江西省鹰潭市高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年江西省鹰潭市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共20个小题，每小题5分，本题满分60分）1复数z=（2i）i在复平面内对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2命题“x0r，x3x2+10”的否定是（）axr，x3x2+10bx0r，x3x2+10cx0r，x3x2+10d不存在xr，x3x2+103设ar，则“a=1”是“直线l1：ax+2y1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件4函数f（x）=exsinx的图象在点（0，f（0）处的切线的倾斜角为（）a0bc1d5以抛物线y=x2的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）ax2+y2x=0bx2+y22x=0cx2+y2y=0dx2+y22y=06已知双曲线的左右焦点分别为f1，f2，以|f1f2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），则此双曲线方程为（）abcd7已知圆的方程为x2+y22y4=0，过点a（2，1）的直线被圆所截，则截得的最短弦的长度为（）ab2cd8若函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）a（1，2）b（，3）（6，+）c（3，6）d（，1）（2，+）9若方程x33x+m=0在0，2上只有一个解，则实数m的取值范围是（）a2，2b（0，2c2，0）2d（，2）（2，+）10我们把由半椭圆+=1（x0）与半椭圆+=1（x0）合成的曲线称作“果圆”（其中a2=b2+c2，abc0）如图，设点f0，f1，f2是相应椭圆的焦点，a1、a2和b1、b2是“果圆”与x，y轴的交点，若f0f1f2是腰长为1的等腰直角三角形，则a，b的值分别为（）a5，4bcd11函数f（x）的定义域为r，f（1）=1，对任意xr，f（x）3，则f（x）3x+4的解集为（）a（1，1）b（1，+）c（，1）d（，+）12已知圆，定点，点p为圆m上的动点，点q在np上，（）abcd二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13=14设x，y满足约束条件：；则z=x2y的取值范围为15已知f1，f2为椭圆+=1（3b0）的左右两个焦点，若存在过焦点f1，f2的圆与直线x+y+2=0相切，则椭圆离心率的最大值为16设函数f（x）=ax33x+1（xr），若对于任意的x1，1都有f（x）0成立，则实数a的值为三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题均为12分，共计70分，解答时应写出解答过程或证明步骤）17已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数m的取值范围18已知圆c：x2+y28y+14=0，直线l过点（1，1）（1）若直线l与圆c相切，求直线l的方程；（2）当l与圆c交于不同的两点a，b，且|ab|=2时，求直线l的方程19已知抛物线c：y2=2px（p0）上的一点m（3，y0）到焦点f的距离等于4（）求抛物线c的方程；（）若过点（4，0）的直线l与抛物线c相交于a，b两点，求abo面积的最小值20已知函数f（x）=exax1（1）求f（x）的单调增区间；（2）是否存在a，使f（x）在（2，3）上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由21已知椭圆c：（ab0）的离心率为，左焦点为f（1，0），过点d（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于a，b两点（1）求椭圆c的标准方程；（2）求k的取值范围；（3）在y轴上，是否存在定点e，使恒为定值？若存在，求出e点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由22已知函数f（x）=aln（x+1）axx2（）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；（）讨论f（x）在定义域上的单调性；（）证明：对任意正整数n，ln（n+1）2+2015-2016学年江西省鹰潭市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共20个小题，每小题5分，本题满分60分）1复数z=（2i）i在复平面内对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【专题】转化思想；数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：复数z=（2i）i=12i在复平面内对应的点（1，2）位于第四象限，故选：d【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2命题“x0r，x3x2+10”的否定是（）axr，x3x2+10bx0r，x3x2+10cx0r，x3x2+10d不存在xr，x3x2+10【考点】命题的否定【专题】常规题型【分析】特称命题“x0m，p（x）”的否定为全称命题“xm，p（x）”【解答】解：特称命题“x0r，x3x2+10”的否定是“xr，x3x2+10”故选a【点评】本题考查特称命题的否定形式，要注意存在量词“”应相应变为全称量词“”3设ar，则“a=1”是“直线l1：ax+2y1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】简易逻辑【分析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