第九章 重积分 教材.doc

第九章 重积分若将定积分中和式极限的概念推广到定义在区域上多元函数的情形，便得到重积分的概念。本章将介绍二重积分的概念、计算方法以及它在几何、物理方面的一些应用.第一节 二重积分的概念和性质一、 二重积分的概念1、引例定积分的概念，在几何上源自平面曲边梯形面积的计算，二重积分的概念的几何背景是曲顶柱体的体积的计算.引例1 曲顶柱体的体积设有一立体，它的底是平面上的闭区域，侧面是以的边界曲线为准线、母线平行于轴的柱面，顶是曲面，这种几何体称为区域上的曲顶柱体，现在我们来讨论如何计算其体积.对于平顶柱体，其高是不变的，它的体积可用公式：体积=高底面积而对如图所示的曲顶柱体，当点在区域上变动时，高度是一个变量，因此它的体积不能直接用上式公式来计算. 不妨参照定积分中求曲边梯形面积的方法，先对底面区域划分，然后近似代替并求和，最后求极限便得曲顶柱体体积. 具体做法如下： 图9-1（1）分割将区域任意分成个小闭区域：，- ，并以表示第个小闭区域及其面积，分别以每个小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于轴的柱面，这些柱面将原来的曲顶柱体分成个小曲顶柱体.（2）取近似由于在上连续，当时，变化很小，小曲顶柱体可近似看作平顶柱体.在每个小曲顶柱体的底上任取一点，用以为高，为底的平顶柱体的体积近似代替第个小曲顶柱体的体积，即 （3）求和将这个小平顶柱体的体积相加，就得到原曲顶柱体体积的近似值，即 （4）取极限将区域无限细分，令个小闭区域的直径的最大值（记作）趋向于零.即 其中，表示小闭区域的直径，也就是闭区域上任意两点间距离的最大值.则上述和式极限值便为曲顶柱体体积，即： 引例2 平面薄片的质量设一平面薄片占有平面上的闭区域，它的面密度（单位面积上的质量）为上的连续函数，且, 求该平面薄片的质量.我们知道,如果薄片是均匀的,即面密度是常数,那么薄片的质量可以用公式 质量=面密度面积来计算.现在薄片的面密度在上是变量,所以薄片的质量就不能直接采用上面的公式来计算.引例1中用来处理曲顶柱体体积问题的方法完全适用于此问题。即可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”这四个步骤求得.步骤如下：（1）把薄片(即区域)分成个小块：, ,，并以表示第个小块的面积。（2）当小块的直径很小时，由于在上连续,在任取一点,则可看作第个小块的质量的近似值(如图).（3）再求和、取极限,便得到薄片的质量 图9-2上面两个问题的实际背景不同,但所求量都归结为同一形式和的极限.在物理、力学、几何和工程技术中许多量都可以采用上述解决问题的方法，最终归结为这种和式的极限.抛开这些问题的实际背景,抽象出它们共同的数量特征,便得出下述二重积分的定义.2、 二重积分的定义定义 设二元函数为定义在有界闭区域上的有界函数，将区域任意分成个小闭区域, ,，其中表示第个小闭区域及其面积，在每个上任取一点，作积，并作和，如果当各个小闭区域的直径的最大值趋向于零时，此和式的极限总存在，则称此极限值为函数在闭区域上的二重积分，记作，即 其中称为被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，称为积分区域，称为二重积分号，称为积分和.应当指出，闭区域上的连续函数一定是可积的，即上式右端的和的极限一定存在，且这个极限与区域的分割方法以及点的取法无关，只与有关。在直角坐标系中，可用平行于轴和轴的直线网格去分割区域，这时除了包含边界点的一些小闭区域外,其余的小闭区域都是矩形小闭区域.设矩形小闭区域的边长为和，则.故在直角坐标系中面积元素可记作，从而二重积分记作 其中称为直角坐标系中的面积元素.在今后的讨论中，总假设在有界闭区域上连续.故二重积分总存在。引例1中曲顶柱体的体积就可以表示为区域上的二重积分，即 引例2中面密度不均匀的薄片的质量可以表示为区域上的二重积分，即 3二重积分的几何意义(1) 若在D上f(x,y)0，则表示以区域D为底，以f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积. (2) 若在D上f(x,y)0，二重积分的值是负的，其值为该曲顶柱体体积的相反数. (3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则 表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在平面之上的曲顶柱体体积减去平面之下的曲顶柱体的体积).