高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论垂直与平行课件 北师大版选修21(1).ppt

2 4用向量讨论垂直与平行 1 能用向量语言表述线线 线面 面面的平行 垂直关系 2 能用向量方法证明有关线 面位置关系的一些定理 3 能用向量方法解决立体几何中的平行 垂直问题 体会向量方法在研究几何问题中的作用 培养学生的运算能力 1 利用方向向量 法向量判断线面的位置关系一般地 由直线 平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量 可以归纳如下结论 设两条不同直线l1 l2的方向向量分别为a b 两个不同平面 的法向量分别为m n 做一做1 1 若直线l的方向向量为a 平面 的法向量为n 则能使l 的是 a a 1 0 0 n 2 0 0 b a 1 3 5 n 1 0 1 c a 0 2 1 n 1 0 1 d a 1 1 3 n 0 3 1 解析 欲使l 则需a n 即a n 0 故选d 答案 d 做一做1 2 已知a b c分别为直线a b c的方向向量 且a b 0 b c 0 则a与c的位置关系是 a 垂直b 平行c 相交d 异面解析 由a b 0 知a b 由b c 0 知b c 所以a c 故选a 答案 a 做一做1 3 在空间四边形abcd中 e f分别是ab ad上的点 且ae eb af fd 1 4 又h g分别是bc cd的中点 则 a bd 平面efgh 且efgh是矩形b hg 平面abd 且efgh是菱形c he 平面adc 且efgh是梯形d ef 平面bcd 且efgh是梯形答案 d 2 平面法向量的求法 1 若在空间图形中能够容易找出一个平面的垂线 则该直线的方向向量即为该平面的法向量 2 若平面的垂线不易找出 可利用待定系数法求平面法向量的坐标 其步骤如下 设平面的一个法向量为n x y z 找出 或求出 平面内两个不共线的向量的坐标a a1 b1 c1 b a2 b2 c2 解方程组 取其中的一组解 即得平面的一个法向量 说明 1 求平面的一个法向量n x y z 时 一般将x y z中的一个视为已知数 表示出另外两个 再令已知数为1 即可求得n 2 从简化运算的角度出发 应避免法向量的坐标中含有分数 3 0 0 0 不能作为平面的一个法向量 当x y z时 不能给其中的任一个赋值为0 3 垂直与平行的相关定理 1 线面垂直判定定理若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线 则该直线与此平面垂直 2 面面平行判定定理若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 则这两个平面平行 3 三垂线定理若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面内的投影 则这两条直线垂直 4 面面垂直判定定理若一个平面经过另一个平面的一条垂线 则这两个平面垂直 说明 用空间向量解决空间线面关系的步骤 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量表示问题中涉及的点 直线 平面 把立体几何问题转化为向量问题 通过向量运算 研究点 直线 平面之间的位置关系及它们之间的距离和夹角等问题 把向量的运算结果 翻译 成相应的几何意义 做一做3 2 如图 已知矩形abcd pa ab 1 bc a pa 平面abcd 若在bc上只有一个点q满足pq qd 则a的值等于 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 根据下列条件 判断相应的直线与直线 直线与平面 平面与平面之间的位置关系 1 两直线l1 l2的方向向量分别是a 2 3 1 b 6 9 3 2 两直线l1 l2的方向向量分别是a 5 0 2 b 0 4 0 4 平面 的法向量分别是u 2 3 4 v 4 2 1 5 直线l的方向向量 平面 的法向量分别是a 3 4 2 u 2 2 1 6 直线l的方向向量 平面 的法向量分别是a 0 8 12 u 0 2 3 分析 先判断两向量之间的关系 再转化为线线 线面 面面的位置关系 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 a 2 3 1 b 6 9 3 a b a b l1 l2 2 a 5 0 2 b 0 4 0 a b 0 a b l1 l2 u v 3 2 1 0 u v 4 u 2 3 4 v 4 2 1 u与v既不平行 也不垂直 平面 和 相交 不垂直 题型一 题型二 题型三 题型四 5 u 2 2 1 a 3 4 2 u