可【解答】解：当a=1时，直线l1：x+2y1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，当两条直线平行时，得到，解得a=2，a=1，后者不能推出前者，前者是后者的充分不必要条件故选a【点评】本题考查必要条件充分条件和充要条件的问题，考查两条直线平行时要满足的条件，本题解题的关键是根据两条直线平行列出关系式，不要漏掉截距不等的条件，本题是一个基础题4函数f（x）=exsinx的图象在点（0，f（0）处的切线的倾斜角为（）a0bc1d【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】根据求导公式和法则求出函数的导数，再求出f（0）的值，即为所求的倾斜角正切值【解答】解：由题意得，f（x）=exsinx+excosx=ex（sinx+cosx），在点（0，f（0）处的切线的斜率为k=f（0）=1，则所求的倾斜角为，故选b【点评】本题考查了求导公式和法则的应用，以及导数的几何意义，难度不大5以抛物线y=x2的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）ax2+y2x=0bx2+y22x=0cx2+y2y=0dx2+y22y=0【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出抛物线的焦点坐标为 （0，1），可得所求圆的半径等于1，可得结论【解答】解：抛物线y=x2即 x2=4y，焦点坐标为 （0，1），故所求圆的半径等于1，所以所求圆的方程为 x2+（y1）2=1，即 x2+y22y=0，故选：d【点评】本题主要考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，求圆的方程，属于中档题6已知双曲线的左右焦点分别为f1，f2，以|f1f2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），则此双曲线方程为（）abcd【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意知c=，点（1，2）在y=x上，由此能求出双曲线的方程【解答】解：双曲线的左右焦点分别为f1，f2，以|f1f2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），由题意知c=，a2+b2=5，又点（1，2）在y=x上，由解得a=1，b=2，双曲线的方程为=1故选：c【点评】本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的合理运用7已知圆的方程为x2+y22y4=0，过点a（2，1）的直线被圆所截，则截得的最短弦的长度为（）ab2cd【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】根据题意可知，过a（2，1）的最长弦为直径，最短弦为过a（2，1）且垂直于该直径的弦，根据勾股定理求出最短弦的长度即可【解答】解：圆的标准方程为x2+（y1）2=5，设过a（2，1）的最长的弦为直径，最短弦为过a（2，1）且垂直于直径的弦，弦心距为2，根据勾股定理得最短的弦2=2，故选：b【点评】考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力8若函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）a（1，2）b（，3）（6，+）c（3，6）d（，1）（2，+）【考点】利用导数研究函数的极值【专题】计算题；导数的综合应用【分析】由题意求导f（x）=3x2+2ax+（a+6）；从而化函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值为=（2a）243（a+6）0；从而求解【解答】解：f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，f（x）=3x2+2ax+（a+6）；又函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，=（2a）243（a+6）0；故a6或a3；故选b【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题9若方程x33x+m=0在0，2上只有一个解，则实数m的取值范围是（）a2，2b（0，2c2，0）2d（，2）（2，+）【考点】二分法求方程的近似解【专题】计算题；函数思想；定义法；平面向量及应用【分析】令f（x）=x33x+m，则由题意可得函数f（x）在0，2只有一个零点，故有f（0）f（2）0，并验证其结论，问题得以解决【解答】解：设f（x）=x33x+m，f（x）=3x23=0，可得x=1或x=1是函数的极值点，故函数的减区间为0，1，增区间为（1，2，根据f（x）在区间0，2上只有一个解，f（0）=m，f（1）=m2，f（2）=2m，当f（1）=m2=0时满足条件，即m=2，满足条件，当f（0）f（2）0时，解得2m0时，当m=0时，方程x33x=0解得x=0，x=1，不满足条件，故要求的m的取值范围为2，0）2故选：c【点评】本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，函数零点与方程的根的关系，属于基础题10我们把由半椭圆+=1（x0）与半椭圆+=1（x0）合成的曲线称作“果圆”（其中a2=b2+c2，abc0）如图，设点f0，f1，f2是相应椭圆的焦点，a1、a2和b1、b2是“果圆”与x，y轴的交点，若f0f1f2是腰长为1的等腰直角三角形，则a，b的值分别为（）a5，4bcd【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；新定义；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