江苏省无锡市梅村高中高三数学上学期第一次段考试卷（含解析）.doc

2014-2015学年江 苏省无锡市梅村高中高三（上）第一次段考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在相应位置上1满足条件1m1，2，3的集合m的个数是2已知复数z=mi（mr，i为虚数单位），若（1+i）z为纯虚数，则|z|=3已知、表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的条件4不等式的解集是 5在如图所示的算法流程图中，若输入m=4，n=3，则输出的a=6在一个样本的频率分布直方图中，共有5个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其他4个小矩形的面积和的，且中间一组的频数为25，则样本容量为7若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为8已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是9设ar，函数f （x）=ex+是偶函数，若曲线y=f （x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为10如图，在abc中，bac=90，ab=6，d在斜边bc上，且cd=2db，则的值为11设a，b均为正实数，则+2的最小值是12设abc的三边长分别为a、b、c，abc的面积为s，内切圆半径为r，则类比这个结论可知：四面体abcd的四个面分别为s1、s2、s3、s4，内切球半径为r，四面体abcd的体积为v，则r=13已知数列an是各项均不为0的等差数列，sn为其前n项和，且满足an2=s2n1（nn+）若不等式对任意的nn+恒成立，则实数的最大值为14已知函数f（x）=，g（x）=x24x4若存在ar使得f（a）+g（b）=0，则实数b的取值范围是二、解答题：本大题共六小题，共计90分请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知，b=x|x22x+1m20，m0，（1）若m=2，求ab；（2）若ab=b，求实数m的取值范围16设函数f（x）=6cos2x2sinxcosx（1）求f（x）的最小正周期和值域；（2）在锐角abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若f（b）=0且b=2，cosa=，求a和sinc17在正三棱柱abca1b1c1中，ab=aa1，d、e分别是棱a1b1、aa1的中点，点f在棱ab上，且ab=4af（1）求证：ef平面bdc1；（2）求证：bc1平面b1ce18某小区想利用一矩形空地abcd建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中ad=60m，ab=40m，且efg中，egf=90，经测量得到ae=10m，ef=20m为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏设计时经过点g作一直线交ab，df于m，n，从而得到五边形mbcdn的市民健身广场，设dn=x（m）（1）将五边形mbcdn的面积y表示为x的函数；（2）当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积19设数列an的前n项和为sn，且sn=（1+）an，其中1，0；（）证明：数列an是等比数列（）设数列an的公比q=f（），数列bn满足，bn=f（bn1）（nn*，n2）求数列bn的通项公式；（）记=1，记，求数列cn的前n项和为tn20设函数f（x）=lnxax，g（x）=exax，其中a为实数（1）若f（x）在（1，+）上是单调减函数，且g（x）在（1，+）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（1，+）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论2014-2015学年江苏省无锡市梅村高中高三（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在相应位置上1满足条件1m1，2，3的集合m的个数是4考点： 集合的包含关系判断及应用专题： 规律型分析： 根据集合满足的条件，判断集合中的元素情况，从而判断集合m的情况解答： 解：1m，1m，m1，2，3，2、3m或2、3m，m=1，1，2，1，3，1，2，3故答案是4点评： 本题考查集合的包含关系及应用2已知复数z=mi（mr，i为虚数单位），若（1+i）z为纯虚数，则|z|=考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 利用多项式的乘法运算法则，化简复数为a+bi的形式，通过复数是纯虚数，求出m，然后求解复数的模解答： 解：复数z=mi（mr，i为虚数单位），（1+i）（mi）=m+1+（m1）i，（1+i）z为纯虚数，m=1，z=1i，|z|=故答案为：点评： 本题主要考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的计算，比较基础3已知、表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的必要不充分条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系分析： 