湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 §3.1.3概率的基本性质教案 新人教A版必修3 .doc

3.1.3 概率的基本性质一、教材分析 教科书通过掷骰子试验,定义了许多事件,及其事件之间的关系,事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念. 教科书通过类比频率的性质,利用频率与概率的关系得到了概率的几个基本性质,要注意这里的推导并不是严格的数学证明,仅仅是形式上的一种解释,因为频率稳定在概率附近仅仅是一种描述,没有给出严格的定义,严格的定义,要到大学里的概率统计课程中才能给出.二、教学目标1、知识与技能：（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；（2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0p(a)1；2）当事件a与b互斥时，满足加法公式：p(ab)= p(a)+ p(b)；3）若事件a与b为对立事件，则ab为必然事件，所以p(ab)= p(a)+ p(b)=1，于是有p(a)=1p(b)（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.2、过程与方法：通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。3、情感态度与价值观：通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习数学的情趣。三、重点难点教学重点：概率的加法公式及其应用.教学难点：事件的关系与运算.四、课时安排 1课时五、教学设计（一）导入新课思路1 体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格,某班50名学生参加了体育考试,结果如下：优85分及以上9人良7584分15人中6074分21人不及格60分以下5人 在同一次考试中,某一位同学能否既得优又得良？ 从这个班任意抽取一位同学,那么这位同学的体育成绩为“优良”（优或良）的概率是多少？ 为解决这个问题,我们学习概率的基本性质,教师板书课题.思路2（1）集合有相等、包含关系,如1,3=3,1,2,42,3,4,5等；（2）在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：c1=出现1点,c2=出现2点,c3=出现1点或2点,c4=出现的点数为偶数. 师生共同讨论：观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能发现事件的关系与运算吗？这就是本堂课要讲的知识概率的基本性质.思路3 全运会中某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛,她们夺取冠军的概率分别是2/7和1/5,则该省夺取该次冠军的概率是2/7+1/5,对吗？为什么？为解决这个问题,我们学习概率的基本性质.（二）推进新课、新知探究、提出问题 在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：c1=出现1点,c2=出现2点,c3=出现3点,c4=出现4点,c5=出现5点,c6=出现6点,d1=出现的点数不大于1,d2=出现的点数大于3,d3=出现的点数小于5,e=出现的点数小于7,f=出现的点数大于6,g=出现的点数为偶数,h=出现的点数为奇数, 类比集合与集合的关系、运算说明这些事件的关系和运算,并定义一些新的事件.(1)如果事件c1发生,则一定发生的事件有哪些？反之,成立吗？(2)如果事件c2发生或c4发生或c6发生,就意味着哪个事件发生？(3)如果事件d2与事件h同时发生,就意味着哪个事件发生？(4)事件d3与事件f能同时发生吗？(5)事件g与事件h能同时发生吗？它们两个事件有什么关系？活动：学生思考或交流,教师提示点拨,事件与事件的关系要判断准确,教师及时评价学生的答案.讨论结果：(1)如果事件c1发生,则一定发生的事件有d1,e,d3,h,反之,如果事件d1,e,d3,h分别成立,能推出事件c1发生的只有d1.(2)如果事件c2发生或c4发生或c6发生,就意味着事件g发生.(3)如果事件d2与事件h同时发生,就意味着c5事件发生.(4)事件d3与事件f不能同时发生.(5)事件g与事件h不能同时发生,但必有一个发生.由此我们得到事件a,b的关系和运算如下:如果事件a发生,则事件b一定发生,这时我们说事件b包含事件a（或事件a包含于事件b）,记为ba（或ab）,不可能事件记为,任何事件都包含不可能事件.如果事件a发生,则事件b一定发生,反之也成立,（若ba同时ab）,我们说这两个事件相等,即a=b.如c1=d1.如果某事件发生当且仅当事件a发生或事件b发生,则称此事件为事件a与b的并事件（或和事件）,记为ab或a+b.如果某事件发生当且仅当事件a发生且事件b发生,则称此事件为事件a与b的交事件（或积事件）,记为ab或ab.如果ab为不可能事件（ab=）,那么称事件a与事件b互斥,即事件a与事件b在任何一次试验中不会同时发生.如果ab为不可能事件,ab为必然事件,那么称事件a与事件b互为对立事件,即事件a与事件b在一次试验中有且仅有一个发生.继续依次提出以下问题:（1）概率的取值范围是多少?（2）必然事件的概率是多少?（3）不可能事件的概率是多少?（4）互斥事件的概率应怎样计算?（5）对立事件的概率应怎样计算?活动：学生根据试验的结果,结合自己对各种事件的理解,教师引导学生,根据概率的意义:（1）由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以,频率在01之间,因而概率的取值范围也在01之间.（2）必然事件是在试验中一定要发生的事件,所以频率为1,因而概率是1.（3）不可能事件是在试验中一定不发生的事件,所以频率为0,因而概率是0.（4）当事件a与事件b互斥时,ab发生的频数等于事件a发生的频数与事件b发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和.（5）事件a与事件b互为对立事件,ab为不可能事件,ab为必然事件,则ab的频率为1,因而概率是1,由（4）可知事件b的概率是1与事件a发生的概率的差.讨论结果：（1）概率的取值范围是01之间,即0p(a)1.（2）必然事件的概率是1.如在掷骰子试验中,e=出现的点数小于7,因此p(e)=1.（3）不可能事件的概率是0,如在掷骰子试验中,f=出现的点数大于6,因此p(f)=0.（4）当事件a与事件b互斥时,ab发生的频数等于事件a发生的频数与事件b发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和,即p(ab)=p(a)+p(b),这就是概率的加法公式.也称互斥事件的概率的加法公式.（5）事件a与事件b互为对立事件,ab为不可能事件,ab为必然事件,p(ab)=1.所以1=p(a)+p(b),p(b)=1-p(a),p(a)=1-p(b).如在掷骰子试验中,事件g=出现的点数为偶数与h=出现的点数为奇数互为对立事件,因此p(g)=1-p(h). 上述这些都是概率的性质,利用这些性质可以简化概率的计算,下面我们看它的应用.（三）应用示例思路1例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?事件a：命中环数大于7环； 事件b：命中环数为10环；事件c：命中环数小于6环； 事件d：命中环数为6、7、8、9、10环.