高等数学理论体系.doc

高等数学体系第一模块 函数第一章 集合第一节 集合的性质1.无序性、互异性、确定性 2.表示方法：N=0，1，2， N或N+=1,2,3, Z=0，1，2， Q=所有整数与分数 R=数轴上的点 C=直角坐标系上的点 虚数=a+bi中0 纯虚数=虚轴（即y轴）上的点（除原点外）3.表示方式：列举法、描述法4.运算：并集、交集、全集、补集5.关系：元素与集合：或（不属于） 集合与集合：包含或不包含子集2n个（，本身）、相等、真子集【2n-1 个】（，不包含本身）如：A真包含于B，XB,且XA第二章 函数（区别）圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）多值函数第一节 函数的概念一、定义： A,B为非空数集，集合A中任意一个数x,在集合B都有惟一确定的数f(x)与它对应,称f:AB是函数。【注】：区别：函数是映射的特殊情况。映射：A,B为非空集合f:AB（A中任意元素，B中惟一与它对应）一对一，多对一，A中元素无剩余第二节函数的定义域与值域定义域:x的取值范围 值域:y的取值范围注意：分式（分母0） 根式（偶次方根被开方数0） 真数0 底数0且1 负（零）指数幂0第三节函数的表示方法解析法（表示法）、图像法、列表法第四节分段函数x的不同取值范围，有不同对应法则第五节函数的基本性质一、单调性增函数：a.设函数f(x)的定义域为D，区间ID.如果对于区间I上任意两X1及X2，当X1X2时，恒有f(X1)f(X2) b.求该函数的导数：f”(x)0 c.在分段函数里 减函数：设函数f(x)的定义域为D，区间ID.如果对于区间I上任意两X1及X2，当X1f(X2) b.求该函数的导数：f”(x)0 c.在分段函数里 奇偶性（对称性）运用求定积分：偶函数：a.（前提）设函数f(x)的定义域D关于原点对称。若任意xD，恒有f(-X)=f(X)变形 b.性质：.两个偶函数的和是偶函数 . 两个偶函数的乘积是偶函数 .偶函数与奇函数的乘积是奇函数 c.其图像关于y轴对称 奇函数：a.（前提）设函数f(x)的定义域D关于原点对称。若任意xD，恒有f(-X)=-f(X)变形 b.性质：.两个奇函数的和是奇函数 . 两个奇函数的乘积是偶函数 c.若在R上为奇函数，则f(0)=0 d.其图像关于原点对称 周期性：(三角函数、余割函数、正割函数、余切函数)：a.设函数f(x)的定义域为D，如果存在常数T0，使得对一切xD，有(XT)D，且f(XT)=f(X) b.设函数f(x)是周期为T的周期函数，则函数f(ax+b)的周期为T/a 有界性（对于定义域中某个范围内而言的）：设函数f(x)的定义域为D，数集X包含于D，若存在一个正数M，使得对一切xX，恒有|f(x)|M d.运算与性质：定理1 最值：a.最小值：.定义：对于在区间I上有定义的函数f(x)，若存在x0I，使得对于任一xI都有f(x)f(x0) .求导数：先求极值，在定义域内端点值比较 .分段函数 b.最小值： 对于在区间I上有定义的函数f(x)，若存在I，使得对于任一xI都有f(x)f(x0) .求导数：先求极值，在定义 .分段函数 集合 映射 圆锥曲线 复数、虚数、实数数系函数方程、数列、不等式基本初等函数（一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数）、幂指函数、初等函数（由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合）、复合函数、多值函数（圆锥曲线）、隐函数（由方程F（x,y）=0来确定）第三章 初等函数第三节 指数函数1.运算性质：根式：an根号n=a,n为奇数/|a|,n为偶数 负数没有偶次方根 0根号n=0 am/n =n根号am （a0,m,nN* 且n1） 0的正分数指数幂为0，0的零的指数幂为1，0的负指数幂没有意义 .aman=am+n .am/an=am-n .(am)n=amn .(ab)m=ambm .(a/b)m=am/bm .(a+b)2=a2+2ab+b2 .(a-b)2=a2-2ab+b2 .(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 .(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 .a2-b2=(a+b)(a-b) .a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) .a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) XIII.an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+bn-1) 指数函数 y=ax(a0且a1)（0a1)xR y(0,+)过定点(0,1)在R上是减函数在R上是增函数四、对数函数1、运算：常用对数：以10为底，记为lgN 自然对数：以e=2.71828为底，记为lnN 负数和零没有对数 loga1=0 logaa=1 logaab=b alogaN=N 重点：loga(MN)=logaM+logaN loga(M/N)=logaM-logaN logaMn=nlogaM (前提：a0,且a1,M0,N0才适用)换底公式：logab=(logcb)/(logca)对数函数 y=logax(a0且a1)（0a1)x(0,+) yR过定点（1，0）在x(0,+)上是减函数在x(0,+)上是增函数五、幂函数y=kx(k=1,为常数)探究的定义域，值域，奇偶性，单调性，公共点（见世纪金榜P2324）六、幂指函数：函数f(x)=u(x)v(x)(u(x)0)既不是幂函数，也不是指数函数七、函数与方程方程是函数图像上的某一点（如一次二元方程、二元一次方程）零点（即令f(x)=0时，x的取值）概念：如果函数y=f(x)在区间a,b上是连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，函数在区间(a,b)内有零点。