高中数学 第二章 平面解析几何 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率课件 新人教B版必修2.ppt

2 2 1直线方程的概念与直线的斜率 一 二 三 一 直线的方程与方程的直线的概念 问题思考 1 1 对y 3x 7而言 从函数的角度认识y 3x 7是属于什么函数 从方程的角度认识y 3x 7属于什么方程 提示 从函数的角度 y 3x 7是一次函数 图象是一条直线 从方程的角度 y 3x 7是二元一次方程 它有无数组解 x y 2 一次函数都是二元一次方程吗 反之二元一次方程都能化成一次函数吗 提示 一次函数y kx b k 0 都是二元一次方程 不是所有的二元一次方程都能化成一次函数 如方程3x 0y 27 属于二元一次方程但它不是一次函数 一 二 三 2 填空 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上 且这条直线上点的坐标都是这个方程的解 那么这个方程叫做这条直线的方程 这条直线叫做这个方程的直线 3 直线方程与二元一次方程的关系如何 提示 直线方程与二元一次方程的关系 1 方程f x y 0称为直线l的方程应具备两个条件 l上的点的坐标都是方程的解 以方程的解为坐标的点都在直线l上 二者缺一不可 2 平面上的直线与二元一次方程存在一一对应关系 一 二 三 二 直线的倾斜角与斜率 问题思考 1 填写下表 一 二 三 3 做一做 如图所示 若图中直线l1 l2 l3的斜率分别是k1 k2 k3 则 a k1k1 0 k3 答案 c 2 直线的斜率越大 倾斜角越大 对吗 提示 不对 它们之间的变化规律如下 1 当0 90 时 随 的增大 斜率k在 0 范围内增大 2 当90 180 时 随 的增大 斜率k在 0 范围内增大 一 二 三 三 斜率的坐标计算公式 问题思考 1 对于直线y kx b中的斜率k 你能用该直线上相异两点坐标a x1 y1 b x2 y2 来表示k吗 其中x1 x2 提示 能 思路是先将两点坐标分别代入方程 得出y1 kx1 b和y2 kx2 b两个等式 再将两式左右分别相减得k x2 x1 y2 y1 因为x2 x1 0 所以最后得k 一 二 三 3 直线ab的斜率公式与a b两点坐标的顺序是否有关 当直线与坐标轴垂直时其倾斜角和斜率分别是什么 提示 直线ab的斜率与a b两点坐标的顺序无关 已知直线上两点 x1 y1 x2 y2 如果y2 y1 x2 x1 那么直线与y轴垂直 此时倾斜角等于0 k 0 如果y2 y1 x2 x1 那么直线与x轴垂直 此时倾斜角等于90 k不存在 4 做一做 已知点a m m 3 b 2 m 1 c 1 4 直线ac的斜率是直线bc的斜率的三倍 求实数m的值 解 因为kac 3kbc 整理 得m2 3m 2 0 解得m 1或m 2 一 二 三 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 直线的倾斜角 的取值范围是 0 180 2 直线的倾斜角越大 其斜率也越大 3 直线的斜率越大 其倾斜角也越大 4 若直线的斜率k tan 则 一定为该直线的倾斜角 5 只要一条直线的倾斜角确定 那么该直线就确定了 6 两条直线的倾斜角相等 它们的斜率也相等 答案 1 2 3 4 5 6 探究一 探究二 探究三 思维辨析 直线的倾斜角 例1 1 直线x 1的倾斜角为 a 135 b 90 c 45 d 0 2 下列说法正确的是 a 一条直线和x轴的正方向所成的角 叫做这条直线的倾斜角b 直线的倾斜角 在第一或第二象限c 和x轴平行的直线 它的倾斜角为0 d 不是每一条直线都有倾斜角解析 1 因为直线与x轴垂直 所以倾斜角为90 2 倾斜角的定义是直线向上的方向和x轴正方向所成的角 故a错误 倾斜角的范围是0 180 故b错误 和x轴平行的直线的倾斜角是0 故c正确 每条直线都有倾斜角 故d错误 答案 1 b 2 c 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟求直线的倾斜角的方法及注意点 1 方法 结合图形 利用特殊三角形 如直角三角形 求角 2 两点注意 当直线与x轴平行或重合时 倾斜角为0 当直线与x轴垂直时 倾斜角为90 注意直线倾斜角的取值范围 探究一 探究二 探究三 思维辨析 直线的斜率和倾斜角的关系 例2 已知直线l过点m m 1 m 1 n 2m 1 1 当m为何值时 直线l的斜率是1 2 当m为何值时 直线l的倾斜角为90 思路分析 1 根据斜率公式列出关于m的方程即可 2 当直线倾斜角为90 时 利用直线上横坐标相等这一特征列等式即可 