_剪拼_中的数学思考.pdf

剪拼 中的数学思考 210012 江苏省南京市雨花台中学 杭秉全 把一个图形分割成几块 将几个图形拼成另一个与之 等积的图形 先把一个图形剪成几块 然后再拼成另一个 与之等积的图形 这些都是图形剪拼问题 有趣的图形剪 拼问题中常常蕴含着理性的数学思考 要求解题者进行多 方位 多角度 多层次探索 可以培养解题者思维的灵活 性 发散性和创新性 笔者例析几例 与同仁共赏 1 图形的分割 裁剪 1 1 等积分割 图 1 例 1 张老汉有一块如图 1所 示的田地 相邻两边均互相垂直 AB 80m AF 60m BC CD 40m 他想把田分给两个儿子 儿子 提出 分割成的两块面积应相等 分割线做成一条直的水渠 便于灌溉 请你帮助张老汉画出这条水渠所在的位置吗 解 分割策略 1 运用对称性分割 如图 2 图 3 图 4 中 MN 为所求 图 2 图 3 图 4 分割策略 2 通过计算分割 如图 5 图 6 图 7 图 8 图 9 图 10 图 11 图 12中 MN 为所求 图 5 图 6 图 7 图 8 图 9 图 10 图 11 图 12 点评 因为过矩形对称中心的直线将矩形分成两 个成中心对称的图形 它们全等 因此 可以将图割 或 补 成两个矩形 再利用中心对称的性质进行画图 如分 割策略 1 不难算出这块田地的面积为 4000m 2 所以 只 要使田地被分成的其中一块面积为 2000m 2 即可得出另 一块面积也为 2000m 2 达到面积平分的目的 如分割策 图 13 略 2 在图 5中取 MN 的中点 O 过 O 画 M1 N1 分别交 AF BC 于 点 M1 N1 如 图13 则 M1OM N1ON 所 以 沿 M1N1分割符合要求 1 2 相似裁剪 例 2 如果有两边长分别为 1 a a 1 的一块矩形 绸布 要将它剪裁出三面矩形彩旗 面料没有剩余 每 面彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同 画出 两种不同裁剪方法的示意图 并写出相应 a 的值 不写 计算过程 解 裁剪方法 1 如图 14 a 3 图 14 图 15 裁剪方法 2 如图 15 a 2 点评 此例裁减方案的设计具有很强的灵活性与 开放性 对探索构图提出了较高要求 在确定 a 的值时 需运用相似性质 建立关于 a 的方程求解 设矩形绸布 ABCD 中 AB 1 BC a 29 解题研究 2011年第 2期 初中版 裁剪方法 1中 BE EG GC a 3 AF FH HD a 3 则四边形 ABEF 四边形 FEGH 四边形 HGCD 均为矩 形且彼此全等 当BE AB AB BC时 矩形 ABEF 矩形 BCDA 裁剪符合要求 此时有 a 3 1 1 a 解得 a 3 取正值 裁剪方法 2中 BE AF 1 a EG GF CH HD 1 2 则四边形 ABEF为矩形且与矩形 ABCD 相似 四边形 GEC H 与四边形 FGHD 都是矩形且全等 当GE EC AB BC时 矩形 GEC H 矩形 ABCD 裁剪符合要求 此时有 1 2 1 a 1 a 解得 a 2 取正值 图 16 除上述两种裁剪方法外 还可 以如图 16裁剪 其中 BE AF 1 a EG GF CH HD 1 2 则四边形 ABEF为矩形且与矩形 ABCD 相似 四边形 GECH 与四边形 FGHD 都是矩形且全等 当GE EC BC CD时 矩形 GECH 矩形 BCDA 裁剪符合要求 此时有 图 17 1 2 a 1 a a 1 解得 a 6 2 取正值 也可如图 17剪 使四边形 BE FA 四边形 GHDF 四边形 C HGE 矩形 ABCD 列方程可求得 a 2 2 5 2 取正值 2 图形的拼接 2 1 全等拼接 图 18 例 3 如图 18所示 由 8块 相同的矩形地砖拼成的一个较 大的矩形 每小块矩形地砖的长 和宽分别是多少 解法 1 设每小块矩形的长为 xcm 宽为 yc m 根据 较大的矩形上下两条对边相等 得 2x x 3y 由较大的 矩形的宽为 60c m 得 x y 60 联立这两个方程 得 