求零点的程序框图：（理解记忆！）八、三角函数（周期函数）f(x+T)=f(x)(T为常数)任意角：正角：按逆时针旋转 负角：按顺时针旋转 零角：一条射线没有旋转 所有与角终点相同的角构成集合s=|=+360。k,kZ弧度制：角的弧度数的绝对值为|=l/r(l是圆心角所对弧长) 1rad=(180/)。57.30。 求扇形公式：l=R s=1/2R2 s=（1/2）lR 十一、极限（研究变量的变化趋势的基本工具）连续、导数、定积分、无穷级数极限概念的引入：刘利用圆内接正多边形来推算圆的面积的方法割圆术数列极限（函数极限的特殊情况自变量为正整数n的函数an=f(n)）数列:按一定次序排列的无穷多个数x1,x2,x3,xn, 求通项公式的方法：遇到含sn与n的关系式：an=sn-sn-1(n2)或s1(n=1) 遇到递推公式：an与an-1(即前一项与后一项)的关系式a. 化归法：递推关系为an+1=qan+b转化为an+1+a=q(an+a)看成等比数列b. 累加法：形式：an-an-1=f(n)c. 累乘法：形式：an/an-1=f(n)d. 先猜想通项公式，然后用数学归纳法证明等差数列及其求和 通项公式：an=am+(m-n)d(m为常数)关于n的一次函数 性质：am+an=ap+aq(m+n=p+q) 2an-1=an+an-2开始定义f(x)输入,a,bC=(a+b)/2f(a)f(b)N时的一切xn，不等式|xn-a|N1时，恒有|xn-a|N2时，恒有|xn-b|N时有|a-b|=|(xn-b)-(xn-a)|xn-b|+|xn-a|N时，恒有|xn-a|N时，xna-1/2,a+1/2,区间长度为1.而xn无休止地反复取1、-1两个数，不可能同时位于长度为1的区间内，矛盾。因此，该数列是发散的。收敛数列的保号性：定理3 若lim(n)xn=a,且a0(或aN时，恒有xn0(或xn0的情形） 由定义，对=(a/2)0,存在正整数N，当nN时，有|xn-a|a-a/2=a/20推论2 若数列xn从某一项起有xn0(或xn0),且lim(n)xn=a,则a0(或a0)证明 证数列xn从第N1项起有xn0情形.（反证法）若lim(n)xn=a0，当nN2时，有xnN时，有xnX的一切x，总有|f(x)-A|,则称常数a为函数f(x)当x时的极限，记作lim(x)=A或A(x).定理1 lim(x)f(x)=A的充要条件是lim(x+)f(x)=lim(x-)f(x)=A二、自变量趋向有限值时函数的极限：定义2 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义.若对任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得对于满足不等式0|x-x0|的一切x，恒有|f(x)-A|0和0，使得当0|x-x0|0(或A0，使得当0|x-x0|0(或f(x)0，存在0,使得当0|x-x0|时，恒有|f(x)-A|0，存在N0，使当nN时，恒有0|xn-x0|.从而有|f(xn)-A|,故lim(n)f(xn)=A定理4 函数极限存在的充要条件是它的任何子序列的极限都存在且相等.【例】 证明lim(x0)sin(1/x)不存在.证明 取xn=1/(n), xn=1/(4n+1)/2,则无穷小与无穷大一、无穷小：定义1 极限为零的变量（函数）称为无穷小.【注】：无穷小本质上是一个变量（函数）：在某过程（如xx0或x）中，该变量的绝对值能小于任意给定的正数.无穷小不能与很小的数（如千分之一）混淆.但零可以作为无穷小的唯一常数.无穷小是相对于x的某个变化过程而言的.例如，当x时，1/x是无穷小；当x2时，1/x不是无穷小.定理1 lim(xx0)f(x)=A的充分必要条件是f(x)=A+,(是当xx0时的无穷小)二、无穷小的运算性质：定理2 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小.三、无穷大：定义2 如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数（或正数X），使得满足不等式0|x-x0|X)的一切x所对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)|M,则称函数f(x)当xx0(或x)时为无穷小，记作lim(xx0)f(x)=(或lim(x)f(x)=)【注】：（整体趋势） 无穷大是无界函数，反之不一定成立。例如，y=xsinx,当x=k时，y=0四、无穷小与无穷大的关系：定理4 在自变量的同一变化过程中，无穷大的倒数为无穷小，恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证明 设lim(xx0)f(x)=,则对任意给定的0，使得当0|x-x0|1/,即|1/f(x)|0，存在0，当0|x-x0|1/M,即|1/f(x)|0，当xU0(x0,0)时，有g(x)u0,则lim(xx0)fg(x)=lim(uu0)f(u)=A. 若lim(xx0)(x)=a,u=(x)，函数f(u)在点a处连续，则有lim(xx0)f(x)=f(a)=flim(xx0)(x).极限存在准则 两个重要极限一、夹逼准则：准则 如果数列xn,yn及zn满足下列条件：ynxnzn(n=1,2,3,),lim(n)yn=a,lim(n)zn=a,那么数列xn的极限存在，且lim(n)xn=a.准则 如果 当0|x-x0|M)时，有g(x)f(x)h(x)；lim(xx0)(x)g(x)=A, lim(xx0)(x)g(x)=A.那么，极限lim(xx0)(x)f(x)存在,且等于A.