（全国通用）高考数学走出题海之黄金30题系列（第01期）专题06 考前必做难题30题 文（含解析）.doc

2015年高考数学走出题海之黄金30题系列专题六 考前必做难题30题(文科)(第一期)1、如图，在中， ，是上的一点，若，则实数的值为( ) a b c d【答案】c【解析】如下图，b，p，n三点共线，即，又，对比，由平面向量基本定理可得： 2、如图所示，是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率是( ) a b c d 【答案】a【解析】由题意，设双曲线的左焦点为，则由双曲线、过原点的直线的对称性，以及可得，又由在双曲线上且可得，故可得到 3、设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集( )a bc d【答案】a【解析】由题可知，则，即，设，即，为单调递增函数，则不等式，化简为，由于为单调递增函数，因此，解得，又因为，解得，故解集为； 4、在等腰梯形中， 其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意不等式恒成立，则的最大值为( )a. b. c. 2 d. 【答案】b【解析】设双曲线的实半轴为，则.设椭圆的长半轴为，则.所以.令，则，在上，都为增函数，又，所以在上，从而，所以在上单调递减.又在上单调递减，所以 在上单调递减，故，即.若对任意不等式恒成立，则.选b. 5、若直角坐标平面内的两个不同点、满足条件：、都在函数的图像上；、关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”(注：点对与看作同一对“友好点对”)已知函数，则此函数的“友好点对”有 ( )对a0 b1 c2 d3【答案】b【解析】根据题意可知只须作出函数的图象关于原点对称的图象，确定它与函数交点个数即可，由图象可知，只有一个交点 6、如图，棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，为线段a1b上的动点，则下列结论错误的是( ) a b平面平面 c的最大值为 d的最小值为【答案】c【解析】，平面，平面因此，a正确；由于平面，平面，故平面平面故b正确，当时，为钝角，c错；将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理解，故d正确，故答案为c 7、如图，在长方体中，11，7，12，一质点从顶点a射向点，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将次到第次反射点之间的线段记为，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( ) 【答案】c【解析】 因为，所以延长交于，过作垂直于在矩形中分析反射情况：由于，第二次反射点为在线段上，此时，第三次反射点为在线段上，此时，第四次反射点为在线段上，由图可知，选c. 8、定义在上的函数，单调递增，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.已知，下列四个函数：；.其中是在上的“追逐函数”的有a1个 b.2个 c3个 d4个【答案】b【解析】结合题中所给的追逐函数的定义，可知对于在区间上的值域为，而函数在上的值域为，所以不成立，而对于，指数函数比幂函数增长速度更快，到一定程度会是，使得成立，所以不对，可知是正确的，所以有两个，故答案为b. 9、已知椭圆上一点a关于原点的对称点为点b，f为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为( ) a、 b、 c、 d、【答案】a【解析】b和a关于原点对称b也在椭圆上设左焦点为f根据椭圆定义：又 是的斜边中点，又 代入即 ，所以. 10、对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数：(i)对任意的，恒有；(ii)当，时，总有成立则下列四个函数中不是函数的个数是( ) a1 b2 c3 d4【答案】a【解析】(i)在上，四个函数都满足；(ii)，；对于，满足；对于，不满足对于， 而，满足；对于，满足，故选a 11、是定义在上的奇函数，若当时， ，则关于的函数的所有零点之和为 (用表示)【答案】【解析】根据对称性，作出r上的函数图象，由f(x)f(x)a，所以，零点就是f(x)与ya(0，1)交点的横坐标，共有5个交点，根据对称性，函数f(x)的图象与ya(0，1)的交点在(2，4)之间的交点关于x3对称，所以，x1x26，在(5，4)，(3，2)之间的两个交点关于x3对称，所以，x3x46，设x(1，0，则x0，1)，所以，即，由，所以，即，所以，. 12、下列结论：若命题，命题则命题“且”是真命题；已知直线，则的充要条件是；若随机变量，则，全市某次数学考试成绩，则直线与圆相切或相交。.其中正确结论的序号是_(把你认为正确结论的序号都填上)【答案】【解析】命题，如，p为真，命题，这是假命题，因为，则为真，则命题“且”是真命题正确；直线，当时，推不出，反过来，当时，两条直线斜率之积为，则；则直线，则的充分不必要条件是；错误，若随机变量，则则，错误；全市某次数学考试成绩，则直线过定点，由于定点圆上，所以直线与圆相切或相交。正确，填 13、设函数满足，且当时，若在区间内，存在个不同的实数，使得，则实数的取值范围为 【答案】【解析】试题分析：，当时，在直角坐标系内作出函数f(x)的图象，而表示的是该图象上的点与原点的连线的斜率图象上的点与原点的连线的斜率为；当过原点的直线与曲线相切时，斜率为(利用导数解决：设切点为则，因此斜率为)结合图形可知，满足题意得实数的取值范围为 14、长方体中，已知，棱在平面内，则长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围是 【答案】. 