a 6 8 2 0 u a 直线l和平面 的位置关系是l 或l 6 u 0 2 3 a 0 8 12 反思解答上述三类问题时要注意两个方面 一是要分清直线的方向向量 平面的法向量和直线 平面的位置关系之间的内在联系 二是要熟练掌握判断两向量共线 垂直的重要条件 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 根据下列各条件 判断相应的直线与直线 平面与平面 直线与平面的位置关系 1 直线l1 l2的方向向量分别是a 1 3 1 b 8 2 2 2 平面 的法向量分别是u 1 3 0 v 3 9 0 3 直线l的方向向量 平面 的法向量分别是a 1 4 3 u 2 0 3 4 直线l的方向向量 平面 的法向量分别是a 3 2 1 u 1 2 1 5 平面 与 的法向量分别是u 2 1 2 v 3 2 2 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 a 1 3 1 b 8 2 2 a b 8 6 2 0 a b l1 l2 2 u 1 3 0 v 3 9 0 v 3u u v 3 a 1 4 3 u 2 0 3 a和u既不共线 也不垂直 l与 相交 不垂直 题型一 题型二 题型三 题型四 4 a 3 2 1 u 1 2 1 a u 3 4 1 0 a u l 或l 5 u 2 1 2 v 3 2 2 u v 6 2 4 0 u v 题型一 题型二 题型三 题型四 例2 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是c1c b1c1的中点 利用空间向量证明mn 平面a1bd 题型一 题型二 题型三 题型四 证明 方法一 如图所示 以d为坐标原点 直线da dc dd1分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思方法一是建立空间直角坐标系 通过坐标运算证明结论 方法二和方法三没有建立空间直角坐标系 直接通过向量的分解等运算进行证明 当然方法二和方法三也可通过建立空间直角坐标系利用坐标运算来证明 一般地 如果建立空间直角坐标系比较容易 通常我们会采用方法一 如果不容易建立空间直角坐标系 那么我们通常会采用方法二 方法三 而方法二需要一个条件 那就是在平面内找到一个向量与直线的方向向量平行 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 在长方体abcd a1b1c1d1中 da 2 dc 3 dd1 4 m n e f分别为棱a1d1 a1b1 d1c1 b1c1的中点 求证 平面amn 平面efbd 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 如图所示 在四棱锥e abcd中 ab 平面bce cd 平面bce ab bc ce 2cd 2 bce 120 求证 平面ade 平面abe 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思证明面面垂直有几何法和向量法两种途径 几何法注重考查逻辑思维能力 常需作辅助线解决 思维量大 向量法思维量小 但有时运算量较大 一定要根据题目所给空间几何体建立合适的坐标系 若建系不当 则会增加计算的难度 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是bb1 d1b1的中点 求证 ef 平面b1ac 题型一 题型二 题型三 题型四 证明 设正方体的棱长为2a 如图所示 以d为坐标原点 直线da dc dd1分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 题型一 题型二 题型三 题型四 易错点因忽视对位置关系的进一步考察而致误 例4 已知a 1 0 0 b 0 1 1 c 1 1 0 d 1 2 0 e 0 0 1 则直线de与平面abc a 平行b de 平面abcc 相交d 平行或de 平面abc 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 12345 1 若a 1 2 3 是平面 的一个法向量 则下列向量能作为平面 的法向量的是 a 0 1 2 b 3 6 9 c 1 2 3 d 3 6 8 解析 选项b中 向量 3 6 9 3a与a平行 又a为平面 的法向量 向量 3 6 9 也是平面 的法向量 答案 b 12345 2 若直线l1 l2的方向向量分别为a 1 2 2 b 2 3 2 则 a l1 l2b l1 l2c l1 l2相交但不垂直d l1 l2的关系不能确定解析 a b 1 2 2 3 2 2 0 a