河北省保定市蠡县中学高二数学下学期期末试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年河北省保定市蠡 县中学高二（下）期末数学试卷（理科）一选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡上）1曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是（）a 2x+y+3=0b 2x+y3=0c 2x+y+1=0d 2xy1=02定义运算，则符合条件的复数z为（）a 3ib 1+3ic 3+id 13i3复数z=，|是（）a 25b 5c 1d 74用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）a 假设至少有一个钝角b 假设没有一个钝角c 假设至少有两个钝角d 假设没有一个钝角或至少有两个钝角5观察按下列顺序排序的等式：90+1=1，91+2=11，92+3=21，93+4=31，猜想第n（nn*）个等式应为（）a 9（n+1）+n=10n+9b 9（n1）+n=10n9c 9n+（n1）=10n1d 9（n1）+（n1）=10n106点m的直角坐标是，则点m的极坐标为（）a b c d 7曲线y=cosx（0x）与x轴以及直线x=所围图形的面积为（）a 4b 2c d 38若f（x0）=3，则=（）a 3b 12c 9d 69极坐标方程cos=2sin2表示的曲线为（）a 一条射线和一个圆b 两条直线c 一条直线和一个圆d 一个圆10平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）a b c d 11用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f（n）部分，则f（n）=1+”在证明第二步归纳递推的过程中，用到f（k+1）=f（k）+（）a k1b kc k+1d 12已知f（x）=x+x3，且x1+x20，x2+x30，x3+x10则（）a f（x1）+f（x2）+f（x3）0b f（x1）+f（x2）+f（x3）0c f（x1）+f（x2）+f（x3）=0d f（x1）+f（x2）+f（x3）符号不能确定二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填写在答题纸上）13（2x）dx=14设z1=i4+i5+i6+i12，z2=i4i5i6i12，则z1，z2关系为15已知f（x）=x3+3x2+a（a为常数），在3，3上有最小值3，那么在3，3上f（x）的最大值是16函数g（x）=ax3+2（1a）x23ax在区间3，3内单调递减，则a的取值范围是三解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17在平面直角坐标系中已知点a（3，0），p是圆x2+y2=1上一个动点，且aop的平分线交pa于q点，求q点的轨迹的极坐标方程18已知f（x）=dt，（x0）（1）求f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在1，3上的最值19已知f（x）=ax3+bx2+cx（a0）在x=1处取得极值，且f（1）=1（）求常数a，b，c的值；（）求f（x）的极值20已知数列an的前n项和sn=1nan（nn*）（1）计算a1，a2，a3，a4； （2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论21已知函数f（x）=ax3+cx+d（a0）在r上满足 f（x）=f（x），当x=1时f（x）取得极值2（1）求f（x）的单调区间和极大值；（2）证明：对任意x1，x2（1，1），不等式|f（x1）f（x2）|4恒成立22已知函数f（x）=ln|x|（x0），函数g（x）=（x0）（1）当x0时，求函数y=g（x）的表达式；（2）若a0，函数y=g（x）在（0，+）上的最小值是2，求a的值；（3）在（2）的条件下，求直线y=与函数y=g（x）的图象所围成图形的面积2014-2015学年河北省保定市蠡县中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡上）1曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是（）a 2x+y+3=0b 2x+y3=0c 2x+y+1=0d 2xy1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的概念及应用分析：先求出导数，再把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化为一般式解答：解：由题意知，y=2x，在（1，1）处的切线的斜率k=2，则在（1，1）处的切线方程是：y1=2（x1），即2xy1=0，故选d点评：本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线斜率是该点处的导数值，以及直线方程的点斜式和一般式的应用，属于基础题2定义运算，则符合条件的复数z为（）a 3ib 1+3ic 3+id 13i考点：二阶行列式的定义；复数代数形式的混合运算专题：计算题分析：根据定义，将已知转化，可以得出z（1+i）=4+2i，再利用复数的除法运算法则求出复数z即可解答：解：根据定义，可知1zi（1）z=4+2i，即z（1+i）=4+2i，z=3i故选a点评：本题考查了复数的代数运算，利用所给的定义将已知转化为z（1+i）=4+2i是关键3复数z=，|是（）a 