（应用数学专业论文）线性系统二次型性能指标的模糊最优控制.pdf

摘要 线性系统二次型性能指标的模糊最优控制 摘要 随机性 模糊性是存在于现实生活中的两种主要的不确定性 基于可信性空间的 概念 清华大学的刘宝锭教授于2 0 0 8 年提出了模糊过程 刘过程等等 在模糊过程概 念的基础上 朱元国教授提出模糊最优控制的问题 并且给出了模糊最优控制的必要 条件一模糊最优性方程 在这篇论文中 我们将研究线性二次型模型的最优控制问题 即讨论基于模糊微分方程上极大 小 化线性二次目标函数的期望值问题 首先 我 们研究并得到了线性二次型的模糊最优控制的充分必要条件 证明了最优控制是唯一 存在的 其次 对线性时变系统及定常系统二次型进行了讨论 关键词 模糊最优控制 刘过程 模糊最优方程 线性二次型模型 a b s t r a c t 硕士论文 a b s t r a c t r a n d o m n e s s a n df u z z i n e s sa r et w oi m p o r t a n tu n c e r t a i n t y b a s e do nt h ec r e d i b i l i t y s p a c e p r o f e s s o rb a o d i n gl i uo ft s i n g h u au n i v e r s i t yi n t r o d u c e dt h ec o n c e p t so ff u z z y p r o c e s si n2 0 0 8 l i up r o c e s s a n de t c b a s e do nt h ec o n c e p to ff u z z yp r o c e s s z h up r e s e n t e daf u z z yo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e ma n dg a v eaf u n d a m e n t a lr e s u l tc a l l e dt h ee q u a t i o n o fo p t i m a l i t yi nf u z z yo p t i m a lc o n t r 0 1 i nt h i sp a p e r w ew i l lc o n s i d e raf u z z yo p t i m a l c o n t r o lp r o b l e mo fl i n e a rq u a d r a t i cm o d e l t h a ti s w ed i s c u s st h ep r o b l e m o fm a x i m i z i n g m i n i m i z i n g t h ee x p e c t e dv a l u eo fl i n e a rq u a d r a t i co b j e c t i v ef u n c t i o ns u b j e c tt of u z z y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s f i r s to fa l l w eo b t a i nn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ff u z z y l i n e a rq u a d r a t i co p t i m a lc o n t r 0 1 s e c o n d l y w ed i s c u s si n f i n i t et i m el i n e a rq u a d r a t i cm o d e l a n dt i m e i n v a r i a n ts y s t e m s k e y w o r d s f u z z yo p t i m a lc o n t r o l l i up r o c e s s f u z z ye q u a t i o no fo p t i m a l i t y l i n e a r q u a d r a t i cm o d e l i i 声明尸i 刃 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果 尽我所知 在本学 位论文中 除了加以标注和致谢的部分外 不包含其他人已经发表或公布 过的研究成果 也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使用过的 材料 与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文中作了明 确的说明 研究生签名 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档 可以借阅或上 网公布本学位论文的部分或全部内容 可以向有关部门或机构送交并授权 其保存 借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容 