分形科普—Fractal.ppt

分形Fractal rosmine 2017年4月20日 银河系 险峻的山川 连绵的海岸线 河流分布图 狂暴的雷电 雪花与冰晶 人体结构 海洋生物 普通树木 蕨类植物 西兰花和多肉植物 金融 美元指数分析图 梦幻般的图 花椰菜 树木 山川 云朵 脑电图 材料断口 闪电 冲积扇 泥裂 冻豆腐 水系 晶簇 蜂窝石 小麦须根系 树冠 支气管 星系 材料断口 小肠绒毛 大脑皮层 分形 这一切都与一个熟悉又陌生的名字有关 分形 两大特点 1 自相似 即局部与整体相似 2 无限细分 分形 分形出现试图用经典几何学描述分形出现大量处处连续不可微图形 1875 1925 计算机图形学发展分形构图软件大量出现计算机进行分形研究兴起 研究分形维数分形集的局部性质分形集的结构S 集分析与几何性质 成为独立学科曼德尔布莱特出版里程碑专著 1926 1975 1976 2010 2010 分形发展简史 柯赫曲线构图 1 画一条线 2 三等分 中间部分用等边三角形替代 3 继续将所有线段三等分 中间部分用等边三角形替代 柯赫曲线构图 4 继续将所有线段三等分 中间部分用等边三角形替代 柯赫曲线 柯赫曲线构图演示 雪花 另一种柯赫曲线构图 随机柯赫曲线 海岸线 线段三等分 中间部分用等边三角形替代 三角形方向扔硬币确定 三角形谢尔宾斯基地毯 1 将一个等边三角形四等分 去掉中间部分 2 继续将剩余等边三角形四等分 去掉中间部分 三角形谢尔宾斯基地毯构图演示 正方形谢尔宾斯基地毯 1 将一个正方形九等分 去掉中间部分 2 继续将剩余正方形九等分 去掉中间部分 谢尔宾斯基地毯应用 如同二维码一般的正方形谢尔宾斯基地毯由于其特殊的结构 可以响应各种频段的电磁信号 因此用它来做手机天线 可以把天线做的很小 谢尔宾斯基海绵 三维分形体 类似二维 将一个正方体平均分成27份 取走中间的7个小正方体 剩余部分继续依此规律操作 直至无穷 得到一块类似海绵的分形体 其他三维分形体 不可能三维分形体 分形树 一种分形树的构图过程 分形体的周长 面积 周长 每次迭代周长变为原周长的4 3倍 故无穷次迭代后雪花的周长趋近无穷大 面积 小于原三角形外接圆 无穷迭代后面积趋近一个定值若原三角形边长为a 雪花无穷次迭代后面积为0 4 3a 无限长的线围成有限的面积 分形体的表面积 体积 体积 每次迭代体积都更小 无穷次迭代后体积趋近0 表面积 无穷次迭代后表面积趋近无穷大 怪异体 只有表面没有内容 维度的计算 若将一个物体沿线分成m部分 它变成n个 则维度定义为 线度分成2部分 变成2段 维度为 线度分成2部分 变成4块 维度为 分形体的维度 若一个分形含有n个相似的部分 每一个部分的线度是整体的 则分形维度定义为 分形体的维度 柯赫曲线 因为其全长是无穷大 所以若使用一维来度量结果是无穷大 若使用二维来度量 由于曲线没有宽度 结果是0 所以 该曲线维度介于一维和二维之间 柯赫曲线维度为 分形体的维度 谢尔宾斯基地毯维度为 分形体的维度 谢尔宾斯基海绵维度为 分形体的维度 分形体的维度一般不是整数 闵可夫斯基香肠 四方内生树 龙曲线 股票走势分形 洛伦茨曲线 朱丽亚图谱 曼德勃罗集图 广义曼德勃罗集图 k 3k 4k 5 曼德勃罗集图逐步放大 曼德勃罗集图逐步放大 曼德勃罗集图逐步放大 曼德勃罗集图 峡谷地带 放大 数学中的动力系统等 物理中的布朗运动 流体力学中的湍流等 化学中酶的构造等 生物中细胞的生长等 地质学中的地质构造等 天文学中土星光环的模拟等 其它 计算机 经济学 社会学 艺术等 分形的应用 1 事物的外形 存在着整体和局部相似的特点 局部放大后与整体形状类似 2 事物的发展 也可以从局部的发展 看出事物整体发展的状况 3 事物的功能 事物局部的功能 也存在着与整体功能相似的情况 分形的功能 测量海岸线 在测量海岸线长度时 采用不同的尺子得到的结果也不相同 采用更大的红色尺子测出的结果要小