_列方程解决问题_教学研究报告_丁丽 湖南教育(下) 2015-02-15 潇湘数学 .pdf

年月 主持人 徐旺 Email zyb0522 列方程解决问题 教学研究报告 长沙市丁丽数学名师工作室 潇湘数学教育工作室 一 问题 列方程解决问题 是人教版数学教材五年级上 册第五单元 简易方程 中的内容 学生是在学习了 用字母表示数 方程的意义 解方程的基础上学习列 方程解决问题的 学生在这一单元将经历从算术思 维向代数思维发展的飞跃 其中跨度最大的便是用 全新的方式 列方程解决实际问题 之所以说它 新 不仅是书写格式上的新 列方程解应用题需要先 写 解 和 设 更多地是指思考方式的新 逆向思 考 未知数参与运算 用张奠宙先生的话说 如果 将要求的答案比喻为在河对岸的一块宝石 那么算 术方法好比是摸着石头过河 从我们知道的岸边开 始 一步一步摸索着接近要求的目标 代数方法却不 同 好像是将一条带钩的绳子甩过河 钩住对岸的未 知数 建立了一种关系 然后利用这根绳子 关系 慢慢地拉过来 最终获得这块宝石 两者的思维方 式截然不同 不得不让学生觉得新奇 那么 面对这样一个新鲜事物 学生持怎样的态 度 学习效果如何 能否实现课标要求的目标 学习列方程 解方程 可以让学生体会蕴含其中的 建模思想 化归思想 于是 我们对任教过这一内容 的 14 名教师进行访谈 以了解学生对这一解决问题 新工具的态度 对此 教师们几乎口径一致地反馈 不论上课如何着重与强调 学生遇到应用题的时候 很少主动运用方程解题 甚至有时碰到难题 宁愿冥 思苦想算术方法 也绝不考虑用方程解题 是孩子们没有学懂 还是由于思维定式的影响 不 习惯 抑或是其他 为了查找原因 我们分三次抽取部 分学生进行了问卷调查及访谈 相关情况如下 第一次 随机选取六年级 119 人作为样本 调查 了解已学过列方程解决问题的学生是否自觉选用方 程解题的状况 调查结果如下表所示 题目算术法方程法其他原因分析 1 长江是我国第一 长河 全长 6299 千米 比黄河长 835 千米 黄河长 多少千米 115 人选用 其中做对的 110人 出错 的 5 人 4 人选用0此题很简单 思想 教学沙龙 25 年月 2 共有 1428 个网 球 每5 个装1筒 装完后还剩 3个 一共装了多少筒 116 人选用 其中做对的 102 人 出错 的 14 人 3 人选用 其中做对的 1 人 出错 的 2 人 0 此题是不难用 逆向思维想出 的两步问题 3 小胖和小巧一共 有 232 张邮票 小 胖的邮票张数是 小巧的 3 倍 小 胖 小巧各有多少 张邮票 56 人选用 其中做对的 38 人 出错 的 18 人 60 人选用 其中做对的 53 人 出错 的 7 人 3 人 未做 此题属和倍问 题 其中几倍的 理解比较难 学过奥数的孩 子会用算术方 法解 4 甲 乙两艘轮船 同时从上海出发 开往青岛 经过 18 小时后 甲船落后 乙船57 6千米 甲 船每小时行32 5 千 米 乙船每小时行 多少千米 106 人选用 其中做对的 70 人 出错 的 36 人 1 人选用 但错了 12人 未做 此题属于行程 问题中的追击 问题 学生在一 至五年级时接 触得比较多 且奥数里面有 专题 通过调查 我们发现只有第 3 题有近半数学生 用方程解 其他类型的题用方程解决的很少 那么 为什么只有和倍问题有一半的孩子用方程解 其他 类型的题是孩子们不会用方程解还是有别的原因 这样的结果促使我们进行了第二次问卷调查 第二次 随机选取六年级 119 人作为样本 了解 已学过列方程解决问题的学生是否掌握这一方法的 状况 在题中明确要求必须使用方程解 调查结果 如下表所示 题目类型方程法分析 1 长江是我国第一长河 全长 6299 千米 比黄河长 835 千米 黄河长多 少千米 做对的 108人 出错的 11 人 从正确率来 看 学生还是 会列方程 且 用方程解的 正确率高于 算术方法 第 4 题行程问 题由于等量 关系难找一 些 错的相对 多一些 2 共有 1428 个网球 每 5个装1 筒 装完后还剩 