山东师范大学2006-2007学年第二学期期末.doc

山东师范大学2006-2007学年第二学期期末考试试题答案及评分标准课程编号：4081102 课程名称：数学分析 适用年级：2006 学制:_4_ 适用专业：应用数学信息计算 试题类别：(A) 一、单项选择题：（本题共5小题，每小题2分，共10分）1. 若 则等于 ( A )A. B. C. D. 2. 使得瑕积分收敛的的值为 （ B ）A. B. C. D. 3. 已知级数 则级数等于 （ C ）A. 3 B. 7 C. 8 D. 94. 若级数在处收敛, 则此级数在处 ( B )A. 条件收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定5. 设, 其中 则等于 ( D )A. B. C. D. 二、填空题：（本题共8小题10个空格，每空2分，共20分）1. 实数完备性的六个基本定理为: 单调有界定理, _确界原理, 聚点定理, 区间套定理, 有限覆盖定理, 柯西收敛准则;2. 数列的上下极限分别为_2_, _0_;3. 计算不定积分; 4. 设 则; 5. 级数的和为; 6. 级数的收敛域为0, 2)_; 7. 函数展成的幂级数为 8. 使得级数条件收敛的的值为; 三、判断下列反常积分的敛散性, 若收敛是条件收敛还是绝对收敛(本题共4小题，共20分）1 解: 对 有; 而 单调趋于0 , 故由狄利克雷判别法推知 无穷积分是收敛的. 3 由于 其中 满足狄利克雷判别法的条件, 是收敛的, 而是发散的. 5因此无穷积分是条件收敛的. 62. 解: 由于 由于, 3因此由比较判别法知是发散的. 43. 解: 此瑕积分的瑕点为. 当取时, 有 , 所以瑕积分收敛. 4 因为在上恒为负, 从而此瑕积分收敛与绝对收敛是等价的, 因此 瑕积分是绝对收敛的. 64. 解: 此瑕积分的瑕点为. 且 . 2由于知积分发散, 从而积分是发散的于是 积分是发散的. 4四、（本题共2小题，每小题10分，共20分） 1. 级数当为何值时是绝对收敛, 条件收敛或发散的? 解: (1) 当时, 由于 因此级数是绝对收敛的. 3 (2) 当时, 考虑函数. 由于 因此当充分大时, . 从而当充分大时, 单调递增, 由此推出, 当充分大时, 单调递减. 又因为 ,所以级数是收敛的. 另一方面, 因此级数非绝对收敛. 从而当时, 级数是条件收敛的. 7 (3) 又显然当时, , 从而级数是发散的. 9综上所述, 得: 当时, 级数绝对收敛; 当时, 级数条件收敛; 当时, 级数发散. 10 2. 设 证明函数项级数在上一致收敛, 并讨论其和函数在上的连续性、可积性与可微性. 证明： 对每一个， 易见为上增函数， 故有 又当时， 有不等式 所以 以收敛级数为的优级数， 推得在上一致收敛. 4由于每一个在上连续, 根据和函数的连续性定理与逐项可积定理知, 的和函数在上连续且可积. 6又由 即收敛级数也是的优级数， 推得也在上一致收敛. 9由逐项可微定理知 在上可微. 10五、(本题共两小题，每小题7分，共14分)1. 求函数在处的幂级数展开式, 并确定它收敛于该函数的区间. 解: 因为在内能展开为麦克劳林级数 。 2所以, 6 从而幂级数收敛于该函数的区间是. 72. 把函数在上展开成余弦级数, 并推出 .解: 为把展成余弦级数, 对作偶式周期延拓, 由公式知 4 根据收敛定理, 在区间上 6 当时, 由收敛定理可得 从而有 . 7 六、(本题共两小题，每小题8分，共16分)1. 设 为等比数列(公比满足), 试求:(1) 幂级数的收敛半径; (2) 数项级数的和.解: (1) 设 为等比数列(公比满足), 则 , 从而有 所以 幂级数的收敛半径. 4 (2) 由于数项级数, , 6对于级数, 因为 , 所以级数收敛.令 则有 所以 , 从而 因此数项级数的和为. 82. 求幂级数的和函数解: (1) 先求幂级数的收敛域. 因为 所以 又当时, 相应的级数 与 都收敛, 从而该幂级数的收敛域为. 3 (2) 再求幂级数在其收敛区间上的和函数, 下面用逐项求导法来求解. 设 则有 再设 又有 于是对上式两边进行积分,