25b 5c 1d 7考点：复数求模专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的模求解运算法则，直接求解即可解答：解：复数z=，|=1故选：c点评：本题考查复数的模的求法，分式的模等于分子的模除以分母的模，是基础题4用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）a 假设至少有一个钝角b 假设没有一个钝角c 假设至少有两个钝角d 假设没有一个钝角或至少有两个钝角考点：反证法与放缩法专题：应用题分析：根据命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，从而得出结论解答：解：由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设至少有两个钝角，故选c点评：本题考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口5观察按下列顺序排序的等式：90+1=1，91+2=11，92+3=21，93+4=31，猜想第n（nn*）个等式应为（）a 9（n+1）+n=10n+9b 9（n1）+n=10n9c 9n+（n1）=10n1d 9（n1）+（n1）=10n10考点：归纳推理专题：探究型分析：本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的系数及各个部分与式子编号之间的关系，易得等式左边分别为9与编号减1的积加上编号，等式右边的是一个等差数列，归纳后即可推断出第n（nn*）个等式解答：解：由已知中的式了，我们观察后分析：等式左边分别为9与编号减1的积加上编号，等式右边的是一个等差数列，根据已知可以推断：第n（nn*）个等式为：9（n1）+n=10n9故选b点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）6点m的直角坐标是，则点m的极坐标为（）a b c d 考点：极坐标刻画点的位置专题：计算题分析：利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，先将点m的直角坐标是后化成极坐标即可解答：解：由于2=x2+y2，得：2=4，=2，由cos=x得：cos=，结合点在第二象限得：=，则点m的极坐标为故选c点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得7曲线y=cosx（0x）与x轴以及直线x=所围图形的面积为（）a 4b 2c d 3考点：余弦函数的图象专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：根据所围成图形用定积分可求得曲线y=cosx以及直线x=所围图形部分的面积，然后根据定积分的定义求出所求即可解答：解：由定积分定义及余弦函数的对称性，可得曲线y=cosx以及直线x=所围图形部分的面积为：s=3cosxdx=3sinx|=3sin3sin0=3，所以围成的封闭图形的面积是3故选：d点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，考查运算求解能力，化归与转化思想思想，属于基本知识的应用8若f（x0）=3，则=（）a 3b 12c 9d 6考点：导数的运算专题：导数的概念及应用分析：根据=4=4（ ）=4f（x0），利用条件求得结果解答：解：f（x0）=3，则 =4=4（ ）=4f（x0）=4（3）=12，故选：b点评：本题主要考查函数在某一点的导数的定义，属于基础题9极坐标方程cos=2sin2表示的曲线为（）a 一条射线和一个圆b 两条直线c 一条直线和一个圆d 一个圆考点：简单曲线的极坐标方程专题：计算题分析：将极坐标方程化为直角坐标方程，就可以得出结论解答：解：极坐标方程cos=2sin2可化为：cos=4sincoscos=0或=4sin或x2+y24y=0极坐标方程cos=2sin2表示的曲线为一条直线和一个圆故选c点评：研究极坐标问题，我们的解法是将极坐标方程化为直角坐标方程，再进行研究10平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）a b c d 考点：类比推理专题：规律型；空间位置关系与距离分析：由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质解答：解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 ，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到bf=，bo=ao=aoe，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到bo2=be2+oe2，把数据代入得到oe=a，棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4a=a，故选b点评：本题是基础题，考查类比推理及正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力11用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f（n）部分，则f（n）=1+”在证明第二步归纳递推的过程中，用到f（k+1）=f（k）+（）a