江西省师大附中高三数学上学期期中试题 理（含解析）新人教A版.doc

江西师大附中2015届高三年级数学（理）期中试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合，则中元素的个数为（ ）a3 b2 c7 d5【知识点】集合的交集a1【答案】【解析】a 解析：因为，所以=1,2,6，所以交集的元素个数为3，则选a.【思路点拨】可先求出两个集合的交集，再判断两个集合交集的元素个数.2若，则与的大小关系为 （ ）a. b. c. d. 【知识点】不等式的性质e1【答案】【解析】b 解析：因为，所以，则选b【思路点拨】比较两个实数大小若无基本不等式特征及函数的单调性特征，可考虑利用差值比较法.3下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是( )a. b. c. d. 【知识点】函数的单调性 偶函数b3 b4【答案】【解析】c 解析：因为函数为偶函数，所以排除a，又函数在上单调递增，排除b,d，所以选c.【思路点拨】由函数的性质判断函数解析式，可利用其性质依次排除不满足条件的选项，本题注意利用复合函数的单调性规律进行判断.【题文】4设曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）a2bc d 【知识点】导数的几何意义b11【答案】【解析】d 解析：因为，则曲线在点处的切线斜率为，所以，则选d. 【思路点拨】利用导数的几何意义可知切线的斜率等于曲线在切点处的导数值，由此建立关于a的方程求解即可.【题文】5为平行四边形的一条对角线，（ ） a b c d【知识点】向量的加法与减法f1【答案】【解析】a 解析：因为,所以选a.【思路点拨】由向量的加法运算可知，再利用向量的坐标运算解答即可.【题文】6已知，若，则=（ ）a.1 b. 4 c.-2或4 d. -2【知识点】定积分b13【答案】【解析】b 解析：因为，解得t=4或t=2，又t0，所以t=4，则选b.【思路点拨】可利用公式先求出定积分，再解方程求t，注意定积分上下标之间的大小关系.【题文】7已知变量满足条件，则的最小值是（ ）a. b. c. d.【知识点】简单的线性规划e5【答案】【解析】c 解析：不等式组表示的平面区域如图，显然当动直线z=2x+y经过顶点a时目标函数取得最小值为z=21+1=3,所以选c.【思路点拨】由二元一次不等式组，求目标函数的最值，常用数形结合的方法结合目标函数的几何意义进行解答.【题文】8某三棱锥的三视图如图所示， 该三棱锥的体积是（ ）a b c d【知识点】三视图，棱锥的体积g2 g7【答案】【解析】d 解析：由俯视图与侧视图可知三棱锥的底面积为，由侧视图可知棱锥的高为2，所以棱锥的体积为，则选d.【思路点拨】由三视图解答问题，抓住三视图与原几何体的对应关系是解题的关键.【题文】9边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）a b c d【知识点】余弦定理c8【答案】【解析】a 解析：设边长为7对应的角为，则有，所以，则三角形的最大角与最小角的和是，所以选a.【思路点拨】抓住三角形内角和公式，利用余弦定理求出中间的角即可.【题文】10已知，则的最小值是（ ）a. 3 b. 4 c. d. 【知识点】均值不等式e6【答案】【解析】b 解析：因为，得，解得，即的最小值是4，所以选b.【思路点拨】观察所给的条件，利用基本不等式转化为关于x+2y的一元二次不等式，解不等式求范围即可.【题文】11已知函数，若存在且，使得成立，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【知识点】分段函数 函数的单调性 b1 b3【答案】【解析】c 解析：因为当x1时函数f(x)单调递增，则f(x) 1，所以当a0时，显然满足条件，当a0时，若存在且，使得成立，应满足2a51，得a3，综上知实数的取值范围是a3，所以选c.【思路点拨】本题可抓住两段函数的单调性及在分界点处的函数值的关系结合图像特征进行解答.【题文】12已知函数，设，且函数的零点均在区间内，圆的面积的最小值是（ ）a. b. c. d. 【知识点】函数的零点 导数的应用b9 b12【答案】【解析】c 解析：因为f(0)=10，,所以函数在区间0,1有零点，又,当x0时，显然f(x) 0，当0x1时，当x1时，综上知f(x) 0,所以函数f(x)在r上单调递增，则函数在区间0,1有唯一的零点，所以ba的最小值为1，则圆的面积的最小值是，所以选c.【思路点拨】一般判断函数的零点所在的区间，通常利用函数的零点存在性定理，本题还应注意判断零点所在区间的唯一性.【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.【题文】13已知等差数列的前项和为，若，则_.【知识点】等差数列d2【答案】【解析】28 解析：因为，则.