高等数学观点下高考数学创新试题透视.doc

高等数学观点下高考数学创新试题透视 陕西汉中405学校 侯有岐 723312近几年，全国各地的高考试题中都涉及一些创新题目，其立意新颖，表述脱俗，背景公平，设问独特.下面笔者从三个方面探讨以高等数学为背景的高观点下高考数学创新试题.高观点题指与高等数学相联系的问题，这样的问题或以高等数学知识为背景，或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法.高观点题的起点高，但落点低，也就是所谓的“高题低做”，即试题的设计来源于高等数学，但解决的方法是中学所学的初等数学知识，所以并没有将高等数学引进高中数学的必要.考生只要坦然面对，较易突破，不必惊慌.一、改编高等数学题 把高等数学中原来问题的条件或结论加以改造（强化、弱化或等价转化），变换形式，改变提法，从而做初等化处理，使之可用初等数学方法解决.例1（2006年高考四川卷）非空集合G关于运算满足：（1）对任意（2），则称G关于运算为“融洽集”.现给出下列集合和运算：，为整数的加法.，为整数的乘法.，为平面向量的加法.，为多项式的加法.，为复数的乘法.其中G关于运算为“融洽集”的是 （写出所有“融洽集”的序号）.解析：本题是以高等数学群论为背景而编拟的一道判断填空题，考查考生在新背景下对新知识的接受理解能力，抽象概括能力，分析、解决问题的能力，是一道颇有新意的试题.根据“融洽集”的定义，只有、才符合.二、从高等数学的定理出发来改编（降维）把高等数学中一般性的定理等，用特殊化方法转化成初等数学问题，揭示了问题的本质及变化规律.例2（2006年高考四川卷）已知函数导函数是.对任意两个不相等的正数，证明：（1）当时，；（2）当时，.解析：本题是以高等数学中函数的凸性及琴生（Jensen）不等式为背景而编拟的一道综合题，考查考生在新背景下分析、解决问题的能力.根据导数的基本性质和应用，函数的性质和均值不等式等初等数学知识和方法综合分析、推理论证即可获解.证明；（1） ， ， . . 由得. 即 （2）略. 三、引入有高等数学背景的新概念 命题中引进了中学数学中未曾见过的一些“新概念”，这些新概念有着高等数学的背景，而且能够为考生感性上所理解和接受，对综合考查学生进一步深造的潜能有着不可低估的作用. 例3 (2007年高考福建卷)中学数学中存在许多关系,比如“相等关系”，“平行关系”等等.如果集合A中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意 （2）对称性：对于（3）传递性：对于 则称“”是集合A的一个等价关系.例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）. 请你再列出三个等价关系: . 解析：这是一道信息给予题，首先应该仔细读题，将三个性质看明白，再联想所学知识作答.图形的全等，图形的相似，非零向量的共线，命题的充要条件等（答案不唯一）.高考命题队伍中高校教师占有较大的比例，这样的命题人员结构，为高等数学的思想和方法，经过改造后进入高考数学试卷成为高考数学命题创新的一条重要途径，从而将高等数学问题下放，用初等方法解决高等数学与初等数学的衔接问题，成为近年高考中的一个热点.同时这也有利于考查考生继续学习的数学潜质和创新能力，有利于高校选拔人才.总之，我们应努力探索高考命题规律，关