先求出|f0f2|=b=1，|f1f2|=2=1，由此利用椭圆的性质能求出结果a，b【解答】解：点f0，f1，f2是相应椭圆的焦点，a1、a2和b1、b2是“果圆”与x，y轴的交点，f0f1f2是腰长为1的等腰直角三角形，f0（c，0），f1（0，），f2（0，），|f0f2|=b=1，|f1f2|=2=1，c2=，a2=b2+c2=a=，b=1故选：b【点评】本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式、椭圆性质的合理运用11函数f（x）的定义域为r，f（1）=1，对任意xr，f（x）3，则f（x）3x+4的解集为（）a（1，1）b（1，+）c（，1）d（，+）【考点】导数的运算【专题】函数的性质及应用【分析】构造函数f（x）=f（x）（3x+4），由f（1）=1得f（1）的值，求f（x）的导函数，根据f（x）3，得f（x）在r上为增函数，根据函数的单调性得f（x）大于0的解集，从而得所求不等式的解集【解答】解：设f（x）=f（x）（3x+4），则f（1）=f（1）（3+4）=11=0，又对任意xr，f（x）3，f（x）=f（x）30，f（x）在r上是增函数，f（x）0的解集是（1，+），即f（x）3x+4的解集为（1，+）故选：b【点评】本题考查了运用函数思想求解不等式的问题，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，是易错题12已知圆，定点，点p为圆m上的动点，点q在np上，（）abcd【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由已知得q为pn的中点且gqpn，|gn|+|gm|=|mp|=8，从而得到g点的轨迹是以m、n为焦点的椭圆，其长半轴长a=4，半焦距c=，由此能求出点g的轨迹方程【解答】解：圆，定点，点p为圆m上的动点，m（，0），pm=8，点q在np上， =0，q为pn的中点且gqpn，gq为pn的中垂线，|pg|=|gn|，|gn|+|gm|=|mp|=8，故g点的轨迹是以m、n为焦点的椭圆，其长半轴长a=4，半焦距c=，短半轴长b=3，点g的轨迹方程是=1故选：a【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆定义和性质的合理运用二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13=2【考点】定积分【专题】计算题【分析】根据定积分的定义，找出根号函数f（x）=的几何意义，计算即可【解答】解：，积分式的值相当于以原点为圆心，以2为半径的一个半圆面的面积，故其值是2故答案为：2【点评】此题考查利用定积分的几何意义，求解定积分的值，是高中新增的内容，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数14设x，y满足约束条件：；则z=x2y的取值范围为3，3【考点】简单线性规划【专题】计算题【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x2y可得，y=，则表示直线x2yz=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x2y可得，y=，则表示直线x2yz=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x2yz=0平移到b时，截距最大，z最小；当直线x2yz=0平移到a时，截距最小，z最大由可得b（1，2），由可得a（3，0）zmax=3，zmin=3则z=x2y3，3故答案为：3，3【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案15已知f1，f2为椭圆+=1（3b0）的左右两个焦点，若存在过焦点f1，f2的圆与直线x+y+2=0相切，则椭圆离心率的最大值为【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】通过题意可过焦点f1，f2的圆的方程为：x2+（ym）2=m2+c2，利用该圆与直线x+y+2=0相切、二次函数的性质及离心率公式，计算即得结论【解答】解：由题可知过焦点f1，f2的圆的圆心在y轴上，设方程为：x2+（ym）2=m2+c2，过焦点f1，f2的圆与直线x+y+2=0相切，d=r，即=，解得：c2=+2m+2，当c最大时e最大，而+2m+2=（m2）2+44，c的最大值为2，e的最大值为，故答案为：【点评】本题考查求椭圆的离心率、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题16设函数f（x）=ax33x+1（xr），若对于任意的x1，1都有f（x）0成立，则实数a的值为4【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【专题】计算题【分析】先求出f（x）=0时x的值，进而讨论函数的增减性得到f（x）的最小值，对于任意的x1，1都有f（x）0成立，可转化为最小值大于等于0即可求出a的范围【解答】解：由题意，f（x）=3ax23，当a0时3ax230，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）0即可，解得a2，与已知矛盾，当a0时，令f（x）=3ax23=0解得x=，当x时，f（x）0，f（x）为递增函数，当x时，f（x）0，f（x）为递减函数，当x时，f（x）为递增函数所以f（）0，且f（1）0，且f（1）0即可由f（）0，即a3+10，解得a4，由f（1）0，可得a4，由f（1）0解得2a4，综上a=4为所求故答案为：4【点评】本题以函数为载体，考查学生解决函数恒成立的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题均为12分，共计70分，解答时应写出解答过程或证明步骤）17已