江西省南昌市十所省重点中学高三数学二模突破冲刺（一）试题 理（含解析）新人教A版.doc

江西省南昌市十所省重点中学2015届高三数学二模突破冲刺（一）试题 理（含解析）新人教a版【试卷综述】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.【题文】第卷【题文】一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。【题文】1.已知全集,集合,则集合( ) ab cd.【知识点】集合的运算a1【答案】【解析】c 解析：由题意易知，所以故选c.【思路点拨】先求出，再求出即可。【题文】2. 设复数（为虚数单位），的共轭复数为，则( ) ab2 d1【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模l4【答案】【解析】a 解析：由z=1i，则，所以=故选a【思路点拨】给出z=1i，则，代入整理后直接求模【题文】3.在正项等比数列中，前项和为,且成等差数列，则 的值为( ) a. 125b. 126c. 127d. 128【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式d2 d3 d4【答案】【解析】c 解析：设正项等比数列an的公比为q（q0），且a1=1，由a3，a2，a4成等差数列，得2a2=a4a3即因为q0所以q2q2=0解得q=1（舍），或q=2则故选c【思路点拨】设出等比数列的公比，由已知条件列式求出公比，则等比数列的前7项和可求【题文】4. 已知函数，为了得到函数的图象，只需要将的图象( ) a. 向右平移个单位长度 b. 向左平移个单位长度c. 向右平移个单位长度 d. 向左平移个单位长度【知识点】函数y=asin（x+）的图象变换c4【答案】【解析】d 解析：由于函数=sin2x，函数g（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）=sin2（x+），故将y=f（x）的图象向左平移个单位长度，即可得到g（x）的图象，故选d【思路点拨】利用二倍角公式、两角和差的正弦公式化简函数f（x）和g（x）的解析式，再根据函数y=asin（x+）的图象变换规律，得出结论【题文】5. 若的展开式中第四项为常数项，则( ) a4 b5 c6 d7【知识点】二项式系数的性质j3【答案】【解析】b 解析：由于的展开式中第四项为 t4= 是常数项，故=0，n=5，故选b【思路点拨】由于的展开式中第四项为 t4= 是常数项，故=0，由此求得 n的值【题文】6.给四面体的六条棱分别涂上红，黄，蓝，绿四种颜色中的一种，使得有公共顶点的棱所涂的颜色互不相同，则不同的涂色方法共有( ) a 96 b144 c. 240 d. 360【知识点】排列组合j2【答案】【解析】a 解析：先从红，黄，蓝，绿四种颜色中选一种，有种，排列种数有,故不同的涂色方法共有，故选a.【思路点拨】先从红，黄，蓝，绿四种颜色中选一种，再进行排列即可。【题文】7.已知离心率为的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点是两曲线的一个公共点，若，则等于( ) a b c d3【知识点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质h5 h6【答案】【解析】c 解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦距为2c，|pf1|=m，|pf2|=n，且不妨设mn，由m+n=2a1，mn=2a2得m=a1+a2，n=a1a2又，即，解得，故选：c【思路点拨】利用椭圆、双曲线的定义，求出|pf1|，|pf2|，结合f1pf2=，利用余弦定理，建立方程，即可求出e【题文】8. 如图，阅读程序框图，任意输入一次x（0x1）与y（0y1），则能输出数对（x，y）的概率为( ) abcd 【知识点】几何概型k3【答案】【解析】a 解析：是几何概型，所有的基本事件=设能输出数对（x，y）为事件a，则a=，s（）=1，s（a）=01x2dx=故选a【思路点拨】据程序框图得到事件“能输出数对（x，y）”满足的条件，求出所有基本事件构成的区域面积；利用定积分求出事件a构成的区域面积，据几何概型求出事件的概率【题文】9. 