15、抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，若，则点的横坐标为 【答案】4【解析】设，直线方程，联立，得，由抛物线的性质得，因此，解得或，由图可知，因此方程，的中点，线段的垂直平分线，令，得，故答案为4. 16、给定集合aa1，a2，a3，an(nn，n3)，定义aiaj(1ijn，i，jn)中所有不同值的个数为集合a两元素和的容量，用l(a)表示，若a2，4，6，8，则l(a) ；若数列an是等差数列，设集合aa1，a2，a3，am(其中mn*，m为常数)，则l(a)关于m的表达式为 .【答案】5，2m3【解析】a2，4，6，8，aiaj(1ij4，i，jn)分别为：246，268，2810，4610，4812，6814，其中2810，4610，定义aiaj(1ij4，i，jn)中所有不同值的个数为5，即当a2，4，6，8时，l(a)5当数列an是等差数列，且集合aa1，a2，a 3，a m(其中mn*，m为常数)时，aiaj(1ijm，i，jn)的值列成如下各列所示图表：a1a2，a2a3，a3a4，am2am1 ，am1am，a1a3，a2a4，a3a5，am2am ，a1am2 ，a2am1，a3am，a1am1，a2am，a1am，数列an是等差数列，a1a4a2a3，a1a5a2a4，a1ama2am1，第二列中只有a2am的值和第一列不重复，即第二列剩余一个不重复的值，同理，以后每列剩余一个与前面不重复的值，后面共有m1列，所有不同的值有：m1m22m3，即当集合aa1，a2，a 3，a m(其中mn*，m为常数)时，l(a)2m3 17、位于该市的某大学与市中心的距离，且现要修筑一条铁路l，l在oa上设一站，在ob上设一站b，铁路在部分为直线段，且经过大学其中，(1)求大学与站的距离；(2)求铁路段的长【答案】(1)(2)【解析】(1)在中，且，由余弦定理得， ，即大学与站的距离为； (2)，且为锐角， 在中，由正弦定理得，即， ， ， ，又， ， 在中， 由正弦定理得，即，即铁路段的长为 18、已知数列的前项和为，(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为， 试比较与的大小【答案】(1)；(2).【解析】(1)由， 由，其中于是 整理得， 所以数列是首项及公比均为的等比数列. 19、已知数列，.(1)求证：数列为等比数列；(2)数列中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；(3)设，其中为常数，且，求.【答案】(1)证明见解析(2)不存在(3) 当，或时，；当时，当时，【解析】(1)，为常数数列为等比数列(2)取数列的连续三项， ，即，数列中不存在连续三项构成等比数列； (3)当时，此时；当时，为偶数；而为奇数，此时；当时，此时； 当时，发现符合要求，下面证明唯一性(即只有符合要求)。由得，设，则是上的减函数， 的解只有一个从而当且仅当时，即，此时；当时，发现符合要求，下面同理可证明唯一性(即只有符合要求)。从而当且仅当时，即，此时；综上，当，或时，；当时，当时， 20、如图2，四边形为矩形，平面，作如图3折叠，折痕，其中点分别在线段上，沿折叠后点叠在线段上的点记为，并且.(1)证明：平面;(2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)证明：pd平面abcd，pd平面pcd，平面pcd平面abcd；又平面pcd平面abcdcd，md平面abcd，mdcd，md平面pcd，cf平面pcd，cfmd；又cfmf，md、mf平面mdf，mdmfm，cf平面mdf； (2)cf平面mdf，cfdf，又易知pcd60，cdf30，cfcd；efdc，即， 21、已知椭圆()的左、右焦点分别为、，点，过点且与垂直的直线交轴负半轴于点，且(1)求证：是等边三角形；(2)若过、三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆的方程；(3)设过(2)中椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，是点关于轴的对称点在轴上是否存在一个定点，使得、三点共线，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)见试题解析；(2)；(3)存在点，使得、三点共线【解析】(1)设()，由，故，因为，所以， (1分)，故，(2分)又，故由得，所以，(3分)所以，即是等边三角形(4分)(2)由(1)知，故，此时，点的坐标为，(1分)又是直角三角形，故其外接圆圆心为，半径为，(3分)所以， (5分)所求椭圆的方程为 (6分)(3)由(2)得，因为直线过且不与坐标轴垂直，故可设直线的方程为：， (1分)由得， (2分)设，则有，(3分)由题意，故直线的方向向量为，所以直线的方程为， (4分)令，得(5分)即直线与轴交于定点所以，存在点，使得、三点共线 (6分)(注：若设，由、三点共线，得，得) 22、已知椭圆的离心率为，并且椭圆经过点，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上一点满足(1)求椭圆的方程；(2)证明：为定值；(3)是否存在定圆，使得直线绕原点转动时，恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由【答案】(1)(2)详见解析(3)存在定圆【解析】(1)由题设：解得，椭圆的方程为 (2)直线的斜率不存在或为0时，； 直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，则，直线的方程为，由得，同理， ，为定值； (3)由(2)得：直线的斜率不存在或为0时，；直线的斜率存在且不为0时， 原点到直线的距离， 直线与圆相切，即存在定圆，使得直线绕原点转动时，恒与该定圆相切 23、设点、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为(1)求椭圆的方程;(2)设直线(直线、不重合)，若、均与椭圆相切，试探究在轴上是否存在定点，使点到、的距离之积恒为1?