高中数学 第二章 函数章末小结课件 北师大版必修1.ppt

第二章函数 章末小结与测评 1 函数及其表示 1 函数的概念 函数是建立在两个非空数集之间的一种特殊的对应关系 即是一种特殊的映射 函数具有三个要素 即定义域 对应法则和值域 三者缺一不可 其中最重要的是定义域和对应法则 值域由定义域和对应法则确定 研究函数时应注意定义域优先的原则 其题型主要有以下几类 已知f x 的函数表达式 求定义域 已知f x 的定义域 求f x 的定义域 其实质是由 x 的取值范围 求出x的取值范围 已知f x 的定义域 求f x 的定义域 其实质是由x的取值范围 求 x 的取值范围 2 相同函数 判断两个函数是否相同 应抓住两点 定义域是否相同 对应法则是否相同 同时应注意 解析式可以化简 3 映射的概念 映射是建立在两个非空集合之间的一种特殊的对应关系 这种对应满足存在性与唯一性 判断给出的对应f a b是否为映射 可从给出的对应是否满足 i a中的不同元素可以有相同的像 即允许多对一 但不允许一对多 ii b中的元素可以无原像 即b中可以有 空元 特殊的映射 一一映射 如果映射f是集合a到集合b的映射 并且对于集合b中的任一元素 在集合a中都有且只有一个原像 这时这两个集合的元素之间存在一一对应的关系 并把这个映射叫作从集合a到集合b的一一映射 函数是一种特殊的映射 它是数集到数集的映射 2 函数的基本性质函数的奇偶性 单调性与最值是函数最重要的性质 在每年的高考中均有体现 常见问题有判断函数的奇偶性 单调性 求单调区间 求函数的最值或求某变量的取值范围 奇偶性与单调性的应用等 1 函数的奇偶性 具有奇偶性的函数的特点 a 对称性 奇 偶 函数的定义域关于原点对称 b 整体性 奇偶性是函数的整体性质 对定义域内任意一个x都必须成立 c 可逆性 f x f x f x 是偶函数 f x f x f x 是奇函数 d 图像特征 奇函数的图像关于原点对称 偶函数的图像关于y轴对称 2 函数单调性 单调性的判定 判断函数的单调性一般有两种方法 一是定义法 二是图像法 其中定义法具有严格的推理性 在证明单调性时通常使用此法 其基本思路是 a 设元 即设x1 x2是该区间内的任意两个值 且x1 x2 b 作差 即作f x2 f x1 或f x1 f x2 c 变形 即通过通分 配方 因式分解等手段 对差式向有利于判断符号的方向变形 d 定号 根据给定的区间和x2 x1的符号 确定差f x2 f x1 或f x1 f x2 的符号 当符号不确定时 可以进行分类讨论 e 结论 根据定义得出结论 求函数的单调区间 求函数的单调区间通常可采用 a 利用已知函数的单调性 b 定义法 先求定义域 再利用单调性定义 c 图像法 如果f x 是以图像形式给出的 或者f x 的图像易作出 可由图像的直观性写出它的单调区间 函数的单调性是对某个区间而言的 所以要受到区间的限制 例如函数y x 1在 0 和 0 内都是单调递减的 但不能说它在整个定义域即 0 0 内单调递减 只能分开写 即函数的单调减区间为 0 和 0 不能用 解 1 由题意得a 1 2 因为a b b 所以b a 当b 时 方程x2 x 2m 0无实数解 因此其判别式 1 8m8 1 当b 1 或b 2 时 方程x2 x 2m 0有两个相同的实数解x 1或x 2 因此其判别式 1 8m 0 解得m 8 1 代入方程x2 x 2m 0解得x 2 1 矛盾 显然m 8 1 不符合要求 当b 1 2 时 方程x2 x 2m 0有两个不相等的实数解x 1或x 2 因此1 2 1 2m 2 显然第一个等式不成立 综上所述 m 8 1 解 1 证明 设x1 x2 r 且x1 x2 则x2 x1 0 f x2 x1 1 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 1 f x1 f x2 x1 1 0 f x1 f x2 即f x 是r上的增函数 典例4 对任意的a b r 都有f a b f a f b 1 并且当x 0时 f x 1 f 3 4 1 求证 f x 是r上的增函数 2 求函数f x 在区间 1 2 上的最大值与最小值 2 令x y 1 则f 2 2f 1 1 f 3 f 2 f 1 1 3f 1 2 又 f 3 4 3f 1 2 4 f 1 2 f 2 2f 1 1 3 由 1 知f x 是r上的增函数 f x 在 1 2 上是增函数 f x 的最小值为f 1 2 最大值为f 2 3 借题发挥 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式 只是给出一些特殊关系式的函数 它是高中数学中的一个难点 高考中经常出