k1b kc k+1d 考点：数学归纳法专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：写出当n=k时和n=k+1时的表达式，把写出的表达式相减，得到结论解答：解：当n=k（k2）时，有f（k）=1+那么当n=k+1时，f（k+1）=1+，从“k到k+1”左端需增加的代数式1+1=（k+2k）=k+1，在证明第二步归纳递推的过程中，用到f（k+1）=f（k）+（k+1），故选：c点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题12已知f（x）=x+x3，且x1+x20，x2+x30，x3+x10则（）a f（x1）+f（x2）+f（x3）0b f（x1）+f（x2）+f（x3）0c f（x1）+f（x2）+f（x3）=0d f（x1）+f（x2）+f（x3）符号不能确定考点：函数单调性的性质专题：函数的性质及应用分析：通过函数的表达式，判断函数的单调性，与奇偶性，根据任意的x1+x20，x2+x30，x1+x30，判断f（x1）+f（x2）+f（x3）的符号解答：解：函数f（x）=x+x3，（xr）是奇函数，而且f（x）=1+3x2，f（x）0；函数f（x）=x+x3是增函数，f（0）=0，所以对于任意的x1+x20，x2+x30，x3+x10，x1x2，x2x3，x3x1所以，f（x1）f（x2）=f（x2），f（x2）f（x3）=f（x3），f（x3）f（x1）=f（x1），即f（x1）+f（x2）0，f（x2）+f（x3）0，f（x3）+f（x10，所以f（x1）+f（x2）+f（x3）0故选：b点评：本题考查了不等式，函数的导数的应用，函数的单调性奇偶性，考查学生的逻辑推理能力，计算能力二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填写在答题纸上）13（2x）dx=1考点：定积分专题：计算题；数形结合分析：由差的积分等于积分的差得到（2x）dx=（）dx2xdx，然后由微积分基本定理求出（）dx，求出定积分2xdx，则答案可求解答：解：（2x）dx=（）dx2xdx令，则（x1）2+y2=1（y0），表示的是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆（）等于四分之一圆的面积，为又2xdx=（2x）dx=故答案为：点评：本题考查了定积分，考查了微积分基本定理，是基础的计算题14设z1=i4+i5+i6+i12，z2=i4i5i6i12，则z1，z2关系为z1=z2考点：虚数单位i及其性质专题：数系的扩充和复数分析：由虚数单位的性质分别计算可得结论解答：解：z1=i4+i5+i6+i12=1+i1i+1=1，z2=i4i5i6i12=1i（1）（i）1=（1）21=1z1=z2，故答案为：z1=z2点评：本题考查复数的代数运算，涉及虚数单位的性质，属基础题15已知f（x）=x3+3x2+a（a为常数），在3，3上有最小值3，那么在3，3上f（x）的最大值是57考点：利用导数求闭区间上函数的最值专题：计算题分析：要求f（x）的最大值，先求出函数的导函数，令其等于0求出驻点，在3，3上分三种情况讨论得函数的极值，然后比较取最大值即可解答：解析：f（x）=3x2+6x，令f（x）=0，得3x（x+2）=0x=0，x=2（i）当0x3，或3x2时，f（x）0，f（x）单调递增，（ii）当2x0时，f（x）单调递减，由最小值为3知，最小为f（3）或f（0）f（3）=（3）3+3（3）2+a=a，f（0）=a，则a=3，f（x）=x3+3x2+3，其最大值为f（2）或f（3），f（2）=（2）3+3（2）2+3=7，f（3）=33+332+3=57，则最大值为57故答案为：57点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的能力16函数g（x）=ax3+2（1a）x23ax在区间3，3内单调递减，则a的取值范围是（，1考点：函数单调性的性质专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：由g（x）=3ax2+4（1a）x3a，函数g（x）=ax3+2（1a）x23ax在区间3，3内单调递减，则g（x）=3ax2+4（1a）x3a0在区间3，3上恒成立，对a进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，可得满足条件的a的取值范围解答：解：函数g（x）=ax3+2（1a）x23ax在区间3，3内单调递减，g（x）=3ax2+4（1a）x3a0在区间3，3上恒成立，（1）a=0时，g（x）0，解得：x0，不满足要求；（2）a0，g（x）是一个开口向上的抛物线，要使g（x）0在区间3，3上恒成立，则解得：a1（舍去）； （3）a0，g（x）是一个开口向下的抛物线，且以直线x=为对称轴，此时由0可知，要使g（x）0在区间3，3上恒成立，则g（3）=12a+120解得：a1，a的取值范围是（，1故答案为：（，1点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题三解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17在平面直角坐标系