2 因为直线l的倾斜角为90 所以直线l的斜率不存在 所以m 1 2m 所以m 1 反思感悟通过本例的求解 一定要熟练地掌握直线的斜率与倾斜角的对应关系 若直线斜率存在 则除了斜率公式之外还有如下结论可以应用k tan 其中 为直线的倾斜角 k为直线的斜率 斜率为零和斜率不存在时对应的情况要引起重视 探究一 探究二 探究三 思维辨析 1 本例条件不变 试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围 2 若将本例中的 n 2m 1 改为 n 3m 2m 其他条件不变 结果如何 解 1 因为直线l的倾斜角为锐角 所以直线的斜率大于0 即 0 解得1 m 2 2 因为直线l的斜率是1 因为直线l的倾斜角为90 所以直线l的斜率不存在 所以m 1 3m 所以m 探究一 探究二 探究三 思维辨析 斜率公式的综合应用 例3 已知实数x y满足y 2x 8 且2 x 3 求的最大值和最小值 思路分析 根据的几何意义 本题的实质是求线段y 2x 8 2 x 3 上的点与原点连线的斜率的最值 解 如图 由已知得 点p x y 在线段ab上运动 其中a 2 4 b 3 2 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟利用斜率公式解决代数问题的关键是 根据题目中代数式的特征 看是否可以先写成 x1 x2 的形式 从而联想其几何意义 即直线的斜率 再利用几何图形的直观性来分析解决问题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练 1 若过点p 1 a 1 a 与q 3 2a 的直线的倾斜角为钝角 则实数a的取值范围是 2 求证a 1 5 b 0 2 c 2 8 三点共线 1 解析 因为直线的倾斜角为钝角 所以直线的斜率小于0 答案 2 a 1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 证明 方法一 利用斜率公式计算出ab和ac两条直线的斜率 因为直线ab和ac的斜率相同 又直线ab和ac过同一点a 所以a b c三点共线 即 ab ac bc 所以a b c三点共线 探究一 探究二 探究三 思维辨析 忽略斜率不存在的情况而致误 典例 设直线l过点a 7 12 b m 13 求直线l的斜率k 并说明倾斜角 的取值范围 以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何订正 你怎么防范 提示 上述产生错误的根源是没有讨论m 7这种斜率不存在的情形 探究一 探究二 探究三 思维辨析 正解 当m 7时 直线l与x轴垂直 斜率不存在 倾斜角 90 防范措施要明确直线的斜率公式是在x1 x2的条件下才成立的 当x1 x2时斜率是不存在的 因此在遇到点的坐标有参数存在时 要注意参数的取值范围 若不能排除斜率不存在的情形 则需要进行分类讨论 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练若直线l的斜率k 1 求倾斜角 的取值范围 解 当k 0时 tan45 1 当0 k 1时 0 45 当k 0时 90 180 当k 1时 倾斜角 的取值范围是0 45 或90 180 1 2 3 4 5 6 1 过点p 2 m 和点q m 4 的直线的斜率为1 则m的值为 a 1b 4c 1或3d 1或4 答案 a 1 2 3 4 5 6 2 若两直线l1 l2的倾斜角分别为 1 2 则下列四个命题正确的是 a 若 1 2 则两直线的斜率k1 k2b 若 1 2 则两直线的斜率k1 k2c 若两直线的斜率k1 k2 则 1 2d 若两直线的斜率k1 k2 则 1 2答案 d 1 2 3 4 5 6 3 已知直线l1的倾斜角为 1 则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角 2为 解析 当 1 0 时 2 0 当0 1 180 时 2 180 1 答案 0 或180 1 1 2 3 4 5 6 解析 因为2 0 所以直线ac的斜率kac存在 由a b c三点共线可知直线ab的斜率kab也存在 且kab kac 即 1 2 3 4 5 6 5 下列命题 任一条直线都有倾斜角 任一条直线都有斜率 若直线的倾斜角为 则此直线的斜率为tan 直线的倾斜角0 90 或90 180 时 直线斜率分别在这两个区间上单调递增 其中正确的序号是 解析 命题 是正确的 倾斜角为90 的直线没有斜率 故命题 与 均是错误的 是正确的 答案 1 2 3 4 5 6 6 已知点a