已知变量满足约束条件若恒成立，则实数的取值范围为( ) a. (-,-1 b. -1,+) c. -1,1 d. -1,1)【知识点】简单线性规划e5【答案】【解析】c 解析：由题意作出其平面区域， 则x+2y5恒成立可化为图象中的阴影部分在直线x+2y=5的上方，则实数a的取值范围为1，1故答案为：1，1【思路点拨】由题意作出其平面区域，则x+2y5恒成立可化为图象中的阴影部分在直线x+2y=5的上方，从而解得【题文】10.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是( ) a. b.100 c.92 d.84 【知识点】由三视图求面积、体积g2【答案】【解析】b 解析：如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4因此该几何体的体积=366=1088=100故选b【思路点拨】如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4利用长方体与三棱锥的体积计算公式即可得出【题文】11.已知函数()定义域为,则的图像不可能是( ) 【知识点】函数的图象b8【答案】【解析】d 解析：已知函数f（x）=alnx+（ar），定义域为（0，1），下面把参数分以下三种情况进行讨论：（1）当a=0 函数f（x）=alnx+转化为f（x）=对定义域（0，1）内的每一个x代入关系式得到，f（x）0故a符合（2）当a0 用单调性来进行讨论 由于函数lnx在定义域（0，1）内为增函数，则alnx为减函数同时=也为减函数，所以函数f（x）为减函数，故a符合（3）当a0 利用函数的导数来讨论，已知f（x）=alnx+，则f（x）=+=，令f（x）=0 即ax2+（2a4）x+a=0则=1616a下面再分三种情况讨论当a=1，f（x）=0 则函数f（x）为增函数故b符合当1a0时ax2+（2a4）x+a=0存在两根x1=，x2=，由于1a0则 得到1x10，x21 当x1x0函数图象为增函数 当x1x1时为减函数故c符合当a1时 f（x）0恒成立故b符合通过以上讨论，排除得到答案应d【思路点拨】已知函数f（x）=alnx+（ar），在函数式中含有参数，所以本题在定义域内对参数的讨论是本题的重点，可以对参数a分以下几种情况进行讨论a=0a0a0根据不同的情况进行具体分析。【题文】12.设，若函数为单调递增函数，且对任意实数x，都有 （是自然对数的底数），则( ) a. b. c. d. 【知识点】函数单调性的性质b3【答案】【解析】c 解析：设t=f（x）ex，则f（x）=ex+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=et+t=e+1，函数f（x）为单调递增函数，函数为一对一函数，解得t=1，f（x）=ex+1，即f（ln2）=eln2+1=2+1=3，故选：c【思路点拨】利用换元法 将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论第卷【题文】二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。【题文】13. 若，则的最大值为 . 【知识点】二倍角公式；基本不等式c6 e6【答案】【解析】 解析：因为，所以，所以原式，故答案为。【思路点拨】利用二倍角公式把原函数化简，再利用基本不等式即可。【题文】14. 设为实数,函数的导函数为,且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为 .【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程b11【答案】【解析】 解析：f（x）=x3+ax2+（a3）x，f（x）=3x2+2ax+（a3），f（x）是偶函数，3（x）2+2a（x）+（a3）=3x2+2ax+（a3），解得a=0，f（x）=x33x，f（x）=3x23，则f（2）=2，k=f（2）=9，即切点为（2，2），切线的斜率为9，切线方程为y2=9（x2），即9xy16=0故答案为：9xy16=0【思路点拨】先由求导公式求出f（x），根据偶函数的性质，可得f（x）=f（x），从而求出a的值，然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线方程【题文】15. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，则球的表面积为 .【知识点】球的体积和表面积菁优g8【答案】【解析】 解析：如图，三棱锥sabc的所有顶点都在球o的球面上，sa平面abc，ab=1，ac=2，bac=60，bc=，abc=90abc截球o所得的圆o的半径r=1，球o的半径r=2，球o的表面积s=4r2=16故答案为.