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】分类讨论；转化思想；简易逻辑【分析】（1）若命题p为真命题，根据椭圆的定义和方程建立不等式关系，即可求实数m的取值范围；（2）根据复合命题的关系得到p，q为一个真命题，一个假命题，然后求解即可【解答】解：（1）方程表示焦点在y轴上的椭圆，即，即1m1，若命题p为真命题，求实数m的取值范围是（1，1）；（2）若“pq”为假命题，“pq”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，若关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，则判别式=4m24（2m+3）0，即m22m30，得1m3若p真q假，则，此时无解，柔p假q真，则，得1m3，综上，实数m的取值范围是1，3）【点评】本题主要考查复合命题的真假关系以及应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键18已知圆c：x2+y28y+14=0，直线l过点（1，1）（1）若直线l与圆c相切，求直线l的方程；（2）当l与圆c交于不同的两点a，b，且|ab|=2时，求直线l的方程【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；分类讨论；综合法；直线与圆【分析】（1）确定圆心与半径，利用直线l与圆c相切，分类讨论，即可求直线l的方程；（2）由，得d=1，分类讨论，即可求出直线l的方程【解答】解：（1）圆c：x2+y28y+14=0，配方，得x2+（y4）2=2，圆心c（0，4），半径，当直线l的斜率不存在时，l：x=1，此时l不与圆相切 2分若直线l的斜率，设l：y1=k（x1），由得k=7或1，所以直线方程为7xy6=0或x+y2=0（2）由，得d=1，若当直线l的斜率不存在时，l：x=1，满足题意 若直线l的斜率存在，设l：y1=k（x1）由得，此时l：4x+3y7=0x=1综上所述l方程为x=1或4x+3y7=0【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查分类讨论的数学思想，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用19已知抛物线c：y2=2px（p0）上的一点m（3，y0）到焦点f的距离等于4（）求抛物线c的方程；（）若过点（4，0）的直线l与抛物线c相交于a，b两点，求abo面积的最小值【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）利用抛物线c：y2=2px（p0）上的一点m（3，y0）到焦点f的距离等于4，求出p的值，可得抛物线c的方程；（）解法1：分类讨论，设出直线l：y=k（x4），与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合面积公式，即可求abo面积的最小值；解法2：设直线l：x=ty+4，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合面积公式，即可求abo面积的最小值；【解答】解：（）依题意可知，p=2故抛物线c的方程为：y2=4x（）解法1：设a（x1，y1），b（x2，y2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=4，联立方程组，解得y1=4，y2=4当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x4）（k0）联立方程组，消去x得，y1y2=16综合可得当直线l的斜率不存在时，sabc取得最小值16解法2：设直线l：x=ty+4设a（x1，y1），b（x2，y2）联立方程组，消去x得y24ty16=0，y1+y2=4t，y1y2=16当t=0时，sabc取得最小值16【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题20已知函数f（x）=exax1（1）求f（x）的单调增区间；（2）是否存在a，使f（x）在（2，3）上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】导数的概念及应用【分析】（1）先求出函数的导数，再讨论若a0，若a0的情况，从而求出单调区间；（2）由f（x）=exa0在（2，3）上恒成立从而aex在x（2，3）上恒成立，从而f（x）在（2，3）上为减函数，得ae3故存在实数ae3，使f（x）在（2，3）上单调递减【解答】解f（x）=exa，（1）若a0，则f（x）=exa0，即f（x）在r上递增，若a0，exa0，exa，xln a因此f（x）的递增区间是lna，+）（2）由f（x）=exa0在（2，3）上恒成立aex在x（2，3）上恒成立又2x3，e2exe3，只需ae3当a=e3时f（x）=exe3在x（2，3）上，f（x）0，即f（x）在（2，3）上为减函数，ae3故存在实数ae3，使f（x）在（2，3）上单调递减【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的范围，是一道基础题21已知椭圆c：（ab0）的离心率为，左焦点为f（1，0），过点d（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于a，b两点（1）求椭圆c的标准方程；（2）求k的取值范围；（3）在y轴上，是否存在定点e，使恒为定值？若存在，求出e点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；方程思想；待定系数法；判别式法；设而不求法【分析】（1）直接求出a，b；（2）利用一元二次方程有两个不等的实数解的条件；（3）利用设而不求的方法，设出要求的常数，并利用多项式的恒等条件（相同次项的系数相等）【解答】所以k的取值范围