二、单调有界准则：定义1 如果数列xn满足条件x1x2xnxn+1,则称数列xn是单调增加的；如果数列xn满足条件x1x2xnxn+1,准则 单调有界数列必有极限.三、两个重要极限：1.lim(x0)sinx/x=1证明 由于sinx/x是偶函数，故只需讨论x0+的情况.作单位圆，设AOB=x(0x/2),点A处的切线与OB的延长线相交于D，因BCOA，故sinx=CB, x=弧AB， tanx=AD,易见，三角形AOB的面积扇形AOB的面积三角形AOD的面积，所以，(1/2)sinx(1/2)x(1/2)tanx, 即sinxxtanx, 整理得cosxsinx/x0），则称是比的k阶无穷小.二、等价无穷小： sinxx tanxx arcsinxx arctanx x 1-cosx (1/2)x2 ln(1+x)x ex-1x ax-1 xlna(a0) (1+x)-1 x(0且为常数)定理1 设，是同一过程中的无穷小，且，lim，/，存在，则lim/=lim，/，.定理2 与是等价无穷小的充分必要条件是=+0（）.函数的连续与间断一、函数的连续性：定义1 设函数y=f(x)在点x0的某一领域内有定义.当自变量x处x（即x在这个领域内从x0变到x0+x）时，相应地，函数y=f(x)从f(x0)变到f(x0+x),则称y= f(x0+x)- f(x0)为函数y=f(x)的对应增量.定义2 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义。如果当自变量在点x0的增取得增量量x趋于零时，函数对应的增量y也趋于零，即lim(x0)y=0或lim(x0)f(x0+x)-f(x0)=0 定义3 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义。如果函数f(x)当xx0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值，即lim(xx0)f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续. 二、左连续与右连续：定理1 函数f(x)在点x0处连续的充分必要条件是函数f(x)在点x0处既左连续又右连续.三、连续函数与连续区间： 如果函数在开区间（a,b）内连续，并且在左端点x=a处右连续，在右端点x=a处左连续，则称函数f(x)在闭区间a,b上连续.【注】：连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 四、函数的间断点：定义4 如果函数f(x)在x0的某一空心领域内有定义，且f(x)在点x0处不连续，则称f(x)在点x0处间断，称点x0为f(x)的间断点.第一类间断点：设点x0为f(x)的间断点，但左极限f(x0-0)及右极限f(x0+0)都存在 .跳跃间断点：f(x0-0)f(x0+0) .可去间断点：lim(xx0)f(x)=Af(x0)或f(x)在点x0处无定义 第二类间断点:f(x)在点处的左、右极限至少有一个不存在 .无穷间断点：lim(xx0)f(x)=振荡间断点：在xx0的过程中，f(x)无限振荡，极限不存在.连续函数的运算与性质一、连续函数的算术运算：定理1 若函数f(x),g(x)在点x0处连续，则Cf(x)（C为常数）,f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)(g(x)0)在点处也连续. 定理2 若lim(xx0)(x)=a,u=(x)，函数f(u)在点a处连续，则有lim(xx0)f(x)=f(a)=flim(xx0)(x).定理3 设函数u=(x)在点x0处连续，且(x0)=u0，而函数y=f(u)在点u=u0处连续，则复合函数f(x)在点处也连续 定理4 基本初等函数在其定义域内是连续的 定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 定理6（最大最小值定理） 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值 定理7（有界性定理） 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 定理8（零点定理） 设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)f(b)0），则在区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少存在一点（ab）,使f()=0 定理9（介值定理） 设函数在闭区间上连续，且在该区间的端点有不同的函数值f(a)=A及f(b)=B,则对于A与B之间的任意一个数C,在开区间内(a,b)至少一点，使得f()=C(a 0时开口向上 a 0时函数图像与y轴正方向相交 c0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2b+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2b）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式： S=ab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭球物体 体积计算公式椭圆 的 长半径*短半径*高 （3）三角函数和差角公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB ；sin(A-B)=sinAcosB - sinBcosA ； cos(A+B)=cosAcosB - sinAsinB ；cos(A-B)=cosAcosB + sinAsinB ； tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)；tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ； cot(A+B)=(cosAcotB-1)/(cosB+cotA) ；cot(A-B)=(cosAcotB+1)/(cosB-cotA) ； 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ；cot2A=(cot2A-1)/2cota ； cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a ； sin2A=2sinAcosA=2/(tanA+cotA)； 另：sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 ； cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 ； tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0； 四倍角公式： sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA2-1) cos4A=1+(-8*cosA2+8*cosA4) tan4A=(4*tanA-4*tanA3)/(1-6*tanA2+tanA4) 五倍角公式： sin5A=16sinA5-20sinA3+5sinA cos5A=16cosA5-20cosA3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA2+tanA4)/(1-10*tanA2+5*tanA4) 六倍角公式： sin6A=2*(cosA*sinA)*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA2) cos6A=(-1+2*cosA2)*(16*cosA4-16*cosA2+1) tan6A=(-6*tanA+20*tanA3-6*tanA5)/(-1+15*tanA2-15*tanA4+tanA6) 七倍角公式： sin7A=-(sinA*(56*sinA2-112*sinA4-7+64*sinA6) cos7A=(cosA*(56*cosA2-112*cosA4+64*cosA6-7) tan7A=tanA*(-7+35*tanA2-21*tanA4+tanA6)/(-1+21*tanA2-35*tanA4+7*tanA6) 八倍角公式： sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA2-1)*(-8*sinA2+8*sinA4+1) cos8A=1+(160*cosA4-256*cosA6+128*cosA8-32*cosA2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA2-7*tanA4+tanA6)/(1-28*tanA2+70*tanA4-28*tanA6+tanA8) 九倍角公式： sin9A=(sinA*(-3+4*sinA2)*(64*sinA6-96*sinA4+36*sinA2-3) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA2)*(64*cosA6-96*cosA4+36*cosA2-3) tan9A=tanA*(9-84*tanA2+126*tanA4-36*tanA6+tanA8)/(1-36*tanA2+126*tanA4-84*tanA6+9*tanA8) 十倍角公式： sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA2+2*sinA-1)*(4*sinA2-2*sinA-1)*(-20*sinA2+5+16*sinA4) cos10A=(-1+2*cosA2)*(256*cosA8-512*cosA6+304*cosA4-48*cosA2+1) tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA2+126*tanA4-60*tanA6+5*tanA8)/(-1+45*tanA2-210*tanA4+210*tanA6-45*tanA8+tanA10) 万能公式： sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2) 半角公式 sin(A/2)=(1-cosA)/2) sin(A/2)=-(1-cosA)/2) cos(A/2)=(1+cosA)/2) cos(A/2)=-(1+cosA)/2) tan(A/2)=(1-cosA)/(1+cosA) tan(A/2)=-(1-cosA)/(1+cosA) cot(A/2)=(1+cosA)/(1-cosA) cot(A/2)=-(1+cosA)/(1-cosA) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)； 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ； 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) ；-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) ； sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2 ；cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2) ； tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB； tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ； cotA+cotB=sin(A+B)/sinAsinB； -cotA+cotB=sin(A+B)/sinAsinB ； 降幂公式 sin²(A)=(1-cos(2A)/2=versin(2A)/2； cos²()=(1+cos(2A)/2=covers(2A)/2； tan²()=(1-cos(2A)/(1+cos(2A)； 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 （4）反三角函数arcsin（-x）=-arcsinx arccos（-x）=-arccosx arctan（-x）=-arctanx arccot（-x）=-arccotx （5）数列等差数列通项公式：ana1（n-1）d 等差数列前n项和：Sn=n(A1+An)/2 =nA1+n(n-1)d/2 等比数列通项公式：an=a1*q（n1）； 等比数列前n项和：Sn=a1(1-qn)/(1-q) =(a1-a1qn)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*qn （n1） 某些数列前n项和： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+n3=(n(n+1)/2)2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 （6）乘法与因式分解因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a22ab+b2=(ab)2 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a33a2b+3ab2b3=(ab)3 乘法公式 把上面的因式分解公式左边和右边颠倒过来就是乘法公式 (7)三角不等式-|a|a|a| |a|b-bab |a|b-bab |a|-|b|a+b|a|+|b| |a|b-bab |a|-|b|a-b|a|+|b| |z1|-|z2|-.-|zn|z1+z2+.+zn|z1|+|z2|+.+|zn| |z1|-|z2|-.-|zn|z1-z2-.-zn|z1|+|z2|+.+|zn| |z1|-|z2|-.-|zn|z1z2.zn|z1|+|z2|+.+|zn| (8)一元二次方程一元二次方程的解wx1= -b+(b2-4ac)/2a x2= -b-(b2-4ac)/2a 根与系数的关系(韦达定理) x1+x2=-b/a ; x1*x2=c/a 判别式= b2-4ac=0 则方d程有相等的个实根 0 则方程有两个不相等的两实根 0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c *h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h 正棱台侧面积 S=1/2(c+c)h 圆台侧面积 S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r 0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=SL 注：其中,S是直截面面积， L是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=*r2h 图形周长 面积 体积公式 长方形的周长=（长+宽）2 c =2a+b 正方形的周长=边长4 c=4a 长方形的面积=长宽 s=ab 正方形的面积=边长边长 s=a2 三角形的面积=底高2 已知三角形底a，高h，则Sah/2 已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S p(p - a)(p - b)(p - c) （海伦秦九韶公式） （p= (a+b+c)/2） 和：（a+b+c)*(a+b-c)*1/4 已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则SabsinC/2 设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r 则三角形面积=(a+b+c)r/2 设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r 则三角形面积=abc/4r 已知三角形三边a、b、c,则S 1/4c2a2-(c2+a2-b2)/2)2 (“三斜求积” 南宋秦九韶） 注：秦九韶公式与海伦公式等价 | a b 1 | S=1/2 * | c d 1 | | e f 1 | 【| a b 1| | c d 1| 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里| e f 1 | ABC选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值， 如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！】 秦九韶三角形中线面积公式: S=(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)/3 其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长. 平行四边形的面积=底高 梯形的面积=（上底+下底）高2 直径 圆的周长=d= 2r 圆的面积= r2 长方体的表面积= （长宽+宽高高长）2 s=2ab+bc+ca 长方体的体积 =长宽高 v=abc 正方体的表面积=棱长棱长6 s=6a2 正方体的体积=棱长棱长棱长 v=a3 圆