3个 一共装了多少筒 做对的 94 人 出错的 25 人 3 小胖和小巧一共有 232 张邮票 小 胖的邮票张数是小巧的 3 倍 小胖 小巧各有多少张邮票 做对的 92 人 出错的 27 人 4 甲 乙两艘轮船同时从上海出发开 往青岛 经过 18小时后 甲船落后乙 船 57 6 千米 甲船每小时行32 5 千 米 乙船每小时行多少千米 做对的 79 人 出错的 40 人 从调查结果中我们发现 大多数学生已经掌握 了用方程解题这一方法 但为什么孩子们偏向于用 算术方法解题呢 我们对以上学生进行了访谈 1 为什么会用方程解而不选择这种方法 学生的回答大致有 除了和倍问题 其他都很容 易 没有必要用方程解 方程的解题步骤多 书写麻 烦 能列出方程 但觉得解方程麻烦 2 请第 3 题和倍问题选用方程解题的同学说说 这一题你为什么选用方程解 学生的回答是 第 3 题用算术方法不好解 用方 程解简单些 用算术方法解完后 检验时发现错了 就改用方程解了 难一点的题目我就用方程解 通过访谈我们了解到 孩子们会用方程解题 但 因思维定式 习惯于使用算术方法解题 只有用算术 方法解不出时 才愿意用方程解 换而言之 只有选 用算术方法解题时有困难的 孩子们才能体会到用 方程解的优越性 并主动用方程解题 也许加大题目 的难度 能够将学生引到 用方程解决 的路上 可是 过于繁琐的方程 对于五年级学生而言 又无法运用 现有的知识予以解决 如何处理好这把 双刃剑 什 么样的题适合五年级学生用方程解 为了找出答案 我们进行了第三次问卷调查 第三次 随机选取五年级 60 人作为样本 了解 什么类型的题对五年级学生来说用算术方法难以解 决 而用简易方程能解决 调查结果如下表所示 题目及类别正确人数 错误人数原因分析 1 长江是我国第一长河 全长 6299 千米 比黄河长 835千 米 黄河长多少千米 43 人17 人 这类问题很容 易用逆向思维 解决 2 母鸡有 30 只 比公鸡的 2 倍少 6 只 公鸡有多少只 2 人58 人 很难用逆向思 维理清数量关 系 5 甲 乙两艘轮船同时从上海 出发开往青岛 经过 18小时 后 甲船落后乙船 57 6千米 甲船每小时行32 5 千米 乙船 每小时行多少千米 14 人46 人 此题属于行程 问题中的追击 问题 数量关 系难以理解 学过奥数的孩 子会用算术方 法解 3 李老师买了 科学家 和 发 明家 各 4 本 共花了 22 元 科学家 2 5 元一本 请问 发明家 多少钱一本 4 小胖将 174 张邮票放在大 小两本集邮册中 大集邮册 中的邮票张数正好是小集邮 册中的 2 倍 这两本集邮册 中分别有多少张邮票 42 人 17 人 18 人 43 人 此题虽然要分 三步解决 但 是数量关系比 较简单 此题属于和倍 问题 其中几 倍的理解比较 难 学过奥数 的孩子会用算 术方法解 通过以上调查 我们得出如下的结论 1 学生认为用方程解题的步骤多 书写麻烦 所以不到 用算术方法无法解决 时不会选用方程 思想 教学沙龙 26 年月 解题 2 就算是用算术方法无法解决的问题 学生也很 少主动使用列方程解决问题 换而言之 学生并不认 可这是一种非常有效的解决问题的好方法 3 用方程解决问题的思考方式和价值 如果和用 算术方法类似 又何需用新方法解决而抛弃已经习 惯的算术方法 针对上述现状 我们决定从以下两个维度引导 学生体会列方程解决问题的优越性 一是选用合适 的素材 让学生体会用方程解题优于用算术方法解 题 二是在问题解决的方式上 让学生体会列方程解 决问题可以用一个关系式解决一类问题 为此 我们 展开了如下教学尝试 二 实践 1 基于改编素材的研究教学尝试 环节一 复习导入 师 口答 看谁算得又对又快 出示课件 1 喜欢篮球运动的女生有 100 人 男生是女生 的 5 倍 喜欢篮球运动的男生有多少人 2 喜欢篮球运动的女生有 100 人 男生比女生 的 5 倍多 20 人 喜欢篮球运动的男生有多少人 3 喜欢篮球运动的女生有 100 人 男生比女生 的 5 倍少 40 人 喜欢篮球运动的男生有多少人 