高考数学一轮复习 第二十三章 选修系列 23.4 不等式选讲课件.ppt

高考数学 江苏省专用 23 4不等式选讲 1 2017江苏 21d 10分 选修4 5 不等式选讲 已知a b c d为实数 且a2 b2 4 c2 d2 16 证明 ac bd 8 a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 证明本小题主要考查不等式的证明 考查推理论证能力 由柯西不等式可得 ac bd 2 a2 b2 c2 d2 因为a2 b2 4 c2 d2 16 所以 ac bd 2 64 因此ac bd 8 2 2016江苏 21d 10分 选修4 5 不等式选讲 设a 0 x 1 y 2 求证 2x y 4 a 证明因为 x 1 y 2 所以 2x y 4 2 x 1 y 2 2 x 1 y 2 2 a 解后反思利用绝对值的三角不等式求最值时 可借助 a b a b a b 来求解 但一定要注意等号成立的条件 3 2015江苏 21d 10分 0 521 解不等式x 2x 3 2 解析原不等式可化为或解得x 5或x 综上 原不等式的解集是 4 2014江苏 21d 10分 0 27 选修4 5 不等式选讲 已知x 0 y 0 证明 1 x y2 1 x2 y 9xy 证明因为x 0 y 0 所以1 x y2 3 0 1 x2 y 3 0 故 1 x y2 1 x2 y 3 3 9xy 5 2013江苏 21d 10分 0 538 已知a b 0 求证 2a3 b3 2ab2 a2b 证明2a3 b3 2ab2 a2b 2a a2 b2 b a2 b2 a2 b2 2a b a b a b 2a b 因为a b 0 所以a b 0 a b 0 2a b 0 从而 a b a b 2a b 0 即2a3 b3 2ab2 a2b 考点不等式的解法与证明1 2015山东改编 5 5分 不等式 x 1 x 5 2的解集是 b组统一命题 省 区 市 卷题组 答案 4 解析 当x5时 原不等式等价于x 1 x 5 2 即4 2 无解 综合 知x 4 2 2014重庆 16 5分 若不等式 2x 1 x 2 a2 a 2对任意实数x恒成立 则实数a的取值范围是 答案 解析令f x 2x 1 x 2 易求得f x min 依题意得a2 a 2 1 a 3 2014陕西 15a 5分 不等式选做题 设a b m n r 且a2 b2 5 ma nb 5 则的最小值为 答案 解析根据柯西不等式得 ma nb 当且仅当 a2 b2 5 ma nb 5 即m a n b 时取等号 故的最小值为 4 2013湖南理 10 5分 已知a b c r a 2b 3c 6 则a2 4b2 9c2的最小值为 答案12 解析由柯西不等式 a2 4b2 9c2 12 12 12 a 2b 3c 2得3 a2 4b2 9c2 36 所以a2 4b2 9c2 12 当且仅当a 2b 3c 2时 a2 4b2 9c2取得最小值12 5 2017课标全国 理 23 10分 选修4 5 不等式选讲 已知a 0 b 0 a3 b3 2 证明 1 a b a5 b5 4 2 a b 2 证明本题考查不等式的证明 1 a b a5 b5 a6 ab5 a5b b6 a3 b3 2 2a3b3 ab a4 b4 4 ab a2 b2 2 4 2 因为 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 2 3ab a b 2 a b 2 所以 a b 3 8 因此a b 2 失分警示运用直接法证明不等式时 可以通过分析和应用条件逐步逼近结论 在证明过程中易因逻辑混乱而失分 6 2017课标全国 理 23 10分 选修4 5 不等式选讲 已知函数f x x 1 x 2 1 求不等式f x 1的解集 2 若不等式f x x2 x m的解集非空 求m的取值范围 解析本题考查绝对值不等式的解法 1 f x 当x2时 由f x 1解得x 2 所以f x 1的解集为 x x 1 2 由f x x2 x m得m x 1 x 2 x2 x 而 x 1 x 2 x2 x x 1 x 2 x2 x 且当x 时 x 1 x 2 x2 x 故m的取值范围为 思路分析 1 分段讨论 求得符合题意的x的取值范围 最后取并集 2 不等式的解集非空 即不等式能成立 转化为求函数的最值处理 7 2017课标全国 理 23 10分 选修4 5 不等式选讲 已知函数f x x2 ax 4 g x x 1 x 1 1 当a 1时 求不等式f x g x 的解集 2 若不等式f x g x 的解集包含 1 1 求a的取值范围 解析本题考查绝对值不等式的求解 1 当a 1时 不等式f x g x 等价于x2 x x 1 x 1 4 0 当x1时 式化为x2 x 4 0 从而1 x 所以f x g x 的解集为 2 当x 1 1 时 g x 2 所以f x g x 的解集包含 1 1 等价于当x 1 1 时f x 2 又f x 在 1 1 的最小值必为f 1 与f 1 之一 所以f 1 