对于保密论文 按保密的有关规定和程序处理 一研究生签名 邀杰彗 2 7 年6 月彳日 硕士论文线性系统二次型性能指标的模糊最优控制 1 1 最优控制的发展 第一章引言 最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科 它 是现代控制理论的重要组成部分 由于最优控制问题的引人注目的严格表达形式 更 因空间技术的迫切需要 从而吸引了大批数学家的密切注意 人们发现 最优控制问 题就其本质来说 乃是一变分学问题 然而 经典变分理论只能解决一类简单的最优 控制问题 因为它只对无约束或开集性约束是有效的 而实际上碰得更多的却是容许 控制属于闭集的一类最优控制问题 这就要求人们去探索 求解最优控制问题的新途 径 一种是苏联学者庞特里亚金的 极大值原理 另一种是美国学者贝尔曼的 动 态规划一 受力学中哈密顿原理的启发 庞特里亚金等人首先把 极大值原理一作 为一种推测提出来 随后不久又提出了一种严格的证明 极大值原理 发展了经 典变分原理 成为处理闭集性约束变分问题的强有力工具 动态规划 是贝尔曼 在1 9 5 3 至1 9 5 7 年问逐步创立的 他依据最优性原理 发展了变分学中的哈密顿 雅克比 理论 构成了 动态规划 它是一种适用计算机计算 处理问题范围更广的方法 线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题则是r e 卡尔曼在6 0 年代初提出和解决 的 随着越来越多的方法和结果在数学和计算科学上的应用 最优理论得到了很大的 发展 并且被应用到很多的领域中 例如制造工程 规划 经济和管理 等等 随机最优控制的研究最初在1 9 世纪7 0 年代 例女h m e r t o nf 1 7 在金融方面的研究 一些书研究了关于布朗运动过程或随机微分方程的最优控制及在财务上的应用 例 如f l e m i n g 与r i s h e l 4 h a r r i s o n 5 和k a r a t z a s 6 对于最优控制问题 动态规划是主 要方法之一 d i x i t 与p i n d y c k 3 对动态规划优化i t o 过程进行了讨论 世界的复杂性使得我们面临着各种各样不确定形式的事物 除随机性以外 模糊 性也是重要的不确定性 在现实世界扮演一个必要的角色 人们对不确定性现象的研 究是从随机现象开始的 随机现象的表现形式是事物各种可能发生的结果的不确定 1 第1 章引言硕士论文 性 这种现象从表面上看 杂乱无章 没有什么规律 但实践证明 如果同类的随机 现象大量重复出现 它的总体就会呈现出一定的规律性 比如掷硬币 每一次投掷很 难判断是哪一面朝上 但是如果多次重复的掷这枚硬币 就会越来越清楚的发现正反 面朝上的次数大体相同 在客观世界中 随机现象大量存在 对这种现象的研究也成 为必然趋势 以随机现象为研究对象的概率论就是这样发展起来了 概率论已经大量 应用到了国民经济 工农业生产及各学科领域 所谓模糊现象 是指客观事物之问难以用分明的界限加以区分的状态 它产生于 人们对客观事物的识别和分类 并反映在概念之中 模糊现象的表现形式是事物类属 的不确定性 即事物所呈现的 亦此亦彼 或者 似是而非 的特性 在随机事件的集合 表示法中 集合是确定的 有明确的外延和内涵 在模糊事件的集合表示法中 事件 是确定的 但由于集合内涵和外延的不确定性 而使事件能否归属于集合中 也呈现 出不确定性 例如 高与矮 美与丑 胖与瘦 年轻与年老等等 因此以模糊现象为 研究对象的新兴学科也就应运而生了 这就是由美国控制论专家z a d e h 所创立的模糊数 学 模糊集论自从1 9 6 5 年被控制论科学家z a d e h 1 9 介绍以来 非常迅速地被发展起 来 z a d e h 用隶属函数描述一个模糊集 为测量模糊事件 1 9 7 8 年 z a d e h 2 0 提出了 可信性测度和模糊变量的概念 2 0 0 2 年 刘 1 2 介绍了可信性测度的概念 基于可信性 测度 2 0 0 4 年 刘宝碇教授 9 创立了可信性理论 并且发展成为模糊数学的一个重要 分支 模糊变量被定义为从可信性空间到实数集的函数 与随机过程和布朗运动相对 应 近年来 刘宝碇教授 1 1 介绍了模糊过程和c 过程 我们也把c 过程称为刘过程 这门学科已应用n t 模糊优化问题中 2 0 0 8 年 朱元国教授 2 1 1 介绍并用动态规划处 理了模糊最优控制问题 得到模糊最优性原则和模糊最优方程 目前这门学科已涉及 应用数学 自然科学 人文科学和管理科学等方面 在图象识别 人工智能 自动控 制 信息处理 经济学 心理学 社会学 生态学 语言学 管理科学 医疗诊断 哲学研究等领域中 都得到了广泛的应用 2 硕士论文线性系统二次型性能指标的模糊最优控制 1 2 本文的主要内容 为了掌握带有模糊过程的最优控制问题 2 0 0 8 年 朱元国教授 2 1 提出模糊最优 控制的问题 并且给出模糊最优性原则及模糊最优方程 在这篇文章中 我们将要利 用模糊最优方程来研究一类特殊的模糊最优控制问题 本文的其他章节作如下安排 