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文档简介

外积和内积外积主要在于甄别线性相关上起作用；内积是甄别线性不相关上起作用，这两者结合可以做好多事。外积运算外积定义为反对称张量注意行列式求值时乘法是并矢，不能交换次序。内积运算内积定义有多种，最简单的是这里采用爱因斯坦记号（只要出现两个相同的指标，就表示将这个指标求和）。在正交归一坐标系中，因此。应用1 计算正交矢量的技巧外积后的张量是反对称的张量，因此对于某个矢量两次点乘为零。因此可以方便地定义正交矢量，比如给定矢量，可以将其与任意的反对称二阶张量点乘得到与正交的矢量。其中很容易证明用给定矢量构造与另一个矢量正交的矢量非常简单，就是用给定矢量构造与另一个矢量和都正交的矢量非常简单，就是这里：表示前面和后面的张量的进行两次点乘。同样地给定一组矢量，构造与之外所有矢量都正交的矢量就很容易了，这里的表示前后两个矢量进行n-1次点乘。应用2计算倒矢量给定一组矢量，我们可以定义的倒矢量：与点乘为1且与之外所有矢量都正交的矢量这里分子上表示前后两个矢量进行n-1次点乘，分母表示前后两个矢量进行n次点乘，分子上只有第j行没有进行点乘。因此有比如晶体中有3个基本晶格矢量，那么他们的倒格矢量为恒等矩阵可以表述为应用3：用倒矢量构造投影矩阵给定一组矢量，我们可以定义的倒矢量。可以方便地定义投影矩阵。向由构造的子空间投影的投影矩阵是如果实际空间是n维空间则恒等矩阵应用3：用倒矢量构造镜面发射操作等矩阵三维空间上的三个不相关矢量。过矢量a，将b反射为c将c反射为b的操作矩阵为过矢量a，将b变为-c将c变为b的操作矩阵为将a变为b, 将b变为c, 将c变为a的操作矩阵为那么P的三次操作变为恒等操作应用4：用倒矢量计算逆矩阵矩阵的行矢量分别为可以写为那么逆矩阵为矩阵的列矢量分别为可以写为那么逆矩阵为应用5：用倒矢量解方程方程组写为两边与倒矢量相乘，求和因为是单位矩阵于是方程组也可以写为矩阵列矢量组合形成的等式 两边点乘应用6：非正交归一坐标系中矢量和张量的表示给定坐标系的基本矢量，他们的倒矢量为，那么
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