4 喜欢篮球运动的男生有 200 人 是女生的 5 倍 喜欢篮球运动的女生有多少人 学生依次分析等量关系 略 环节二 学习新课 1 教学例 1 师 篮球运动是博才阳光学校的体育特色项目 很多同学都爱上了篮球 图片欣赏 这里有一组数 据 请看 课件出示 博才阳光实验小学篮球俱乐部 有男生 150 人 男生的人数比女生的 4 倍还多 10 人 谁能根据这两个条件提出一个数学问题 生补充问题 女生有多少人 师 非常好 你提出的问题让这组数据变成了一 道完整的数学题 那么请大家动笔解答它吧 学生独立完成 师巡视 学生汇报结果 师将计 算结果板书 28 32 22 35 师 大家的计算结果都不相同 看来这是一道容 易出错的题啊 那我们一起看看到底怎么解决吧 师引导学生读题 从题目条件中分析出等量关 系 得出 男生人数 女生人数的 4 倍多 10 师 既然找到了等量关系 我们可以尝试用方程 来解决它 我们将 男生人数 女生人数的 4 倍多 10 这个等量关系式稍微变一变 男生人数 女生人 数 4 倍 10 然后将已知的男生人数和未知的女生 人数代入关系式中 就可以得到 150 4x 10 板书 完整的解题过程 如下 解 设女生有x人 则 150 4x 10 140 4x 140 4 x x 35 师 女生人数为 35 人才是这道题的正确结果 咱 们对比一下刚才的计算方法 方程法是不是一种很 好的解题方法 生1 挺好的 准确率高 生2 列方程解题对于 多 10 人 这个条件思考 起来很简单 算术方法有时候搞不清楚该用加法还 是减法 生3 是的 算术方法对于 多 10 人 和 4 倍 这 两个条件哪个先计算很模糊 方程就很清晰 师小结 我们刚刚接触列方程解题 这种新方法 有很多的优势 我们在解题过程中要慢慢体会 2 教学例 2 师 再来看这道题 课件出示 小红的邮票张数 比小明多 116 张 是小明的 3 倍 小红 小明各有多少 张邮票 想一想 会做吗 怎么做 学生思考后 不知如何下手 师 看来这道题有点难 我们一起来看看 师引导学生分析条件 得出等量关系 用方程顺 利解决了 解答分析方法略 师 用方程解这两道题与用算术方法有什么不同 生4 算术方法列出算式比较简单 但是思考时 有难度 生5 列出方程很容易 就是书写麻烦 生6 用算术方法解这道题容易错 列方程解题 正确率高 生7 只要找出等量关系 列方程解答很容易 找 等量关系就像读题一样 只要把条件读清楚了等量 关系就出来了 方程也就出来了 师小结 列方程解题既简便又准确率高 是一种 很棒的解题方法 大家要克服格式书写的困难 习惯 这种解题方式 3 教学例 3 师 出示稍作改动后的题目 小红的邮票张数 比小明多 116 张 比小明的 3 倍多 8 张 小红 小明各 有多少张邮票 你还能很快找出等量关系吗 思想 教学沙龙 27 年月 引导学生分析等量关系 师 请同学们在草稿本上独立完成这道题 学生独立完成后 教师进行订正 讲解 师 刚才有多少个同学是用方程解决这道题的 大部分学生举手 其他同学都是用的算术方法吗 用算术方法解出来的同学请举手 几个学生举手 通过举手我们观察到一个很有意思的情况 那么请 大家聊聊解这道题的感受吧 生8 这道题条件很复杂 我用算术方法解没有 解出来 列算式的时候我有点糊涂了 生9 这道题条件是复杂 但是用老师教我们的 方法 很快就能找到等量关系列出方程 生10 我也是用方程解答的 但是觉得写起来很 多字 不过能解决这个问题 师小结 这样看来 用算术方法很难解的题 用 方程却能降低难度 我们今天学习的就是列方程解 题 板书课题 4 归纳列方程解题的步骤 师引导学生归纳列方程解题的一般步骤 用 字母表示未知数 找等量关系 列出方程 解方 程 检验并作答 环节三 学以致用 试一试 养鸡场有公鸡 母鸡共 400 只 母鸡只 数是公鸡的 7 倍 公鸡 母鸡各有多少只 这道题留 作家庭作业 2 基于问题解决价值的研究教学尝试 环节一 引 1 用 讲故事 的方式看待应用题 课前交流 介绍你自己 并概括地介绍你最大的 优点 师 