a n dl e t t i n gw w l w 2 w 3 c u r lu v u d e n o t et h ev o r t i c i t y w e h a v e 0 t w c r o vx 乏 a r v u 三 盯v 2 w 2 0 4 t a k i n gt h ec u r lo fe q u a t i o n 2 0 4 o n c ea g a i n w ec a ng e t 一0 v 2 u 一盯v 4 u a o v v 2 仃7 v v u 乏 s i n c et h eh o r i z o n t a lc o m p o n e n t su la n du 2o ft h ev e l o c i t yc a nb ed e t e r m i n e db yu 3 5 一 a n dw 3 1 7 o rs e ea p p e n d i xb e q u a t i o n s 2 0 1 a n d 2 0 2 f o l l o w i n ge q u a t i o n s o t w 3 a v 2 w 3 盯7 倪u 3 a r ee q u i v a l e n tt ot h e o w 2 u 3 a v 4 乱3 盯 磋 瑶 p c r r a z w a 侥口 r u 3 v 2 0 2 0 5 2 0 6 2 0 7 f o l l o w i n gt h ep r o c e d u r ei nc h a p t e ri i 1 7 1 w ea n a l y s et h ep e r t u r b a t i o nw 3 u 3 0i n t o t w o d i m e n s i o n a lp e r i o d i cw a v e sa n dc o n s i d e r i n gd i s t u r b a n c e sc h a r a c t e r i z e db ya p a r t i c u l a rw a v e sn u m b e rk 后2 k 磅 w es u p p o s et h a tw 3 z 3 0h a v et h ef o r m s w 3 名 k 计 可 一m 仳3 z e k 蚪b 可 一她 0 o z e i k x x l k y 掣 一射 p u t t i n gt h e s ef o r m si n t oe q u a t i o n s 2 0 5 2 0 7 w ec a ng e t 一 x w 3 仃 硬一k s w 3 盯r a y a 一入 谚一后2 盯 谚一k 2 2 u 3 一a k 2 舀一 7 晓 一a 痧 r g a 畿一k 2 百 2 0 8 2 0 9 2 0 1 0 2 0 11 2 0 1 2 2 0 1 3 s o l u t i o n so ft h e s ee q u a t i o n sm u s tb es o u g h tw h i c hs a t i s f yt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h e r e f o r ef r o mb o u n d a r yc o n d i t i o n s 1 0 4 w eg e tt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n sa s u 3 每 o z w 3 畿魄 0 a tz 0 1 2 0 1 4 s e t t i n ga 0 w ec a no b t a i nt h em a r g i n a ls t a t e 17 w h e ni n s t a b i l i t ys e t si na s o r d i n a r yc o n v e c t i o n a n dt h eb a s i ce q u a t i o n s 2 0 11 2 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s t a b i l i t y t h i sr e q u i r e su st or e t u r nt ot h eg e n e r a le q u a t i o n s 2 0 11 一 2 0 13 w h i c hi n c l u d et h e c o n s t a n t 入 n e x tw es h a l lr e s t r i c to u r s e l v e st ot h ec a s eo fs t r e s s f r e eb o u n d a r i e s i n t h i sc a s et h ep r o b l e mc a nb es o l v e db ye l e m e n t a r ym e t h o d s b ya p p l y i n gt h eo p e r a t o r 仃 鲤一七2 a 砖一南2 i a t oe q u a t i o n 2 0 1 2 w ec a ne l i m i n a t ez 0 3a n d 百a n d o b t a i n 盯 畿一k 2 入 2 谚一k 2 a 砖一k s u 3 k 2 r 矿 口 畿一k 2 a 沈 盯丁 2 碰2 i 2 一忌2 a 0 2 0 2 2 u s i n g 2 0 2 1 s u b s t i t u t i n gt h i ss o l u t i o nf o ru 3i ne q u a t i o n 2 0 2 2 w eo b t a i nt h e c h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n a o m 2 a m m n a t 2 入 m n 一7 一 r t m a o m 2 0 2 3 w h e r en 一 n 丌 2 m k 2 f u r t h e r m o r e t h ee q u a t i o n 2 0 2 3 c a nb ew r i t t e na s a n d 入3 b a 2 c a d 0 b m 1 2 a c m 2 2 a 盯2 n t 2 0 r 2 m r a m n d m 3 口2 一m r a 2 n o 2 7 2 2 0 2 4 f r o 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de 纪g e n e r a t e sas t r o n g l yc o n t i n u o u ss e m i g r o u p o nxs u c ht h a t 产i i x x c l e m 3 0 1 f o rs o m ec la n da 0 a s s u m ean o n l i n e a ro p e r a t o rn y 1o nxa n da n o t h e rn o l t n a n d c o n s t a n tc n s u c ht h a t n y i i 旷 f o ra l ly xa n d 训i o a s s u m ef o ra n ys o l u t i o ny t t ot h ee q u a t i o n y 7 l y n y 1 3 0 2 3 0 3 w i t hi i l y t 孵 0s u c ht h a tf o ra n ye 0 t h e r ee x i s t sg 0 s u c ht h a tt h ef o l l o w i n gs h a r pe n e r g ye s t i m a t eh o l d s 瓦d 川可 圳l 圳l q i1 1 2 e 洲 3 o 4 c o n s i d e ra f a m i l yo fi n i t i a ld a t a 矿 o 5 y ow i t hi l y 01 i 1a n di l y o ll i 0 s u c h t h a ti f0 t t 6 三妾l o g 警 w eh a v e 可 一彩工y o l l c 1l l y 0 1t 1 2 1 5 2 e 2 她 一1 6 一 3 0 5 i np a r t i c u l a r i ft h e r ee x i s t sac o n s t a n tqs u c ht h a tl la e l y o l l 0 5 e a t h e nt h e r e e x i s t sa l le s c a p et i m et 8 8 t 6s u c ht h a t y t 0 0 3 0 6 w h e r e 白d e p e n d se x