【思路点拨】由三棱锥sabc的所有顶点都在球o的球面上，sa平面abc，ab=1，ac=2，bac=60，知bc=，abc=90故abc截球o所得的圆o的半径r=1，由此能求出球o的半径，从而能求出球o的表面积【题文】16. 已知是函数的两个零点，则的取值范围是 .【知识点】函数的零点与方程根的关系b9【答案】【解析】 解析：令f（x）=0，则，作出和在r上的图象，可知恰有两个交点，设零点为x1，x2且，x11，x21，故有x2，即x1x21又f（）0，f（1）0，x11，x1x2故答案为：（，1） 【思路点拨】作出和在r上的图象，可知恰有两个交点，设零点为x1，x2且，再结合零点存在定理，可得结论【题文】三、解答题：本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【题文】17.（本小题满分12分）设各项均为正数的数列的前项和为,满足,且恰好是等比数列的前三项.(1) 求数列、的通项公式；(2) 记数列的前项和为，若对任意的恒成立,求实数的取值范围.【知识点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式d1 d4 d5【答案】【解析】(1) (2) 解析：(1)由题意，当n2时，4an=4sn4sn1=，又an0，an+1=an+2当n2时，an是公差d=2的等差数列又a2，a5，a14构成等比数列，解得a2=3，由条件可知，a1=1，又a2a1=31=2，an是首项a1=1，公差d=2的等差数列数列an 的通项公式为an=2n1，则b1=a2=3，b2=a5=9，b3=a14=27，且bn是等比数列，数列bn的通项公式为(2) =，对nn*恒成立，对nn*恒成立，令cn=，cncn1=，当n3时，cncn1，当n4时，cncn1，【思路点拨】(1) 由得，当n2时，两式相减并化简，得数列an为等差数列，再由题目中其他条件计算出an、bn的通项公式(2)由(1)计算得到tn=，再进行参数分离，将题中不等式转化为：对nn*恒成立，令cn=，作差确定数列的单调性，求出数列的最小值即可【题文】18. (本题满分12分） 甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是,乙、丙两人同时能被聘用的概率为,且三人各自能否被聘用相互独立.(1) 求乙、丙两人各自被聘用的概率;(2) 设为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求的分布列与均值(数学期望)【知识点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列k5 k6【答案】【解析】(1) (2) 见解析 解析：(1)设乙、丙两人各自被聘用的概率分别为p1、p2,则甲、丙两人同时不能被聘用的概率是(1-)(1-p2)=,2分解得p2=,3分乙、丙两人同时能被聘用的概率为p1p2=p1=,5分因此乙、丙两人各自被聘用的概率分别为、.6分(2)的可能取值有1、3,7分则p(+(1-)+(1-)=,8分p(=3)= (1-)(1-)(1-)+=,9分因此随机变量的分布列如表所示13p所以随机变量的均值(即数学期望)e()=1+3=.12分【思路点拨】（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为a1，a2，a3，由已知a1，a2，a3相互独立，由此能求出乙，丙各自能被聘用的概率（2）的可能取值为1，3分别求出p（=1）和p（=3），由此能求出的分布列和数学期望【题文】19.（本小题满分12分）如图，在矩形中，,分别为,的中点，且沿,分别将与折起来，使其顶点与重合于点，若所得三棱锥的顶点在底面内的射影恰为的中点。（1）求三棱锥的体积； （2求折起前的与侧面所成二面角的大小. 【知识点】棱锥的体积公式；二面角的平面角g4 g5 g11【答案】【解析】(1) ; (2) 解析：(1)依题设：面 又依题设：o为ef的中点，且,故是斜边为的等腰，故，且，又为矩形，且,为边的中点， 故。(2)因所求二面角与二面角互补，故先求二面角。作于h，连，则由知：oh为的射影为二面角的平面角，在中，由易求得：，又，故在中，由=，由此即知二面角的大小为。(2)设平面与平面的夹角为，并设其法向量为，则由，以及取，得平面的一个法向量为：；而平面的一个法向量为：，故由=。