概率(第三章例题).doc

例3.1 设随机变量X的概率函数如表3.1所示。表3.1X-1120.50.20.3按照分布函数的定义，X的分布函数F(x)在任意一个x处的值等于“不大于x的各种取值所对应的概率之和”，即它的图像见图3.1图3.1例3.2 设随机变量X在区间0,1上取值，这是一个连续随机变量。当时，概率P()与成正比。试求X的分布函数F(x)。解：当x0时：;当时：;当时，由F(1)=1，P(X0)=0及，得到k=1。因此，X的分布函数（图3.3）为图3.3例3.3 根据历史资料分析，某地连续两次强地震之间相隔的时间X（单位：年）是一个随机变量，它的分布函数为现在该地刚发生了一次强地震。试求（1） 今后3年内再次发生强地震的概率；（2） 今后3年至5年内再次发生强地震的概率。解：（1）所求概率为（2）所求概率为例3.4 设XN(0,1). 查附表四得到例3.5 设XN(1,4)，查附表四得到这里用到了例3.6 某人上班所需的时间（单位：分）XN(50,100). 已知上班时间为早晨8时，他每天7时出门。试求，（1） 某天迟到的概率；（2） 某周（以五天计）最多迟到一次的概率。解：（1）某天迟到的概率为（2）设一周内迟到次数为Y。离散型随机变量YB(5,0.16). 所求概率为例3.7 设(X,Y)服从区域G上的均匀分布，其中，试求一元二次方程无实数根的概率，并求出分布函数F(x,y)。解：由于G的面积为4，因此，（X,Y）的密度函数于是，所求概率（图3.7）为分布函数F(x,y)要用二元分段函数来表达：xOy平面被4条直线分成9部分，由定义3.4分别求得图3.7例3.8 设X与Y的联合密度函数为其中，区域G如图3.9所示，试求X,Y的边缘密度函数。图3.9解：当0x2时：因此，X的边缘密度函数为当0y1时，因此，Y的边缘密度函数为例3.9 在例3.8中，试求： 已知事件发生时X的条件密度函数； ，0x2.解 现在.在已知事件发生的条件下，X的值域为区间（1，2）（即直线在区域G内的线段在x轴上的投影），且当1x2时从而，所求条件密度函数为顺便得到，相应的条件分布函数为 当0x2时，在已知事件X=x发生的条件，Y的值域为区间，且当时.从而，所求条件密度函数为：当0x2时顺便得到，相应的条件密度函数为，当0x2时：由条件密度函数可以计算条件概率.在例3.9(1)中：由条件分布函数也可以计算条件概率，上述条件概率例3.10设随机变量XR(0,1).当已知X=x时，XR(0,x)，其中，0x1，试求(X,Y)的密度函数.解 由所给条件得到当0x1时，因此，由推得（注意分段函数的乘法）其中，区域例3.11 设电流（单位：A）X通过一个电阻值为3的电阻器，且XR(5,6).试求在该电阻器上消耗的功率的分布函数与密度函数解 由于X的值域，因此，的值域.Y是一个连续型随机变量。X的密度函数为当75y0:由于这里只要求出密度函数，因此，由高等数学中积分上限函数的求导公式，对直接求导得到例3.13 设随机变量X分布函数F(X)连续且单调增加。求证，随机变量Y=F(X)R(0,1).解 由于F(x)单调增加，因此反函数F-1(x)存在。Y=F(X)的值域当0y0时，其中，（图3.10）.图3.10 例3.14中的积分区域Dz从而，当z0时：.通过求导得到Z的密度函数为例3.15 设X与Y相互独立，XR(0,1),YE(1).试求Z=X+Y的密度函数。解 X与Y的联合密度函数为Z=X+Y的值域当z0时：其中，（图3.11）.由于z1时积分区域Dz的形状不同，因此，需要分别讨论.图3.11 例3.15中的积分区域Dz当0z1时：通过求导得到Z的密度函数：一般地，当X与Y的联合密度函数为f(x,y)时，Z=X+Y的分布函数为对花括号内的积分做变换u=x+y，得到于是从而，Z的密度函数为当X与Y相互独立时，上试成为这个公式称为卷积公式。把X与Y的地位对调，同样可得卷积公式的另一种形式例3.16 设X与Y是独立同分布的随机变量，它们都服从区间(0,)上的均匀分