直线和平面垂直，平面和平面垂直的判定，二者的关系搞清楚，解答： 解：由平面与平面垂直的判定定理知，m为平面内的一条直线，如果m，则；反过来m为平面内的一条直线，则“”可能有m，m=p，可能有m三种情况所以“”是“m”的必要不充分条件故答案为：必要不充分点评： 考查定理的理解，分析问题时：考虑要全面，有时可以借助实物，动手动脑，简化问题4不等式的解集是 x|x3或x=1考点： 一元二次不等式的解法专题： 计算题分析： 先要看根号有意义的条件，求得x的范围，同时看x20求得x的范围或x20且=0，最后分别取交集解答： 解：不等式等价于或解得x3或x=1故答案为：x|x3或x=1点评： 本题主要考查了一元二次不等式的解法解题的时候要特别留意如根号，对数，分母等隐含的不等式关系5在如图所示的算法流程图中，若输入m=4，n=3，则输出的a=12考点： 程序框图专题： 阅读型分析： m=4，n=3，i=1，a=4，不满足条件n整除a，执行循环体，依此类推，当i=3，a=12，满足条件n整除a，退出循环体，从而得到a的值解答： 解：m=4，n=3，i=1，a=4，不满足条件n整除a，执行循环体i=2，a=8，不满足条件n整除a，执行循环体i=3，a=12，满足条件n整除a，退出循环体故此时a的为12，故答案为：12点评： 算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题6在一个样本的频率分布直方图中，共有5个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其他4个小矩形的面积和的，且中间一组的频数为25，则样本容量为100考点： 频率分布直方图专题： 概率与统计分析： 根据频率分布直方图，求出中间一组数据的频率，由频率、频数与样本容量的关系，求出样本容量是多少解答： 解：根据频率分布直方图，得；中间一组数据的频率为=0.25，它的频数为25，样本容量为250.25=100故答案为：100点评： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图中各小矩形的面积和等于1，求出对应的频率，即可求出正确的答案，是基础题7若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为考点： 简单线性规划的应用专题： 数形结合分析： 先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点a时，从而得到b值即可解答： 解：由约束条件作出可行域（如图），当平行直线系y=2x+z经过可行域内的点a（，）时，z取得最小值，即2+=3，解之得b=故答案为：点评： 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解8已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是考点： 古典概型及其概率计算公式专题： 概率与统计分析： 本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续输出的4个数字，算出所有结果，满足条件的事件是连续输出的4个数字之和能被3整除，列举出的结果，最后根据概率公式得到结果解答： 解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续输出的4个数字，每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则有2222=16，共有16种结果，满足条件的事件是连续输出的4个数字之和能被3整除，即连续输出的4个数字中有两个1和两个2，表示为1，1，2，2；1，2，1，2；1，2，2，1；2，1，1，2；2，2，1，1；2，1，2，1可知有6种结果，根据古典概型概率公式得到p=，故答案为：点评： 本题考查古典概型，是一个典型的古典概型问题，本题可以列举出试验发生包含的事件，也可以列举出满足条件的事件，是一个基础题9设ar，函数f （x）=ex+是偶函数，若曲线y=f （x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为ln2考点： 函数奇偶性的判断；导数的几何意义专题： 计算题分析： 先由f（x）为偶函数求出a值，然后求出导数f（x），令f（x）=，解出x即为所求解答： 解：因为f（x）=ex+是偶函数，所以总有f（x）=f（x），即=ex+，整理得（a1）（）=0，所以有a1=0，即a=1则f（x）=，f（x）=ex，令f（x）=ex=，整理即为2e2x3ex2=0，解得ex=2，所以x=ln2故答案为：ln2点评： 本题考查函数的奇偶性及导数的几何意义，若f（x）为偶函数，则f（x）=f（x）恒成立10如图，在abc中，bac=90，ab=6，d在斜边bc上，且cd=2db，则的值为24考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 用表示，利用=0，再根据=（+），运算求得结果解答： 解：由题意可得 =+=+=+（）=+，=0，=（+）=+=0+36=24，故答案为：24点评： 