2且f 1 2 得 1 a 1 所以a的取值范围为 1 1 方法总结含绝对值不等式问题的常见解法 1 含绝对值不等式的求解问题 常利用零点分段讨论法或数形结合法求解 2 与恒成立相关的求参问题 常构造函数转化为求最值问题 8 2016课标全国 24 10分 选修4 5 不等式选讲已知函数f x x 1 2x 3 1 画出y f x 的图象 2 求不等式 f x 1的解集 解析 1 f x 4分 y f x 的图象如图所示 6分 2 由f x 的表达式及图象知 当f x 1时 可得x 1或x 3 当f x 1时 可得x 或x 5 8分 故f x 1的解集为 x 11的解集为 10分 评析本题主要考查利用零点分段法解含有绝对值的不等式 利用数形结合的思想方法求解更为方便 准确 9 2016课标全国 理 24 10分 选修4 5 不等式选讲已知函数f x 2x a a 1 当a 2时 求不等式f x 6的解集 2 设函数g x 2x 1 当x r时 f x g x 3 求a的取值范围 解析 1 当a 2时 f x 2x 2 2 解不等式 2x 2 2 6得 1 x 3 因此f x 6的解集为 x 1 x 3 5分 2 当x r时 f x g x 2x a a 1 2x 2x a 1 2x a 1 a a 当x 时等号成立 所以当x r时 f x g x 3等价于 1 a a 3 7分 当a 1时 等价于1 a a 3 无解 当a 1时 等价于a 1 a 3 解得a 2 所以a的取值范围是 2 10分 10 2015课标 24 10分 0 48 选修4 5 不等式选讲 设a b c d均为正数 且a b c d 证明 1 若ab cd 则 2 是 a b c d 的充要条件 证明 1 因为 2 a b 2 2 c d 2 由题设a b c d ab cd得 2 2 因此 2 i 若 a b cd 由 1 得 ii 若 则 2 2 即a b 2 c d 2 因为a b c d 所以ab cd 于是 a b 2 a b 2 4ab 是 a b c d 的充要条件 11 2015课标 24 10分 选修4 5 不等式选讲 已知函数f x x 1 2 x a a 0 1 当a 1时 求不等式f x 1的解集 2 若f x 的图象与x轴围成的三角形面积大于6 求a的取值范围 解析 1 当a 1时 f x 1化为 x 1 2 x 1 1 0 当x 1时 不等式化为x 4 0 无解 当 10 解得0 解得1 x1的解集为 5分 2 由题设可得 f x 所以函数f x 的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为a b 2a 1 0 c a a 1 abc的面积为 a 1 2 由题设得 a 1 2 6 故a 2 所以a的取值范围为 2 10分 12 2015陕西 24 10分 选修4 5 不等式选讲 已知关于x的不等式 x a b的解集为 x 2 x 4 1 求实数a b的值 2 求 的最大值 解析 1 由 x a b 得 b a x b a 则解得a 3 b 1 2 2 4 当且仅当 即t 1时等号成立 故 max 4 13 2015湖南 16 3 12分 选修4 5 不等式选讲 设a 0 b 0 且a b 证明 1 a b 2 2 a2 a 2与b2 b 2不可能同时成立 证明由a b a 0 b 0 得ab 1 1 由基本不等式及ab 1 有a b 2 2 即a b 2 2 假设a2 a0得0 a 1 同理 0 b 1 从而ab 1 这与ab 1矛盾 故a2 a 2与b2 b 2不可能同时成立 评析本题考查基本不等式的应用 一元二次不等式的解法 反证法等知识 难度不大 14 2014课标 24 10分 0 430 若a 0 b 0 且 1 求a3 b3的最小值 2 是否存在a b 使得2a 3b 6 并说明理由 解析 1 由 得ab 2 且当a b 时等号成立 故a3 b3 2 4 且当a b 时等号成立 所以a3 b3的最小值为4 2 由 1 知 2a 3b 2 4 由于4 6 从而不存在a b 使得2a 3b 6 15 2013辽宁理 24 10分 已知函数f x x a 其中a 1 1 当a 2时 求不等式f x 4 x 4 的解集 2 已知关于x的不等式 f 2x a 2f x 2的解集为 x 1 x 2 求a的值 解析 1 当a 2时 f x x 4 当x 2时 由f x 4 x 4 得 2x 6 4 解得x 1 当2 x 4时 f x 4 x 4 无解 当x 4时 由f x 4 x 4 得2x 6 4 解得x 5 所以f x 4 x 4 的解集为 x x 1或x 5 4分 2 记h x f 2x a 2f x 则h x 由 h x 2 解得 x 又已知 h x 2的解集为 x 1 x 2 所以 于是a 3 10分 1 2013江西理 15 2 5分 在实数范围内 不等式 x 2 1 1的解集为 c组教师专用题组 答案 0 4 解析原不等式可转化为 1 x 2 1 1 故0 x 2 2 解得0 x 4 故所求不等式的解集为 0 4 2 