知道我最大的优点是什么吗 生猜测 师 其实我最会讲故事 我不仅想给你们讲好故 事 还想让你们获得把故事讲好的本领 课件出示 情境图 来 听听我的故事 小丁和小张都从自己家 往学校走 小丁走了 800 米 小张走了 600 米 然后 两人正好在学校门口相遇了 故事讲完了 你们觉得 怎么样 生1 不太好 因为不够生动 生2 还没有问题呢 师 是的 故事要是这么讲 永远都只是故事 那 怎么样才能讲出一点数学味道呢 或者能提出什么 问题 就是个数学故事了呢 生3 小丁和小张都从自己家往学校走 小丁走了 800 米 小张走了 600 米 两人正好在学校门口相遇 两家相距多少米 师 故事变成什么了 生 应用题 师 是的 每一道应用题都可以看成一个特别的 数学故事 如果说它不同于一般的故事的话 就是这数 学故事里面还有些数量间的关系 这道题中有哪些量 生4 小丁走的路程 小张走的路程和两家的路程 生5 两家的路程也可以说成是总路程 师 是的 这个数学故事中的等量关系就是小丁 走的路程 小张走的路程 总路程 板书 2 尝试 讲故事 用算术方法解答应用题 并揭 示基本等量关系 师 现在就试试你能不能讲好这个故事吧 课件出示题目 小丁和小张同时从自己家出发 相向而行 小丁每分钟走 150 米 小张每分钟走 100 米 5 分钟后两人相遇 两家相距多少米 师 这个故事中有哪些量 生6 像刚才板书的关系式那样 也是小丁走的 路程 小张走的路程 总路程 师 你能按照故事的发展 解决这个问题吗 同桌互相说 再派代表说 师根据学生的回答板书 小丁走的路程 小张走的路程 总路程 小丁的速度 小丁走的时间 小张的速度 小张走 的时间 总路程 150 5 100 5 1250 米 师 这两道题都是求总路程 第 2 题明显比第 1 题复杂 这是怎么回事 生7 第 2 题没有直接告诉我们两人所走的路程 而是分别告诉了他们各自的速度和时间 所以需要 三步计算了 师 你的意思是说 条件的隐蔽性带来了步骤增 多的变化 那其他同学觉得呢 生 点头 是的 师 要是再将其中的条件藏一藏 指不定还能从 三步计算变成四 五步或是更多步呢 现在我们的故 事一讲完 题也就做完了 来 接着往下看 3 沿用原有基本等量关系 用代数方法解答应用 题 体会 故事 的一致性 课件出示题目 小丁和小张同时从相距 2250 米 的东西两路骑自行车出发 相向而行 5 分钟后两人 相遇 小张每分钟走 200 米 小丁每分钟走多少米 师 现在 故事发生变化了吗 能沿用刚才的这 思想 教学沙龙 28 年月 个关系式解决它吗 生8 故事变了 但应该可以沿用刚才的这个关系 式解决 师 好 大家试试看 小丁走的路程 小张走的 路程 总路程 这样的关系式存在吗 这三个量还有 吗 分别如何表达 生9 存在 总路程是题目直接告诉我们的 2250 米 生10 小张走的路程 没有直接告诉我们 但是 用小张的速度乘她走的时间 就可以得出 小张走的 路程 了 生11 小丁走的路程不好表示 因为它不像 小张 走的路程 那样 既知道时间又知道速度 师根据学生的回答 在原板书的基础上修改成 小丁的速度 小丁走的时间 小张的速度 小 张走的时间 总路程 小丁的速度 5 200 5 2250 师 小丁的速度不知道 我们先画个框表示它 行吗 板书 5 200 5 2250 生12 老师 那个框是不是可以用x表示 师 你们觉得呢 生13 可以的 因为方框和x都表示不知道的量 板书 5x 200 5 2250 师 指向 5x 200 5 2250 这是一个什么 生 方程 师 我们一不小心就整出了一个方程 今天 我 们就是要用方程的方法解答应用题 板书课题 问 题解决了吗 生 还没有 师 怎样才算解决了 生14 要计算出x的值 问题才解决了 师 你会解方程吗 动笔试试看 学生独立完成后 集体订正 师 怎么知道自己算得对不对呢 生15 我会和同学订正一下 看看我们两个的答 案是否一致 生16 还可以将算出的值放入原题 看是否符合 题意 师 了不起的想法 将数值代入原题中检验一 次 照说 我们这样解决问题已经不错了 