2x x 3y x y 60 解之 得 x 45 y 15 所以每小块矩形地砖 的长为 45c m 宽为 15c m 解法 2 设每小块矩形的长为 xcm 宽为 yc m 由竖 立的小矩形与横放的三个小矩形一样高 得 x 3y 由较 大的矩形的面积可表示为 2x 60 也可表示为 8xy 得 2x 60 8xy 因 为 x 0 所 以 y 15 于是 得方 程组 x 3y y 15 解之 得 x 45 y 15 所以每小块矩形地砖的长为 45c m 宽为 15cm 点评 此类拼图问题解题的关键是观察所拼图形 的结构特征 根据所拼图形的结构特征找到相等关系 列出方程 最常用的观察角度有两种 一种是观察边之 间的相等关系 另一种是分析面积之间的相等关系 2 2 非全等拼接 图 19 例 4 有若干张如图 19所示 的正方形卡片 A B和长方形卡片 C 如果要拼一个长为 2a b 宽为 a b的矩形 则需要 A类 B类 C类卡片各多少张 请 画出一种拼法 图 20 解 2a b a b 2a 2 2ab ba b 2 2a 2 3ab b 2 所以需 要 A 类卡片 2 张 B 类卡片 1张 C类卡片 3张 拼法如图 20 点评 此类拼图问题展现了整式乘法的几何背景 解决此类拼图问题 通常是先进行整式乘法的运算 再 根据运算结果确定拼图方案 3 图形的剪拼 3 1 剪拼梯形 图 21 例 5 1 如图 21 等腰梯形的 周长为 5cm 它可以由什么样的三角 形剪一刀而得 2 用 5张这样的等腰梯形纸 片中的几张拼成较大的等腰梯形 能拼出哪几种不同的 30 2011年第 2期 初中版 解题研究 等腰梯形 画出它们的示意图 解 1 可以由一个边长为 2c m的等边三角形剪一 刀而得 2 有如下 4种 图 22 点评 根据图示中等腰梯形四边的长度 分析该梯 形的形状特征 即四个底角分别为 60 60 120 120 是本例中 剪 与 拼 方案确定的基础 3 2 剪拼平行四边形 例 6 如图 23 已四边形纸片 ABCD 请将该纸片剪 拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片 限定裁剪线 最多有两条 图 23 图 24 解 如图 24 分别取四边形 ABCD 四边 AB BC CD DA 的中点 E G F H 连接 EF GH 交点为 O 沿 EF GH 将四边形 ABCD 剪开 保持四边形 OFDH 不动 将四边形 AEOH CGOF 分别绕点 H F 旋转 180 将四边形 BGOE 平移 使 B与 D 重合 即可得到一个平行四边形 点评 方案中取四边形各边中点 确保拼接的边能 完全重合 根据四边形内角和为 360 可知剪开的四块 在 D 点处能无缝隙 无重叠地拼接 原四边形四边中点 E G F H 处的各对邻补角 经剪拼 变化到剪拼形成的 新图形外边缘的 4个拼接处 根据 180 角 平角 两边互 为反向延长线 可得剪拼形成的新图形是四边形 原四 边形点 O 处各对邻补角 经剪拼 成为剪拼形成的新四 边形的各对邻角 根据同旁内角互补 两直线平行 可得 剪拼形成的新四边形的两组对边分别平行 所以剪拼形 成的新图形是平行四边形 由此可见 此例的剪拼蕴含 着丰富的数学思想 3 3 剪拼矩形 例 7 三角形通过剪切可以拼成一个与之面积相等 的矩形 方法如下 图 25 对任意四边形 设计一种方案 将它剪拼成一个与 原四边形面积相等的矩形 解 将任意四边形剪拼成一个与之面积相等的矩 形 方案如图 26 图 26 点评 四边形剪拼成一个与之面积相等的矩形的 方案设计中 渗透着 转化 的思想方法 即连接四边形 的对角线 可将原问题转化为题干中三角形剪拼问题 3 4 剪拼正方形 图 27 图 28 例 8 要把由 5个小正方 形组成的十 字形纸 板 如图 27 剪开 使剪成的若干块能 够拼成一个大正方形 1 如果剪 4刀 应如何剪 2 少剪几刀 也能拼成一个大正方形吗 图 29 解 1 如 图 28 沿虚线剪 拼 2 剪法多样 如图 29 剪 2 刀即可 点评 此类拼图问题解题的 关键是分析大正方形的边长 根据 边长首