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，两个向量数量积的运算，属于中档题11设a，b均为正实数，则+2的最小值是4考点： 基本不等式专题： 不等式的解法及应用分析： 根据平均值不等式，在利用基本不等式计算即可解答： 解：根据平均值不等式，+2=4故答案为：4点评： 本题主要考查了平均值不等式和基本不等式，属于基础题12设abc的三边长分别为a、b、c，abc的面积为s，内切圆半径为r，则类比这个结论可知：四面体abcd的四个面分别为s1、s2、s3、s4，内切球半径为r，四面体abcd的体积为v，则r=考点： 类比推理专题： 计算题分析： 根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可求得r解答： 解：设四面体的内切球的球心为o，则球心o到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以o为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为 则r=；故答案为：点评： 本题主要考查类比推理类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去一般步骤：找出两类事物之间的相似性或者一致性用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）13已知数列an是各项均不为0的等差数列，sn为其前n项和，且满足an2=s2n1（nn+）若不等式对任意的nn+恒成立，则实数的最大值为21考点： 等差数列的性质专题： 等差数列与等比数列分析： 在已知递推式中分别取n=1，2，联立方程组求得首项和公差，求出等差数列的通项公式，进一步得到an+1，代入不等式后分n为偶数和奇数变形，分离参数后分别利用基本不等式求最值和函数单调性求最值，取交集后得到的取值范围，则的最大值可求解答： 解：在an2=s2n1中，令n=1，n=2，得，即，解得a1=1，d=2，an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1，an+1=2n+1当n为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立，等号在n=2时取得，此时需满足25；当n为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立，随n的增大而增大，n=1时，取得最小值6则615=21综合、可得的取值范围是21实数的最大值为21故答案为：21点评： 本题考查数列递推式，考查了等差数列通项公式的求法，训练了利用基本不等式和函数单调性求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题14已知函数f（x）=，g（x）=x24x4若存在ar使得f（a）+g（b）=0，则实数b的取值范围是考点： 分段函数的应用专题： 函数的性质及应用分析： 利用基本不等式和对数函数的单调性，求出函数f（x）值域，进而根据存在ar使得f（a）+g（b）=0，得到g（b）=b24b41，解不等式可得实数b的取值范围解答： 解：当x时，2x+10，2，1，=，故答案为：点评： 本题考查的知识点是分段函数，函数的值域，基本不等式，对数函数的性质，存在性问题，二次不等式，是函数和不等式较为综合的应用，难度中档二、解答题：本大题共六小题，共计90分请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知，b=x|x22x+1m20，m0，（1）若m=2，求ab；（2）若ab=b，求实数m的取值范围考点： 一元二次不等式的解法；集合关系中的参数取值问题专题： 不等式的解法及应用分析： （1）把m=2代入可解得集合a、b，求交集即可；（2）把ab=b转化为ab，构建不等式组求解集可得m的取值范围解答： 解：（1）由得，解得2x6，a=x|2x6（3分）由m=2知x22x+1m20化为（x3）（x+1）0，解得1x3，b=x|1x3（6分）ab=x|2x3（7分）（2）ab=b，ab，（8分）又m0，不等式x22x+1m20的解集为1mx1+m，（11分）解得，m5，实数m的取值范围是 （6分）（2）由f（b）=0，得cos（2b+）=b为锐角，2b+，2b+=，b= （9分）cosa=，a（0，），sina= （10分）在abc中，由正弦定理得a= （12分）sinc=sin（ab）=sin（a）= （14分）点评： 本题考查正弦定理，考查三角函数中的恒等变换，考查学生的计算能力，属于中档题17在正三棱柱abca1b1c1中，ab=aa1，d、e分别是棱a1b1、aa1的中点，点f在棱ab上，且ab=4af（1）求证：ef平面bdc1；（2）求证：bc1平面b1ce考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定专题： 空间位置关系与距离分析： （1）取ab的中点m，因为ab=4af，所以f为am的中点，进而根据三角形中位线定理，及平行四边形的性质得到efbd，进而由线面平行的判定定理，得到ef平面bdc1；（2）连接ce，b1e，b1c，根据等边三角形三线合一及直棱柱的几何特征，结合面面垂直的判定定理，可得c1db1e，进而四边形abb1a1为正方形，bdb1e，进而可得b1e面c1db，即bc1b1e，又因为在正方形bb1c1c中，bc1b1c，结合线面垂直的判定定理可得bc1面b1ce解答： 