【思路点拨】一般遇到等差数列问题时，可先通过观察其项数判断有无性质特征，能用性质的用性质解答，不能用性质的用公式解答.【题文】14若不等式的解集为，则实数_.【知识点】一元二次不等式解法e3【答案】【解析】 解析：因为不等式的解集为，所以a3+5=0，得a=2，由解得x=1或，所以.【思路点拨】一元二次不等式的解集中的端点值即为对应的一元二次方程的根.【题文】15.已知函数的图像与直线有且只有两个交点，且交点的横坐标分别为，那么=_.【知识点】三角函数的图像与性质c3【答案】【解析】 解析：因为当x=0时，y=,当时，y=1，所以若函数的图像与直线有且只有两个交点，则m=1或,此时两焦点显然关于直线，则.【思路点拨】一般遇到两个函数的图像交点个数问题时，可利用数形结合的方法进行解答.【题文】16已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为_【知识点】函数的单调性，导数的应用b3 b12【答案】【解析】15,+ ) 解析：因为，不妨设，因为，所以，所以在内是增函数，所以在内恒成立，即恒成立，所以的最大值，因为在上的最大值为，所以实数的取值范围为.【思路点拨】结合函数的单调性定义把不等式转化为函数值的大小关系，得到函数的单调性，再利用函数的单调性利用导数解答.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】17. (本小题满分10分)设实数满足，其中.实数满足.（1）若且为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【知识点】基本逻辑联结词，充分条件与必要条件a2 a3【答案】【解析】（1）；（2）. 解析：依题意知：，所以，即.（1）当时，要使为真，则须满足，解得：；（2）是的必要不充分条件，解得：.【思路点拨】（1）结合真值表由为真判断出p,q的真假，再进行解答；（2）若是的必要不充分条件，则由q能推出p，而由p不能推出q.【题文】18. (本小题满分12分)设向量=，=，其中，,已知函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）若是关于的方程的根，且，求的值.【知识点】向量的坐标运算 三角函数的性质c3 f2【答案】【解析】（1）;（2）解析：(1) 因为 所以 (2) 方程的两根为 因为 所以 ，所以 即 又由已知 所以 【思路点拨】一般研究与三角有关的函数性质，通常先化成一个角的三角函数再进行解答.【题文】19. (本小题满分12分)已知函数的图象过点，点关于直线的对称点在的图象上（1）求函数的解析式；（2）令，求的最小值及取得最小值时的值【知识点】函数解析式的求法，对数函数的性质b1 b7【答案】【解析】（1）;（2）当时，函数取得最小值1 解析：（1）点关于直线的对称点q的坐标为.由得解得，故函数解析式为（2）（），当且仅当即时，“”成立，而函数在上单调递增，则，故当时，函数取得最小值1 【思路点拨】（1）直接把函数图像所经过的点的坐标代入函数解析式求解即可；（2）可先求函数的定义域，再把函数化成只有一个对数的函数，利用对数的单调性转化为求真数的最值问题.【题文】20. (本小题满分12分)如图，在四棱锥中，侧棱底面，,，是棱的中点（1）求证：面；（2）设点是线段上的一点，且在方向上的射影为，记与面所成的角为，问：为何值时，sin取最大值？adcsmb【知识点】直线与平面平行 线面所成的角g10 g11【答案】【解析】（1）略；（2）时， .解析：（1）以点a为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 则 设平面scd的法向量是，则 即 令，则，于是 ，am/平面scd（2）设，则.又，面sab的法向量为，所以.当，即时，【思路点拨】证明线面平行可先考虑线面平行的判定定理，若证明不方便可利用向量解答，对于求角问题一般考虑用向量解答.【题文】21.(本小题满分12分)已知数列满足，且.数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）符号表示不超过实数的最大整数，记，为数列的前项和，求.【知识点】数列的通项公式 数列求和d1 d4【答案】【解析】（1）,;（2）解析：（1）依题意知数列为等差数列所以，即公差. 故 由得：两式相减得：所以数列为等比数列，令得，即所以.（2）由（1）知，所以.当时，.所以两式相减得：.【思路点拨】（1）一般遇到数列的前n项和与通项之间的递推关系，可先利用和与项的关系转化为相邻项的递推公式再进行解答；（2）一般数列求和问题，通常结合其通项公式特征确定求和思路进行求和.【题文】22. (本小题满分12分)已知函数.（1）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（2）求证：（其中，是自然对数的底数）【知识点】导数的综合应用b12 e7【答案】