高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 三角函数的积化和差与和差化积课件 新人教B版必修4(1).ppt

3 3三角函数的积化和差与和差化积 1 理解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程 2 能利用积化和差与和差化积公式进行简单的三角函数式的化简 求值和证明 1 2 1 2 答案 b 1 2 做一做1 2 sin37 5 cos7 5 1 2 1 2 名师点拨1 积化和差公式的推导用了 解方程组 的思想 和差化积公式的推导用了 换元 思想 2 不论是积化和差还是和差化积中的 和差 与 积 都是指三角函数间的关系 并不是指角的关系 1 2 答案 c 1 2 1 和差化积与积化和差公式的作用剖析 1 可从以下几方面来理解这两组公式 这些公式中的 和差 积 都是指三角函数间的关系 并不是指角的关系 只有系数绝对值相同的同名三角函数的和差 才能直接应用公式化为积的形式 如sin cos 就不能直接化积 应先化成同名函数后 再用公式化成积的形式 三角函数的和差化积 可以理解为代数中的因式分解 2 一般情况下 遇有正弦函数 余弦函数的平方 要先考虑灵活应用二倍角公式的变形进行降幂 然后应用和差化积 积化和差公式进行化简或计算 3 和差化积 积化和差公式的基本功能在于 当和积互化时 角度要重新组合 因此有可能产生特殊角 结构将变化 因此有可能产生互消项或互约因式 从而利于化简求值 正因为如此 和积互化 是三角恒等变形的一种基本方法 在解题过程中 当遇到三角函数的和时 就试着化为积的形式 当遇到三角函数的积时 就试着化为和差的形式 往往这样就能发现解决三角函数问题的思路 为了能够把三角函数化成积的形式 有时需要把某些数当作三角函数值 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 分析解答本题 先利用积化和差 和差化积公式对所求式子进行变形 再利用特殊角的三角函数值或所给条件求解 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思通过和差化积与积化和差公式的运用 一是可产生特殊角 二是虽不是特殊角 但可正 负相消或分子 分母约分 从而达到求值的目的 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练1 求下列各式的值 2 cos146 cos94 2cos47 cos73 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例2 化简 4sin 60 sin sin 60 分析观察 60 与 60 的和为特殊角 所以可用积化和差公式化简 解 原式 2sin cos120 cos 2 sin 2sin cos2 sin sin3 sin sin3 反思此题直接考查公式的应用 对于这种题目 解题公式的选取是关键 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例3 在 abc中 求证 sin2a sin2b sin2c 2sinasinbcosc 分析先用降幂公式 再利用和差化积公式 cos2c cos a b cos a b cosc cos a b cos a b 2sinasinbcosc 右边 故原式成立 反思在三角形中证明恒等式时 一方面要充分利用内角和为 这一条件 另一方面要注意降幂公式与和差化积 积化和差公式的合理运用 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练3 求证 sin2 sin2 sin sin 证明左边 sin2 sin2 sin sin sin sin sin sin 右边 所以等式成立 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 分析将cos2a cos2b利用降幂公式与积化和差 和差化积公式化为正弦形式或余弦形式 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思求一个三角函数式的单调性 最值 周期或值域等 一般要先将函数式化简为类似asin x k的形式 再进行求解 对于本题 不要错误地求解为 cos2a和cos2b的最大值均为1 最小值都是0 所以原式的最大值为2 最小值为0 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 答案 c 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 错解 根据和差化积公式的结构形式 选项d中应该有负号 故选d 错因分析忽视了和差化积公式的内在关系 只看到了表面现象 没注意到角的顺序也有变化 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 答案 c 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练5 求值 sin55 sin65 sin5 解 sin55 sin65 sin5 sin5 2cos60 sin 5 sin5 sin5 sin5 0 1 2 3 4 5 6 1 有下列关系式 sin5 sin3 2sin8 cos2 cos3 cos5 2sin4 sin sin3 sin5 cos4 cos sin5 cos3 2sin4 cos sinxsiny cos x y cos x y 其中正确等式的个数是 a 0b 1c 2d 3解析 均不正确 正确 答案 b 1 2 3 4 5 6 2 cos40 cos80 cos160 的值等于 c cos20 d 2cos20 解析 原式 2cos60 cos 20 c