若存在，请求出点坐标;若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)满足题意的定点存在，其坐标为或 .【解析】(1)设，则有， 由最小值为得， 椭圆的方程为 4分(2)把的方程代入椭圆方程得 直线与椭圆相切，化简得 同理可得: ，若，则重合，不合题意， ，即 8分设在轴上存在点，点到直线的距离之积为1，则 ，即， 把代入并去绝对值整理， 或者 前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的恒成立 则，解得; 综上所述，满足题意的定点存在，其坐标为或 12分 24、某普通高中为了了解学生的视力状况，随机抽查了100名高二年级学生和100名高三年级学生，对这些学生配戴眼镜的度数(简称：近视度数)进行统计，得到高二学生的频数分布表和高三学生频率分布直方图如下： 近视度数0100100200200300300400400以上学生频数304020100 将近视程度由低到高分为4个等级：当近视度数在0100时，称为不近视，记作0；当近视度数在100200时，称为轻度近视，记作1；当近视度数在200400时，称为中度近视，记作2；当近视度数在400以上时，称为高度近视，记作3.()从该校任选1名高二学生，估计该生近视程度未达到中度及以上的概率；()设，从该校任选1名高三学生，估计该生近视程度达到中度或中度以上的概率；()把频率近似地看成概率，用随机变量分别表示高二、高三年级学生的近视程度，若，求.【答案】()0.7；()0.46；()0.001【解析】()设该生近视程度未达到中度及中度以上为事件则 25、设为非负实数，满足，证明：【答案】不等式的证明一般可以考虑运用作差法或者是利用分析法来证明。【解析】为使所证式有意义，三数中至多有一个为0；据对称性，不妨设，则；、当时，条件式成为，而，只要证，即，也即，此为显然；取等号当且仅当、再证，对所有满足的非负实数，皆有显然，三数中至多有一个为0，据对称性，仍设，则，令，为锐角，以为内角，构作，则，于是，且由知，；于是，即是一个非钝角三角形下面采用调整法，对于任一个以为最大角的非钝角三角形，固定最大角，将调整为以为顶角的等腰，其中，且设，记，据知，今证明，即 即要证 先证 ，即证 ，即 ，此即 ，也即，即 ，此为显然由于在中，则；而在中，因此式成为 ，只要证， ，即证 ，注意式以及，只要证，即，也即由于最大角满足：，而，则，所以，故成立，因此得证，由及得成立，从而成立，即，因此本题得证 26、已知函数， 其中，是自然对数的底数函数，()求的最小值；()将的全部零点按照从小到大的顺序排成数列，求证：(1)，其中；(2) 【答案】()0()证明见解析【解析】()，当时，；当时，；所以，函数在上是减函数，在上是增函数，所以，综上所述，函数的最小值是0 ()证明：对求导得，令可得，当时，此时；当时，此时所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和 因为函数在区间上单调递增，又，所以当时，因为，且函数的图像是连续不断的，所以在区间内至少存在一个零点，又在区间上是单调的，故 (2)证明：由()知，则，因此，当时，记s则s 由(1)知，s当时，；当时，s即，s，证毕 27、如图，在三棱锥中，平面平面，分别为，中点(1)求证：平面；(2)求证：；(3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明过程详见解析；(2)证明过程详见解析；(3).【解析】(1)因为，分别为，中点，所以，又平面，平面， 所以平面. (2)连结， 因为，又，所以.又，为中点，所以.所以平面，所以. (3)因为平面平面， 有， 所以平面，所以. 28、已知函数有且只有一个零点，其中a0.(1)求a的值；(2)若对任意的，有恒成立，求实数k的最小值；(3)设，对任意，证明：不等式恒成立.【答案】(1)a1，(2)1，(3)详见解析【解析】(1)f(x)1，则函数f(x)lnxxa在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则若使函数f(x)lnxxa有且只有一个零点，则01a0，解得，a1；(2)(x1)f(x)x22xk0可化为(x1)(lnxx1)x22xk0，即k2xxlnxlnx1对任意的x(1，)恒成立，令g(x)2xxlnxlnx1，则g(x)2lnx1，令m(x)xxlnx1，则m(x)1lnx1lnx，x(1，)，m(x)1lnx1lnx0，则m(x)xxlnx111ln110，则g(x)0，则g(x)在(1，)上是减函数，则k2xxlnxlnx1对任意的x(1，)恒成立可化为kg(1)20011，则k的最小值为1；(3)证明：由题意，h(x)f(x)x1lnx，则对任意x1，x2(0，)(x1x2)，恒成立可化为，对任意x1，x2(0，)(x1x2)，0恒成立；不妨没x1x2，则lnx1lnx20，则上式可化为(x1x2)(lnx1lnx2)2(x1x2)0，令n(x)(x1x)(lnx1lnx)2(x1x)，则n(x)(lnx1lnx)(x1x)2lnx1lnx1，n(x)，则当x(x1，)时，n(