什么是代数学.pdf

什么是代数学什么是代数学 在学习代数学过程中有人问 近世代数讲完群环域以后就没再讲其他的东西 后面还应该学 习些什么知识 才可以继续深入研究下去 这个问题的复杂程度不亚与代数学本身 我仅谈一下自己认识到的一些看法 首先说明 认为近世代数讲完群环域以后就完全是其他更高级的东西的说法是不对的 近世 代数中讲的仅仅是群 环 域的基本概念及引论 事实上它们每一种都有一门或几门学科分 支 国内很多学校已经有这样的硕士 博士点 接下来的环与模范畴 同调代数当然是最基 本的 我来介绍一下我所接触的代数学 我认为代数学是研究代数结构的学问 这有两层含义 第一层含义是研究各种代数结构 从而就不仅是群 环 域 还有这些结构的各种子结构 弱 结构和对这些结构的公理进行变形后得到的各种结构 第二层含义是通过各种途径和技术来 研究这些代数结构 比如同调的方法 范畴论的方法 还有新近的量子化方法等等 代数有两种含义 广义的和狭义的 广义的代数是指群 环 域等等 下面将要看到 这个等等是不寻常的 这些结构及研究他们的方 法论的总和 狭义的代数一般专指向量空间上定义了某种满足一些公理化条件的乘法后的 这种结构 这个概念当然可以推广到模上 需要注意的是很多书上所说的代数还专门指乘法 满足结合律的结合代数 这就是说这个空间对于其中的乘法运算构成环 下面列举我接触到的部分课程清单 个人观点 分类不很科学和完整 请大家指正和补充 基本理论 群及其表示论 分支 一般群论 拓扑群 连续群 置换群及其应用 可解群 幂零群 典型群 有限群论 李群 李型单群 高阶 K 群 无限 Ablel 群 半群理论 Ellis 半群 离散群 组合群论 线性 代数群 群表示论 常表示与模表示 等等 基本理论 环与模范畴 代数及其表示论 分支 一般环论 根论 正则环 局部环 非交换环 非交换 结合 代数 分次环与模 有限维代数 可除代数 C 代数 算子代数 Von Neumann 代数 非交换多项式代数 Ore 代数 Artin 代数及表示论 腔胞代数 Lie 代数 无限维李代数 Lie 超代数 Colored 李代数 Kac Moody 代数 顶点算子代数 微分代数 拟 遗传代数 Quasi hereditary 量子代数 拓扑代数等等 一些有 名 的代数 Azumaya 代数 Baxter 代数 Hecke 代数 Boolean 代数 Cluster 代数 Clifford 代数 Frobienus 代数 Grassmann 代数 Heisenberg 代数 Jordan 代数 Koszul 代数 Loop 代数 Leibniz 代数 Miscellaneous 代数 Nakayama 代数 Poisson 代数 带子 Robbin Hopf 代数 Ringel Hall 代数 Steenrod 代数 管子 Tube 代数 W 代数 Weyl 代数 Jacobson Witt 代数 Nichols 代数 Poincare 代数 Yang Mills 代数 等等 一些小专题 张量代数 交错代数 包络代数 Morita 理论 Galois 扩张理论 基本理论 域论与数论 相关 有限域及其应用 迦罗瓦理论 赋值论 数论导引 解析数论基础 代数数论基础 丢番图分析 超越数论 模型式与模函数论 筛法 代数编码理论 积性数论 堆垒数论 等等 基本理论 Hopf 代数与量子群 相关 有限维 Hopf 代数 辫子 Hopf 代数 Hopf C 代数 Hopf 伽罗瓦扩张 Multiplier Hopf 代数 余环与余模理论 弱 Hopf 代数 拟 Hopf 代数 Hopf 代数胚 点 Hopf 代数 根树 Hopf 代数 Grossman Larson Connes Moscovici Kreimer 路 Hopf 代数 Hopf Quiver 局部紧量子群 非交换 微分 几何 李双代数 等等 基本理论 同调与上同调理论 Homology and Cohomology 相关 交换代数 同调代数 代数 K 理论 高维代数 A 双 代数 L 双 代数 循环同调 群与李群的上同调 Lie 代数的上同调 Etale 上同调 Hochschild 同调与上同调 等等 基本理论 范畴论及表示 Category 相关 阿贝尔范畴 n 范畴 双范畴 Hopf 范畴 导出范畴 Derived Categories 张量范畴 Tensor or Monoidal Categories 三角范畴 Triangulated Categories Fusion 范畴 等等 数学中是有一些老化的学科 也有些个别人故意增加条件把问题复杂化的事例 代数中有 拓扑学也一样 但是整个理论 基础 数学不是没用的学问 代数学也是一样 历史证明 也是如此 伽罗瓦以前恐怕很少人认识到群 伽罗瓦用它解决了一般五次以上方程的根式不可解性 现 在群论已成为大部分数学家 物理学家的常识 范畴论刚刚被提出时没有几个人会在乎 现在不仅大部分书采用了范畴的语言 甚至国外许 多大学的计算机系都设立了专门范畴论课程 同调论在代数几何中的巨大威力更是不必说 Hopf 代数从提出到八十年代初的停滞 谁也没有想到 Dinfeld 仅仅添加了一个拟交换性的 条件 就使它神奇般地和量子群的研究联系起来 并且找到了一大批统计物理中 Yang Baxter 方程的解 他因此获得 1990 年东京数学家大会上的菲尔兹奖 代数学好象没有绝对的主流 因为它是不断向前发展的 在不同的时期可能有不同的任务 我不知道当今代数学的主要任务是什么 因为没有整体的把握 但是一百年来代数学中的一 个重大问题恰恰不是别的 而是分类问题 这方面的大事件有 最早是复半单李代数的分类通过 Dynkin 图得到刻画 共有四大类和五种例外情况 一般的 李代数书都有介绍 例如孟道骥的那本 七十年代左右 Roiter 和 Auslander 独立的证明了 Brauer Trall 第一猜想 发展了路代数的方 法 发现了几乎可裂序列 这被认为是现代代数表示论的开端 77 年 Kac 分类了李超代 数 八十年代初 规模庞大的有限单群的分类宣告完成 分为三个大类和 26 个零散单群 中国 的段学复 张继平等作出了重要贡献 九十年代以来 有限维 Hopf 代数的分类成为研究的热门 低维 40 阶 的分类基本完成 素数阶 pq 阶 2 m 阶的分类获得了较多的研究 一种针对点 Hopf 代数的新的分类方 法已被提出 但是统一的分类纲领还没有形成 其他相关如 格论 泛代数 代数几何 代数拓扑 非交换 代数 几何 组合矩阵论 代数图论 微分代数 代数分析 不再多说 PS 有些概念可以在一些代数书或教材上查得到 另外比较偏僻的东西就只能在少量的几篇论文中查到 当然用 google 搜索是最快捷的方式 不要被这些名词吓倒 没有人能够掌握所有的东西 把这些东西放到一起只是开阔一下眼界 希望以后有时