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2.4 平面向量的数量积（习题课）一、知识要点：1向量的夹角：已知两个向量和，作，则（）叫做向量与的夹角。当时，我们说与垂直，记作2向量数量积的定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积, 俗称点乘），记作，即两个向量的数量积是一个数量；实数与向量的积是一个向量；特别注意：(1)而,后者是向量，前者是数！3数量积的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。4.向量数量积的运算律1交换律： 2 3【注意】：(1);(2) 不成立！ (3) 不成立！5.数量积的性质：设、都是非零向量，是与的夹角，则；当与同向时，；当与反向时，；特别地：或； ； ；6.向量数量积的坐标表示：设 ，7.长度、夹角、垂直的坐标表示：长度： ；两点间的距离公式：若，则；夹角：；垂直的等价条件： ，即二、典例分析：题型1.平面向量数量积的直接运算【例1】（1）(05上海高考)在中，若,求. (2)已知，其中，求的值。解：题型2.利用平面向量数量积解决长度问题【例2】已知（1）若，求；（2）若的夹角为，求；（3）若=2，求。题型3.两向量的夹角问题【例3】（1）设平面上有四个互异的点，已知求的形状；（2）向量满足，且求夹角的余弦值；（3）向量满足，求夹角的余弦值。题型4.利用平面向量数量积解决垂直问题【例4】（1）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的三条边的 线的交点；（2）P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的 心；（3）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = ；（4）已知 与的夹角为, 若向量2+与+垂直,，实数的值为 。题型5.平面向量数量积的坐标运算【例5】已知、是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，且/，求的坐标；（2）若且+2与-2垂直，求与的夹角.题型6. 利用平面向量坐标运算解决垂直问题【例6】（1）在中，,边上的高为。求的坐标。（2）在上是否存在一点，使?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。题型7.平面向量的长度、距离和夹角公式的应用【例7】已知四边形顶点分别为,判别四边形的形状。题型8.平面向量数量积的综合应用【例8】已知 与的夹角为, 若向量+与+的夹角为钝角, 求实数的范围。【例9】已知向量，（1）证明：；（2）若存在不同时为零的
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