而所求二面角为钝二面角，故其大小为。【思路点拨】(1) 依题设易得 面然后得是斜边为的等腰，故，且，又为矩形，且,为边的中点，再利用体积公式即可； (2) 因所求二面角与二面角互补，故先求二面角。作于h，连，则由知：oh为的射影为二面角的平面角，然后在中求之即可。【题文】20.（本小题满分12分）已知点e(m,0)为抛物线内的一个定点，过e作斜率分别为k1、k2的两条直线交抛物线于点a、b、c、d，且m、n分别是ab、cd的中点（1）若m = 1，k1k2 = -1，求三角形emn面积的最小值；若k1 + k2 = 1，求证：直线mn过定点. 【知识点】抛物线的简单性质h7【答案】【解析】(1) 时，emn的面积取最小值4； (2) 见解析 解析：（）当时，e为抛物线的焦点，abcd设ab方程为，由，得， ab中点，同理，点2分4分当且仅当，即时，emn的面积取最小值4 6分（）证明：设ab方程为，由，得，ab中点，同理，点8分 10分mn：，即直线mn恒过定点 12分【思路点拨】（1）不妨设ab的斜率k1=k0，求出cd的斜率k2=0，利用点斜式方程求出直线ab、cd的方程，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得中点m、n的坐标，利用点斜式方程求出直线mn的方程，再求出直线mn与x轴的交点坐标，可得emn的面积，利用基本不等式求mcd面积的最小值；（2）不妨设ab的斜率k1=k，求出cd的斜率k2=1m，利用点斜式方程求出直线ab、cd的方程，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得中点m、n的坐标，利用点斜式方程求出直线mn的方程，化简后求出直线过的定点坐标【题文】21（本小题满分12分）已知函数 （1）若，求的单调区间； （2）若由两个极值点，记过点的直线的斜率，问是否存在，使，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用b12【答案】【解析】(1) 单调递增区间为，单调递减区间为； (2) 不存在实数，使得。 解析：（）的定义域为，当时， 当或，时，.2分当时，.的单调递增区间为，单调递减区间为.4分（）令，则，当，即时，在上单调递增，此时无极值； .5分当，即时，在上单调递增，此时无极值.6分当，即或时，方程有两个实数根若，两个根，此时， 则当时，在上单调递增，此时无极值.7分若，的两个根，不妨设，则当和时，在区间和单调递增，当时，在区间上单调递减，则在处取得极大值，在处取得极小值，且即 （*）.9分即令，则上式等价于：令则令在区间上单调递减，且，即在区间恒成立在区间上单调递增，且对，函数没有零点，即方程在上没有实根，. 11分即（*）式无解，不存在实数，使得.12分【思路点拨】(1) f（x）的定义域为（0，+），当a=3时，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间 (2) 令u（x）=2x2ax+1，则=a28，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出是否存在a，使k=【题文】请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号。【题文】22.（本题满分10分) 选修41：几何证明选讲如图,已知o1与o2相交于a、b两点,过点a作o1的切线交o2于点c,过点b和两圆的割线,分别交o1、o2于点d、e,de与ac相交于点p.(1)求证:adec;(2)若ad是o2的切线,且pa=6,pc=2,bd=9,求ad的长. 【知识点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段n1【答案】【解析】(1) 见解析； (2) ad=12. 解析：(i)ac是o1的切线,bac=d, 又bac=e,d=e,adec. (ii)设bp=x,pe=y,pa=6,pc=2, xy=12 adec,=,= 由、解得 (x0,y0) de=9+x+y=16, ad是o2的切线,ad2=dbde=916,ad=12. 【思路点拨】(1) 连接ab，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到bac=d，又根据同弧所对的圆周角相等得到bac=e，等量代换得到d=e，根据内错角相等得到两直线平行即可； (2) 根据切割线定理得到pa2=pbpd，求出pb的长，然后再根据相交弦定理得papc=