例1 计算二重积分，其中解 二重积分的几何意义表示以平面为顶，以长为2，宽为1的矩形为底的长方体的体积，故二、二重积分的性质二重积分与一元函数的定积分具有相应的性质，下面论及的函数均假定在区域上可积。性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即 （为常数）性质2 性质3 如果闭区域被分成两个小闭区域和，则在上的二重积分等于两个子闭区域、上的二重积分之和，即 这个性质表明二重积分对积分区域具有可加性。性质4 如果在区域上，为区域的面积，则 性质5 如果在区域上，成立，则 推论 函数在区域上的二重积分的绝对值不大于函数绝对值在区域上的二重积分，即 例2 比较积分与,其中是由轴、轴与直线所围成的闭区域. 解 在积分区域上，故有，则性质6 设、分别是在闭区域上的最大值和最小值，表示的面积，则 性质7 （二重积分中值定理）设函数在有界闭区域上连续，是的面积，则在上至少存在一点，使得 这些性质的证明与相应的定积分性质的证明相类似，证明从略.习题9 11.设有一平面薄板占有平面上的闭区域，它在点处的压强为，且在上连续，试求该薄板上总压力的二重积分表达式 .2设求.3根据二重积分的性质,比较下列积分的大小.(1) 与,其中是由圆周所围成的闭区域.(2) 与，其中是三角形闭区域，三个顶点分别为.4. 利用二重积分的几何意义,求出下列二重积分的值.(1) (2) 第二节 二重积分的计算法按照上一节二重积分的定义来计算二重积分显然很困难，本节将介绍二重积分的计算方法，这种方法是将二重积分转化为两次单积分(或累次积分)。我们首先介绍在直角坐标系中的计算法，然后再介绍在极坐标系中的计算法.一、 直角坐标系下二重积分的计算在具体讨论二重积分的计算之前,先介绍所谓型区域和型区域的概念.形如: 的不等式组表示的平面区域称为型区域; 图9-3形如: 的不等式组表示的平面区域称为型区域. 图9-4怎样来确定型区域和型区域不等式的中的和变化范围.首先在平面上画出积分区域的图形,假如是型的,如图所示,将投影到轴上,得到的取值范围是区间,在区间上任取一个值,过画一条与轴平行的直线,该直线与区域的边界交点纵坐标到即是的变化范围.类似的,积分区域是型的如图所示,按照上述方法可类似地确定和变化范围.例1 分别用型和型表示由曲线和所围成的区域解 如图所示，用型表示区域为 图9-5(a)如图所示，用型表示区域为下面介绍二重积分的计算 图9-5（b）1.设积分区域可用矩形区域(既是型又是型的区域)表示 其中，如图所示 图9-6则二重积分可转换为二次积分，也称为累次积分： (1)值得注意的是，只有当积分区域为矩形区域时才可直接把二重积分转化为上述(1)式的两次定积分。例2 试求二重积分，其中是由所围成的矩形区域解 由积分区域是矩形区域的讨论可知2.设积分区域可用型表示 其中在区间上连续，现利用二重积分的几何意义讨论的计算.当时,按照二重积分的几何意义,上述二重积分的值等于以积分区域为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积(图9-7).下面我们应用第六章中求”平行截面面积已知的立体的体积”的方法,来计算这个曲顶柱体的体积.设，任取子区间，设表示过点且垂直轴的平面与曲顶柱体的截面面积，则曲顶柱体体积的微元为 且该截面是一个以区间为底边，以曲线（是固定的）为曲边的曲边梯形，其面 积可表示为 图9-7将代入上式，得曲顶柱体的体积为 于是，二重积分 上式右端的积分叫做先对，后对的二次积分.即先将看作常数，把只看作关于的一元函数，并对计算从到的定积分；然后把所得的结果（是一个关于的函数）再对计算在区间上的定积分。上述积分也可记为 (2)同矩形区域一样，将这种积分也称为累次积分.注: 虽然讨论中,我们假定,这只是为几何上的说明方便而引入的条件,实际上公式(2)的成立不受此条件的限制.3.设积分区域可用型表示 其中在区间上连续，类似地有： 通常也可记为 (3)例3 计算，其中是由直线及所围成的闭区域解法1 画出积分区域，如图所示，是型的，上的点横坐标变化范围是，在上任取一个值，过点做平行于轴的直线，由图可知，对应交点的纵坐标满足 因此由公式（2）可得 图9-8 解法2 如果把积分区域看成型，如图所示，上的点的纵坐标变化范围是，在上任取一个值，过点做平行于轴的直线，由图知对应交点的横坐标满足 因此由公式（3）可得 图9-9例4 将二重积分的累次积分改变积分次序解 先画出积分区域，然后再改变积分次序，积分区域是由，及所围成的闭区域. 