2013课标全国 理 24 10分 设a b c均为正数 且a b c 1 证明 1 ab bc ca 2 1 证明 1 由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca得a2 b2 c2 ab bc ca 由题设得 a b c 2 1 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 所以3 ab bc ca 1 即ab bc ca 2 因为 b 2a c 2b a 2c 故 a b c 2 a b c 即 a b c 所以 1 3 2013课标全国 理 24 10分 0 147 已知函数f x 2x 1 2x a g x x 3 1 当a 2时 求不等式f x 1 且当x 时 f x g x 求a的取值范围 解析 1 当a 2时 不等式f x g x 化为 2x 1 2x 2 x 3 0 设函数y 2x 1 2x 2 x 3 则y 从函数图象可知 当且仅当x 0 2 时 y 0 所以原不等式的解集是 x 0 x 2 2 当x 时 f x 1 a 不等式f x g x 化为1 a x 3 所以x a 2对x 都成立 故 a 2 即a 从而a的取值范围是 4 2016课标全国 24 10分 选修4 5 不等式选讲已知函数f x m为不等式f x 2的解集 1 求m 2 证明 当a b m时 a b 1 ab 解析 1 f x 2分 当x 时 由f x 1 3分 当 x 时 f x 2 4分 当x 时 由f x 2得2x 2 解得x 1 5分 所以f x 2的解集m x 1 x 1 6分 2 证明 由 1 知 当a b m时 1 a 1 1 b 1 从而 a b 2 1 ab 2 a2 b2 a2b2 1 a2 1 1 b2 0 因此 a b 1 ab 10分 评析本题考查了绝对值不等式的解法及不等式证明 利用零点分区间法求解是关键 5 2014福建 21 3 7分 选修4 5 不等式选讲 已知定义在r上的函数f x x 1 x 2 的最小值为a 1 求a的值 2 若p q r是正实数 且满足p q r a 求证 p2 q2 r2 3 解析 1 因为 x 1 x 2 x 1 x 2 3 当且仅当 1 x 2时 等号成立 所以f x 的最小值等于3 即a 3 2 证明 由 1 知p q r 3 又因为p q r是正实数 所以 p2 q2 r2 12 12 12 p 1 q 1 r 1 2 p q r 2 9 即p2 q2 r2 3 评析本题主要考查绝对值不等式 柯西不等式等基础知识 考查运算求解能力 考查化归与转化思想 6 2014辽宁 24 10分 设函数f x 2 x 1 x 1 g x 16x2 8x 1 记f x 1的解集为m g x 4的解集为n 1 求m 2 当x m n时 证明 x2f x x f x 2 解析 1 f x 当x 1时 由f x 3x 3 1得x 故1 x 当x 1时 由f x 1 x 1得x 0 故0 x 1 所以f x 1的解集为m 2 证明 由g x 16x2 8x 1 4得16 4 解得 x 因此n 故m n 当x m n时 f x 1 x 于是x2f x x f x 2 xf x x f x x f x x 1 x 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 35分钟分值 50分 解答题 共50分 1 2017江苏苏北四市联考 24 已知a b c为正实数 27abc的最小值为m 解关于x的不等式 x 1 2x m 解析因为a b c 0 所以 27abc 3 27abc 27abc 2 18 当且仅当a b c时 取 所以m 18 所以不等式 x 1 2x 所以原不等式的解集为 2 2017南京 盐城第一次模拟考试 21 若实数x y z满足x 2y z 1 求x2 y2 z2的最小值 解析由柯西不等式 得 x 2y z 2 12 22 12 x2 y2 z2 即x 2y z 因为x 2y z 1 所以x2 y2 z2 当且仅当 即x z y 时取等号 所以 x2 y2 z2 min 3 2016江苏苏北四市一模 21 设x y均为正数 且x y 求证 2x 2y 3 解析由题意得x 0 y 0 x y 0 因为2x 2y 2 x y x y x y 3 3 所以2x 2y 3 4 2016南京 盐城第二次模拟 21 解不等式 x 2 x x 2 2 解析当x 2时 不等式化为 2 x x x 2 2 解得 32 解得 22 解得x 2 所以原不等式的解集为 x 30 5 2015江苏常州一模 已知a 0 b 0 证明 a2 b2 ab ab2 a2b 1 9a2b2 证明因为a 0 b 0 所以a2 b2 ab 3 3ab 0 ab2 a2b 1 3 3ab 0 所以 a2 b2 ab ab2 a2b 1 9a2b2 当且仅当a b 1时等号成立 解答题 共50分 1 2017江苏南通 扬州 泰州高三第三次模拟考试 已知a b c d是正实数 且abcd 1 求证 a5