高中数学 第四章 导数应用 4.1 函数的单调性与极值 4.1.1.1 利用导数判断函数单调性和求解单调区间课件 北师大版选修11.ppt

4 1 1 1利用导数判断函数单调性和求解单调区间 1 结合实例 借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系 2 正确理解利用导数判断函数单调性的思想方法 并能灵活运用 3 善于运用数形结合的思想 并注意转化的思想方法的应用 导函数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系 如果在某个区间内 都有函数y f x 的导数f x 0 则在这个区间上 函数y f x 是增加的 如果在某个区间内 都有函数y f x 的导数f x 0 则在这个区间上 函数y f x 是减少的 名师点拨1 若函数y f x 的单调增 减 区间不止一个 在写这些增 减 区间时 不能将各个区间用并集符号连接 只能用 或 和 字隔开 2 注意 函数y f x 的递减区间是 a b 与 函数y f x 在区间 a b 上是减少的 的区别 做一做1 若f x 是r上的可导函数 且在区间 a b 内有f x 0 f a 0 则在 a b 内有 a f x 0b f x 0 所以y f x 在 a b 上是增加的 所以f x f a 0 答案 a 做一做2 函数f x 2x2 3的递增区间是 解析 f x 4x 令f x 4x 0 得x 0 即f x 的递增区间是 0 答案 0 做一做3 在下列命题中 正确的是 填序号 若f x 在 a b 上是增加的 则对任意x a b 都应有f x 0 若在 a b 上f x 存在 则f x 必为单调函数 若在 a b 上对任意x都有f x 0 则f x 在 a b 上是增加的 若可导函数在 a b 上有f x 0 则在 a b 上有f x 0 可导的单调函数的导函数仍为单调函数 解析 举反例 若f x x3 则f x 在 1 1 上是增加的 但f x 3x2 f 0 0 所以 错误 若f x x2 x 1 1 则 错误 若f x x x 2 1 则 错误 答案 题型一 题型二 题型三 判断或证明函数的单调性 例1 判断函数f x x lnx的单调性 分析 根据导数值的正负来判断原函数的增减性 解 函数f x x lnx的定义域为 0 当x 1时 f x 0 当0 x 1时 f x 0 f x x lnx在 0 1 上是减少的 在 1 上是增加的 题型一 题型二 题型三 反思1 利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性 实质上就是判断或证明不等式f x 0 f x 0 在给定区间上恒成立 一般步骤为 1 求导数f x 2 判断f x 的符号 3 给出单调性的结论 2 如果出现个别点使f x 0 不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性 题型一 题型二 题型三 变式训练1 求证 函数f x ex x 1在 0 上是增加的 在 0 上是减少的 证明 由f x ex x 1 得f x ex 1 当x 0 时 ex 1 0 即f x 0 f x 在 0 上是增加的 当x 0 时 ex 1 0 即f x 0 f x 在 0 上是减少的 题型一 题型二 题型三 利用导数求函数的单调区间 例2 已知函数f x x3 bx2 cx d的图像过点p 0 2 且在点m 1 f 1 处的切线方程为6x y 7 0 1 求函数f x 的解析式 2 求函数f x 的单调区间 分析 1 根据条件列出方程组 求出b c d的值 2 求出f x 通过解不等式使问题解决 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思求单调区间的步骤是 先确定函数y f x 的定义域 再求出f x 最后通过f x 0和f x 0求出单调区间 题型一 题型二 题型三 变式训练2 设函数f x sinx cosx x 1 0 x 2 求函数f x 的单调区间 题型一 题型二 题型三 易错辨析易错点因忽视函数的定义域而致误 例3 求函数f x 2x2 lnx的递减区间 1 2 3 4 5 答案 c 1 2 3 4 5 2 若f x ax3 bx2 cx d为增函数 则一定有 a a 0且b2 4ac 0b a 0且b2 3ac 0c a0 2b 2 12ac 0 即b2 3ac 0 答案 b 1 2 3 4 5 3 函数f x x 3 ex的递增区间是 a 2 b 0