证明：（1）取ab的中点m，因为ab=4af，所以f为am的中点，又因为e为aa1的中点，所以efa1m，（2分）在正三棱柱abca1b1c1中，d，m分别为a1b1，ab的中点，所以a1dbm，且a1d=bm，则四边形a1dbm为平行四边形，所以a1mbd，所以efbd，（5分）又因为bd平面bdc1，ef平面bdc1，所以，ef平面bdc1 （7分）（2）连接ce，b1e，b1c，因为在正三角a1b1c1中，d为a1b1的中点，所以，c1da1b1，所以，在正三棱柱abca1b1c1中，c1d面abb1a1，所以，c1db1e，因为aa1=ab，所以，四边形abb1a1为正方形，由d，e分别为a1b1，aa1的中点，所以，可证得bdb1e，所以，b1e面c1db，即bc1b1e，（11分）又因为在正方形bb1c1c中，bc1b1c，所以bc1面b1ce，（14分）点评： 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定定理和性质定理，难度不大，属于中档题18某小区想利用一矩形空地abcd建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中ad=60m，ab=40m，且efg中，egf=90，经测量得到ae=10m，ef=20m为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏设计时经过点g作一直线交ab，df于m，n，从而得到五边形mbcdn的市民健身广场，设dn=x（m）（1）将五边形mbcdn的面积y表示为x的函数；（2）当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积考点： 基本不等式在最值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法专题： 不等式的解法及应用分析： （1）作ghef，垂足为h，过m作mtbc交cd于t，求出am=，可得smbcdn=smbct+smtdn=（40am）60+（x+60）am，从而可得五边形mbcdn的面积y表示为x的函数；（2）将函数变形，利用基本不等式，可求市民健身广场的面积最大值解答： 解：（1）作ghef，垂足为h，因为dn=x，所以nh=40x，na=60x，因为，所以，所以am=，过m作mtbc交cd于t，则smbcdn=smbct+smtdn=（40am）60+（x+60）am，所以y=（40）60+（x+60）=2400由于n与f重合时，am=af=30适合条件，故x（0，30，（2）y=2400=24005，所以当且仅当40x=，即x=20（0，30时，y取得最大值2000，所以当dn=20m时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2000m2点评： 基本不等式应注意其使用条件：一正二定三相等19设数列an的前n项和为sn，且sn=（1+）an，其中1，0；（）证明：数列an是等比数列（）设数列an的公比q=f（），数列bn满足，bn=f（bn1）（nn*，n2）求数列bn的通项公式；（）记=1，记，求数列cn的前n项和为tn考点： 数列递推式；等比关系的确定；数列的求和专题： 综合题分析： （i）根据题意和an=snsn1（n2）进行变形，再由等比数列的定义判断得出；（ii）由（i）和题中所给的式子求出bn后，再进一步变形，判断出是等差数列，根据等差数列的通项公式求出bn的通项公式；（iii）由前两小题的结果求出cn，再由错位相减法求出该数列的前n项和为tn解答： 解：（i）由sn=（1+）an得，sn1=（1+）an1（n2），两式相减得：an=an+an1，（n2），1，0，数列an是等比数列（ii）由（i）知，bn=f（bn1）（nn*），即，是首项为，公差为1的等差数列；，则，（iii）=1时，且a1=1，得：，点评： 本题是数列的综合题，涉及了等差数列、等比数列的通项公式，主要利用关系式an=snsn1（n2）和构造法进行变形，还涉及了错位相减法求数列的前n项和，考查了分析问题和解决问题的能力20设函数f（x）=lnxax，g（x）=exax，其中a为实数（1）若f（x）在（1，+）上是单调减函数，且g（x）在（1，+）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（1，+）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论考点： 利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断专题： 导数的综合应用分析： （1）求导数，利用f（x）在（1，+）上是单调减函数，转化为a0在（1，+）上恒成立，利用g（x）在（1，+）上有最小值，结合导数知识，即可求得结论；（2）先确定a的范围，再分类讨论，确定f（x）的单调性，从而可得f（x）的零点个数解答： 解：（1）求导数可得f（x）=af（x）在（1，+）上是单调减函数，a0在（1，+）上恒成立，a，x（1，+）a1令g（x）=exa=0，得x=lna当xlna时，g（x）0；当xlna时，g（x）0又g（x）在（1，+）上有最小值，所以lna1