但是 5x 表 达的意思似乎交代得不够明确 怎么办呢 个别学生回答后 教师介绍写 设 的含义 且一 般写在方程前 师 刚才 我们沿用第 1 题的关系式解决了条件 问题都不相同的第 2 题 那么 它还能再拿来解决其 他问题吗 环节二 承 课件出示 3 4 题 布置答题要求 第 3 题 小丁和小张同时乘车从相距 400 千米的 甲乙两城出发 相向而行 3 2 小时后两人相遇 小丁 乘坐的车比小张乘坐的车每小时快 15 千米 小张乘 坐的车每小时行多少千米 第 4 题 小丁和小张从相距 3350 米的两个书店出 发 相向而行 小丁每分钟走 90 米 小张每分钟走 80 米 小张出发 10 分钟后 小丁才出发 小丁出发几分 钟后两人相遇 师 这次 请大家独立地或者与同桌讨论交流 用方程的方法解决问题 你可以任选一题 如果时间 允许不妨挑战两题 学生自主完成 师巡视指导 集体订正 引导学生说清楚三个要素 1 两题 讲的分别是什么故事 故事里的等量关系是什么 2 列出方程的过程 设什么量为x 3 检验的过程 环节三 悟 师 好了 我们今天用讲故事的办法一口气解决 了 5 个问题 现在我们一起回过头看看吧 课件呈 现 5 道题 你发现它们的不同之处和相同之处了吗 生17 第 1 2 题是用算术方法解答的 后面 3 道 题都是列方程解答的 生18 这些题的条件 问题都不相同 但用来解决 问题的关系式都是一样的 师 想一想 若是后面的 3 道题不用方程解 而 用算术方法解 可以解决吗 生 可以 师 会和现在列方程解决一样 在同一个关系式 下解决吗 比如第 2 题 我们一般会先从总路程 2250 里面减去小张走的路程 得出小丁走的路程后 再除 以小丁走的时间 5 分钟 得到小丁的速度 而第 3 4 题 若是用算术方法解答 算法会再次发生变化 生19 不用方程解答是可以的 但是用算术方法 不能像用方程那样 可以利用一个关系式解决几道 题 师 你的总结很到位 如此看来 列方程解决应 用题和用算术方法解决应用题最大的区别是什么 生 列方程解应用题 可以用一个关系式解决一 类问题 师 若是将题中的 小丁 小张 换成 小马 小 程 会影响到这种效果吗 思想 教学沙龙 29 年月 生 不会 师 那换成甲车 乙车呢 生 也不会 只要这些题中存在的等量关系都是 一个运动物体的路程 另一个运动物体的路程 总 路程 不论条件 问题怎么变 用方程解决的方式都 是一样的 环节四 用 师 如果说利用同一个关系式在刚才的 3 道题 中都能用列方程解答 那么 下面这一组题还能如此 吗 课件出示第二组题 1 妈妈在水果店买了一些樱桃和芒果 芒果买 了 3 斤 每斤 8 元 樱桃买了 2 斤 芒果和樱桃一共 花了 88 元 樱桃每斤多少钱 2 一个日记本的价格比一个练习本价格的 2倍 多 4 元 小明买了这样的日记本 1 个 练习本 2 个 一 共用去 30 元 一个练习本多少钱 3 李小莉想花 100 元买 4 支同价位的钢笔和 6 支同价位的彩笔 营业员说 我们店里正好有两种这 样的笔符合你的要求 每支钢笔比每支彩笔贵 5 元 这种钢笔和彩笔各多少钱一支 学生交流 师 想一想 这 3 道题中 还会像刚才一样 有一 样或是类似的关系式吗 想好以后 可以在小组内交 流 学生集体汇报 意识到 3 道题中有相似的等量关 系 一种物品的总价 另一种物品的总价 总支出的 钱数 学生独立完成 根据时间任选一个列出方程 集 体反馈 学生再次体会列方程解答应用题可以解决 一类问题的优势 环节五 收 师 我们今天学习了什么 你有什么收获 生 今天的课让我们掌握了列方程解应用题的 基本步骤 体会到列方程解应用题的优势 师讲述 女儿学加法 的故事 以揭示数学中还 有许多像列方程解应用题这样 可以一下解决一类 问题的知识 三 讨论 对于列方程解应用题这个内容 我们一般在课 堂上着重培养以下三种能力 培养学生寻找等量关 系的能力 设未知数的能力 列方程的能力 一堂课 下来 看似重难点突出 内容讲授全面 教学也很流 畅 可是课后学生就是不愿使用方程解题 之所以出 现这样的情