活动：教师指导学生,要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是指不可能同时发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两个事件中一个不发生,另一个必发生.解：a与c互斥（不可能同时发生）,b与c互斥,c与d互斥,c与d是对立事件（至少一个发生）.点评：判断互斥事件和对立事件,要紧扣定义,搞清互斥事件和对立事件的关系,互斥事件是对立事件的前提.变式训练 从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件,观察正品件数与次品件数,判断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；（2）至少有1件次品和全是次品；（3）至少有1件正品和至少有1件次品；（4）至少有1件次品和全是正品.解：依据互斥事件的定义,即事件a与事件b在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件,又因为它们并不是必然事件,所以它们不是对立事件.同理可以判断：（2）中的2个事件不是互斥事件,也不是对立事件.（3）中的2个事件既不是互斥事件也不是对立事件.（4）中的2个事件既互斥又对立.例2 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心（事件a）的概率是,取到方块（事件b）的概率是,问：（1）取到红色牌（事件c）的概率是多少？（2）取到黑色牌（事件d）的概率是多少？活动：学生先思考或交流,教师及时指导提示,事件c是事件a与事件b的并,且a与b互斥,因此可用互斥事件的概率和公式求解,事件c与事件d是对立事件,因此p(d)=1-p(c).解：（1）因为c=ab,且a与b不会同时发生,所以事件a与事件b互斥,根据概率的加法公式得p(c)=p(a)+p(b)=.（2）事件c与事件d互斥,且cd为必然事件,因此事件c与事件d是对立事件,p(d)=1-p(c)=.点评：利用概率的加法公式,一定要注意使用条件,千万不可大意.变式训练 某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28,计算该射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率；（2）少于7环的概率.解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和,即为0.21+0.23=0.44.（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和,即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件,所以射中少于7环的概率为1-0.97=0.03.思路2例1 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件a为“出现奇数点”,b为“出现偶数点”,已知p(a)= ,p(b)=,求出“出现奇数点或偶数点”的概率？活动：学生思考或讨论,教师引导,抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的,并且是相互独立事件,可以运用概率的加法公式求解.解：记“出现奇数点或偶数点”为事件c,则c=ab,因为a、b是互斥事件,所以p(c)=p(a)+p(b)=+=1.出现奇数点或偶数点的概率为1.变式训练 抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件a为出现奇数,事件b为出现2点,已知p（a）=,p（b）=,求出现奇数点或2点的概率之和.解：“出现奇数点”的概率是事件a,“出现2点”的概率是事件b,“出现奇数点或2点”的概率之和为p（c）=p（a）+p（b）=+=.例2 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？活动：学生阅读题目,交流讨论,教师点拨,利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解.解：从袋中任取一球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”为a、b、c、d,则有p(bc)=p(b)+p(c)=；p(cd)=p(c)+p(d)=；p(bcd)=1-p(a)=1=,解得p(b)=,p(c)=,p(d)=.即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是、.变式训练 已知盒子中有散落的棋子15粒,其中6粒是黑子,9粒是白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是,从中取出2粒都是白子的概率是,现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？解：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和,即为+.（四）知能训练1.下列说法中正确的是（ ）a.事件a、b中至少有一个发生的概率一定比a、b中恰有一个发生的概率大b.事件a、b同时发生的概率一定比事件a、b恰有一个发生的概率小c.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件d.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件答案：d2.课本练习15.（五）拓展提升1.从男女学生共有36名的班级中,任意选出2名委员,任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于,求男女生相差几名?解：设男生有x名,则女生有36-x名.选得2名委员都是男性的概率为.选得2名委员都是女性的概率为.以上两种选法是互斥的,又选得同性委员的概率等于,得+=.解得x=15或x=21.即男生有15名,女生有36-15=21名,或男生有21名,女生有36-21=15名.总之,男女生相差6名.2.黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：血型ababo该血型的人所占比/%2829835 已知同种血型的人可以输血,o型血可以输给任一种血型的人,任何人的血都可以输给ab型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是b型血,若小明因病需要输血,问：(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少？解：（1）对任一人,其血型为a,b,ab,o型血的事件分别记为a,b,c,d,它们是互斥的.由已知,有p(a)=0.28,p(b)=0.29,p(c)=0.08,p(d)=0.35.因为b,o型血可以输给b型血的人,故“可以输给b型血的人”为事件b+d.根据互斥事件的加法公式,有p(b+d)=p(b)+p(d)=0.29+0.35=0.64.（2）由于a,ab型血不能输给b型血的人,故“不能输给b型血的人”为事件a+c,且p(a+c)=p(a)+p(c)=0.28+0.08=0.36. 即任找一人,其血可以输给小明的概率为0.64,其血不能输给小明的概率为0.36.注：第（2）问也可以这样解：因为事件“其血可以输给b型血的人”与事件“其血不能输给b型血的人”是对立事件,故由对立事件的概率公式,有p()=1-p(b+d)=1-0.64=0.36.（六）课堂小结1.概率的基本性质是学习概率的基础.不可能事件一定不出现,因此其概率为0,必然事件一定发生