即见图，交点为，,要求先对后对的累次积分，作两条垂直轴的直线及夹紧区域，再任作一条垂直于轴的直线交边界两点，.的横坐标为，的横坐标为2 .即 图9-10=例5 计算，其中是由抛物线及直线所围成的闭区域.解 画出积分区域,如图所示，是型的，积分区域表示为 所以由公式（3）可得 图9-11若把积分区域看成X型，则由于在区间及上表示的式子不同，所以要用经过交点且平行于轴的直线把区域分成和两部分（如图）其中 根据二重积分的性质3可得 图9-12由此可见，在选择积分区域类型时应考虑计算的简便性。例6 计算.其中是由直线与轴所围成的闭区域.解 如图可见,积分区域既是型的又是型的,不管采用公式(2)或公式(3)来计算，都不会出现例3分块的情形，但是如果采用公式（2）先积后积，就无法积分（它的原函数不是初等函数），因此只能采用公式（3），先积后积来计算. 图9-13上述例子说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序，既要考虑积分区域的形状，又要考虑的特征.二、极坐标系下二重积分的计算有些时候把二重积分转化为极坐标形式计算将更为简单。将二重积分化为极坐标形式，需解决三个问题：（1）被积函数化为极坐标形式；（2）面积元素化为极坐标形式；(3)积分区域用极坐标形式表示。按二重积分的定义： 在极坐标系下，假设从极点出发且穿过积分区域内部的射线与的边界曲线相交不多于两点，用极坐标系中的曲线网常数（是以极点为中心的一族同心圆）和常数（是自极点出发的一族射线），将区域分成个小闭区域（如图），这些小闭区域的面积当作是两个圆扇形的面积之差，当网格线分划得越来越细时，就得到极坐标系下的面积元素.通过变换，可将被积函数转化为的函数，即 图9-14把积分区域表示为极坐标系下不等式组形式，需根据极点与区域的位置而定，现分三种情形加以讨论：（1）极点在区域的外面（如图）区域夹在两条射线之间，区域的内外边界为： 。此时，积分区域可采用不等式 来表示，此时可把二重积分转化为极坐标系下的累次积分，即 图9-15 （2）极点在区域的边界上（如图）积分区域可用不等式组 来表示，故有 图9-16 （3）极点在区域的内部（如图）设积分区域可用不等式组 来表示，故有 图9-17 例7 计算，其中是由圆周,及直线，所围成的第一象限内的闭区域.解 积分区域是环形域（如图）,属于第（1）种情形，用极坐标表示为 所以 图9-18例8 计算，其中是由圆所围成的闭区域解 因为积分区域是圆形域（如图）, 属于第（3）种情形，用极坐标表示为 所以 图9-19例9 求，其中是圆域：解 因积分区域是圆域(如图)，属于第（2）种情形，用极坐标表示为 图9-20通常当积分区域是圆形域、环形域、扇形域等且被积函数含有等形式时，用极坐标计算可能较为方便.习题1. 分别用型和型表示下列曲线围成的区域.(1) 由围成.(2) 由围成2. 计算下列二重积分的值.（1），其中区域（2），其中区域是由两坐标轴及直线所围成.（3），其中是由所围成的闭区域.（4），其中是顶点分别为和的三角形闭区域.3. 画出下列累次积分所表示的二重积分的积分域，并交换积分次序.（1）（2）（3）（4）4. 画出积分区域，并计算下列二重积分.（1）,其中是由圆周及轴所围成的右半闭区域.（2），其中是由及所围成的闭区域.（3）,其中是，与由及所围成的闭区域. (4) , 其中是由，及所围成的闭区域.5.利用极坐标求解下列二重积分.（1），其中是由圆周所围成的闭区域.（2），其中是由圆周及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域.第三节 二重积分的应用一、几何上的应用由的几何意义可知：当时，二重积分表示以为底，曲面为顶的曲顶柱体的体积；当时，该曲顶柱体的体积为，现用二重积分来求体积，举例说明如下:例1 求由旋转抛物面与坐标平面所围成的立体的体积.解 由图可见，该立体是以曲面为顶，为底的曲顶柱体，再利用对称性得 图9-21 图9-22 其中区域见图用极坐标计算较为方便 图9-23例2 计算由曲面及所围成的立体的体积.解 由消去，得，故所求立体在面上的投影区域为： （图所示）所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差：二、物理上的应用重心讨论平面薄片的重心设在平面上有个质点，分别位于点处，质量分别为，该质点系的重心坐标为 其中为总质量，分别为该质点系对轴和轴的静矩.设有一平面薄片，占平面上的区域，设在点处的面密度为，