中已知点a（3，0），p是圆x2+y2=1上一个动点，且aop的平分线交pa于q点，求q点的轨迹的极坐标方程考点：轨迹方程；简单曲线的极坐标方程专题：直线与圆分析：利用角平分线的性质和三角形的面积公式即可得出解答：解：以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设q（，），则p（1，2）sopq+soqa=soap，=化为点评：熟练掌握极坐标系的有关知识、角平分线的性质和三角形的面积公式是解题的关键18已知f（x）=dt，（x0）（1）求f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在1，3上的最值考点：微积分基本定理；利用导数求闭区间上函数的最值专题：计算题；导数的概念及应用分析：（1）由定积分计算公式，结合微积分基本定理算出再利用导数，研究f（x）的正负，即可得到函数f（x）的单调增区间是（2，+），单调递减区间是（0，2）（2）根据f（x）的单调性，分别求出f（1）、f（2）、f（3）的值并比较大小，可得f（x）在1，3上的最大值是f（3）=6，最小值是解答：解：依题意得，定义域是（0，+）（2分）（1）f（x）=x2+2x8，令f（x）0，得x2或x4； 令f（x）0，得4x2，且函数定义域是（0，+），函数f（x）的单调增区间是（2，+），单调递减区间是（0，2）（6分）（2）令f（x）=0，得x=2（x=4舍），由于函数在区间（0，2）上为减函数，区间（2，3）上为增函数，且，f（3）=6，f（x）在1，3上的最大值是f（3）=6，最小值是（10分）点评：本题利用定积分求一个函数的原函数，并研究原函数的单调性和闭区间上的最值着重考查了定积分计算公式、利用导数研究函数的单调性与最值等知识，属于中档题19已知f（x）=ax3+bx2+cx（a0）在x=1处取得极值，且f（1）=1（）求常数a，b，c的值；（）求f（x）的极值考点：函数模型的选择与应用专题：导数的综合应用分析：（）求出原函数的导函数，由函数x=1处取得极值，且f（1）=1，得到f（1）=f（1）=0，f（1）=1，代入x值后联立方程组求解a，b，c的值；（）由（）中求得的a，b，c得到函数f（x）的具体解析式，求出导函数后解得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，判断出导函数在各段内的符号，得到原函数的单调性，从而得到极值点，并求出极值解答：解：（）由f（x）=ax3+bx2+cx，得f（x）=3ax2+2bx+c，由已知有f（1）=f（1）=0，f（1）=1，即：，解得：；（）由（）知，当x1时，或x1时，f（x）0，当1x1时，f（x）0f（x）在（，1）和（1，+）内分别为增函数；在（1，1）内是减函数因此，当x=1时，函数f（x）取得极大值f（1）=1；当x=1时，函数f（x）取得极小值f（1）=1点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了利用导数求函数的极值，训练了方程组的解法，是中档题20已知数列an的前n项和sn=1nan（nn*）（1）计算a1，a2，a3，a4； （2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论考点：数学归纳法；数列的求和专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）由sn与an的关系，我们从n=1依次代入整数值，即可求出a1，a2，a3，a4；（2）由a1，a2，a3，a4的值与n的关系，我们归纳推理出数列的通项公式，观察到它们是与自然数集相关的性质，故可采用数学归纳法来证明解答：解：（1）计算得；（2）猜测：下面用数学归纳法证明当n=1时，猜想显然成立假设n=k（kn*）时，猜想成立，即那么，当n=k+1时，sk+1=1（k+1）ak+1，即sk+ak+1=1（k+1）ak+1又，所以，从而即n=k+1时，猜想也成立故由和，可知猜想成立点评：本题（2）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集n相关的性质，其步骤为：设p（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） p（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在p（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出p（k+1）成立，则p（n）对一切自然数n都成立21已知函数f（x）=ax3+cx+d（a0）在r上满足 f（x）=f（x），当x=1时f（x）取得极值2（1）求f（x）的单调区间和极大值；（2）证明：对任意x1，x2（1，1），不等式|f（x1）f（x2）|4恒成立考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值专题：函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用分析：（1）由f（x）=f（x）（xr）得d=0，求得f（x）的导数，由题意可得f（1）=0，f（1）=2，解得a=1，c=3，求得f（x）的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间，进而得到极大值；（2）求出f（x）在1，1的最大值m和最小值m，对任意的