高三数学二轮复习 第二篇 数学思想 三 数形结合思想课件 理.ppt

三 数形结合思想 思想解读 总纲目录 应用一利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题例1设函数f x 2x 1 函数g x f f x loga x 1 a 0 a 1 在 0 1 上有3个不同的零点 则实数a的取值范围为 a b 1 2 c d 2 答案c 解析因为f x 2x 1 所以f f x 2 2x 1 1 四个选项中都有a 1 分别画出y f f x 与y loga x 1 的图象 如图 因为y loga x 1 的图象是由y logax的图象向左平移一个单位得到的 且过点 0 0 当x 1时 y f f 1 1 由loga 1 1 1得a 2 此时 y f f x 与y loga x 1 的图象有4个交点 当x 时 y f 1 由loga 1得a 此时 y f f x 与y loga x 1 的图象有2个交点 综上所述 a的取值范围为 技法点评 用图象法讨论方程 特别是含参数的指数 对数 根式 三角等复杂方程 的解 或函数零点 的个数是一种重要的方法 其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式 不熟悉时 需要作适当变形转化为两个熟悉的函数 然后在同一坐标系中作出这两个函数的图象 图象的交点个数即为方程解 或函数零点 的个数 跟踪集训1 已知直线 1 m x 3m 1 y 4 0所过定点恰好落在函数f x 的图象上 若函数h x f x mx 2有三个不同的零点 则实数m的取值范围是 a b c d 1 答案b由 1 m x 3m 1 y 4 0得x y 4 m x 3y 0 由可得直线过定点 3 1 loga3 1 a 3 令f x mx 2 0 得f x mx 2 在同一坐标系中作出y1 f x 与y2 mx 2的图象 易得当 m 1时满足题意 故选b 2 函数f x 3 x x2 4的零点个数是 答案2 解析求函数f x 3 x x2 4的零点个数 即为求函数g x x2 4与h x 的图象的交点个数 在同一直角坐标系中 函数g x h x 的图象如图所示 由图可知 h x 与g x 的图象有2个交点 故函数f x 的零点个数为2 应用二利用数形结合思想求解不等式或参数范围例2设f x g x 分别是定义在r上的奇函数和偶函数 当x0 且g 3 0 则不等式f x g x 0的解集是 答案 3 0 3 解析设f x f x g x 因为f x g x 分别是定义在r上的奇函数和偶函数 所以f x f x g x f x g x f x 即f x 在r上为奇函数 当x0 所以当x0时 f x 也是增函数 且f 3 f 3 g 3 0 f 3 则f x 的大致图象如图所示 由图可知f x 0的解集是 3 0 3 技法点评 求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象 根据不等式中量的特点 选择适当的两个 或多个 函数 把两个函数图象的上 下位置关系转化为数量关系来解决 往往可以避免烦琐的运算 获得简捷的解答 跟踪集训1 若不等式 x 2a x a 1对x r恒成立 则a的取值范围是 答案 解析作出y x 2a 和y x a 1的简图 依题意可知2a 2 2a 故a 2 若不等式 k x 2 的解集为区间 a b 且b a 2 则k 答案 解析y k x 2 过定点 2 显然当k0 分别作出直线y k x 2 与半圆y 如图 由题意知直线在半圆的上方 由b a 2 可知b 3 a 1 所以直线y k x 2 过点 1 2 则k 应用三利用数形结合思想解决解析几何问题例3设双曲线c 1 a 0 b 0 的左 右顶点分别为a1 a2 左 右焦点分别为f1 f2 以f1f2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为p 若以a1a2为直径的圆与直线pf2相切 则双曲线c的离心率为 a b c 2d 答案d 解析如图所示 设以a1a2为直径的圆与直线pf2的切点为q 连接oq 则oq pf2 又pf1 pf2 o为f1f2的中点 所以 pf1 2 oq 2a 又 pf2 pf1 2a 所以 pf2 4a 在rt f1pf2中 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 4a2 16a2 20a2 4c2 e 技法点评 根据几何意义利用数形结合法解决问题需要熟悉常见的代数形式 主要有 比值 可考虑直线的斜率 二元一次式 可考虑直线的截距 含根式的分式 可考虑点到直线的距离 根式 可考虑两点间的距离 跟踪集训已知抛物线的方程为x2 8y f是其焦点 点a 2 4 在此抛物线上求一点p 使 apf的周长最小 此时点p的坐标为 答案 解析因为 2 2 8 4 所以点a 2 4 在抛物线x2 8y的内部 如图 设抛物线的准线为l 过点p作pq l于点q 过点a作ab l于点b 连接aq 则 apf的周长为 pf pa af pq pa af aq af ab