第二章我们首先回顾可信性理论的相关内容 包括可信性测度 模糊变量的定义 其 次 介绍刘过程定义及相关概念 再次 对模糊微分方程及解的存在条件做了简要的 介绍 最后 介绍了模糊控制系统及模糊最优控制问题的最优性方程 第3 章 我们首 先给出了有限时间状态下的一般线性二次型模型并对其进行了研究 得出最优控制存 在的充分必要条件及最优值 第4 章 分别对线性时变系统 定常系统二次型模型进行 了研究 其中时变系统分为有限时间状态 无限时间状态两种情况 在本章里还证明 了最优控制是唯一存在的 3 第2 章预备知识硕士论文 第二章预备知识 2 1可信性测度与模糊变量 为了方便 我们首先回顾一些有关的概念 设e 是一个非空集合 于为e 的幂指 数集 在于中的每一个元素都叫做一个事件 为了提出可信性的公理化定义 我们 用c r a 表示事件a 将要发生的可信性 为了确保c r a 具有一定的数学特性 我们 定义以下四条公理 公t n l c r o 1 公理2 c r a c r b n a cb 公理3 c r 是自对偶的 h p c r a c r a 1 对任意的a 于 e 公理4 c r u ta i s u p ic r a i 对任意的 a 当c r a i 0 5 定义2 1 1 仁i u 1 e j i 殳e 非空集合 于 e 为e 的幂集 如g c r 在v e 上满足以上四 条公理 则称为可信性测度 定义2 1 2 仁纯p 2 j i 殳 e 非空集合 于 e 为e 的幂集 且c r 为可信性测度 则三元 组 e 9 e c r 称为可信性空间 定义2 1 3 仁i u 口镬胆设 为一从可信性空间 e 9 e c r 到实数的一个函数 则称专 是一个模糊变量 定义2 1 4 仁i 让口影膜糊变量 被称为 a 非负的 如果c r o o b 正的 如果c r o o c 连续的 如果c r z 是z 的连续函数 4 硕士论文 线性系统二次型性能指标的模糊最优控制 d 简单的 如果存在一有限的数列 z 1 x 2 z m 使得 c r z 1 f x 2 f z m o e 离散的 如果存在可数数列 z 1 z 2 使得 2 2 模糊过程与刘过程 c r x l f x 2 0 基于可信性空间 l i u 1 1 介绍了模糊过程 刘过程等等 定义2 2 1 仁i 让 1 1 f i 殳 t 是指标集 0 于 c r 是可信性空间 模糊过程是t e 于 c r 到实数集的一个函数 也就是说 模糊过程x t 口 是两个变量的函数 对于每一个固定的亡 函 数x t 秽 都是一个模糊变量 对于每一个固定的矿 函数x t 矿 叫做模糊过程的简单 路径 定义2 2 2 l i u 口玑模糊过程简记为五 如果对于任意时刻亡o t l o 增量五 一五对于所有的s 0 是同分布的模糊变量 则 称模糊过程五有静态增量 定义2 2 3 l i u j 形膜糊过程g 如果满足 i c o 0 i i g 有静态和独立的增量 i i i 每一个增量g t c 是一个期望为e 亡 方差为口2 t 2 的正态分布模糊变量 它的隶 属函数 出冲 1 唧 帮 x er 第2 章预备知识 硕士论文 那么g 就称为刘过程 参数e 和盯分别是漂移系数和扩散系数 若e 0 并且口 1 则称刘过程为标准刘 过程 刘过程与布朗运动有着同样的作用 2 3 模糊微分方程 模糊微分方程由l i u 1 l 在2 0 0 8 年提出 它是一类源于刘过程的的微分方程 就如 随机微分方程是一类源于布朗运动的微分方程 定义2 3 1 l i u 口j 胆g 是一个标准刘过程 并且 和9 是给定的函数 那么 d x t f t x t d t g t x t d c t 2 1 就是模糊微分方程 解是一个满足 2 1 的模糊过程咒 定义2 3 2 g h e n 删具有以下形式的模糊微分方程 d x t a t x t z t d t 魂k 7 t d g 2 2 叫做一般线性模糊微分方程 在这里q 反 况 m 是给定的模糊过程 并且是关于t 的连 续函数 定理2 1 c h e n 劬模糊微分方程 d 五 f t x t d t g t x t d c t 2 3 有唯一的解 如果系数 z t 和9 z t 满足李普希茨条件 i f x t 一f y 亡 i i g x t 一夕 可 t i i l x y l 秽z y r t 0 和线性条件 l f x 亡 l l g x t i l 1 z i 1 毋z r t 0 6 硕士论文 线性系统二次型性能指标的模糊最优控制 模糊最优控制就是选择最好的决策 使得与模糊微分方程中的模糊过程有关的目 标函数是最优的 由于目标函数对于任何决策都是模糊变量 我们不能把它作为一个 实函数优化它 问题是我们怎样比较两个不同的模糊变量 或者怎样决定它们哪一个 大 事实上 有很多方法解决这个问题 但是 没有任何方法是最好的 这些方法都 是由一些标准而建立 例如 期望值 乐观值 可信性 8 现在 我们利用以期望值为基础的方法来优化模糊目标函数 也就是说 如果一 个模糊变量的期望值大于其他模糊变量的期望值 我们就说这个模糊变量大于其他的 模糊变量 2 4 模糊最优控制模型 p 竺 曼 协4 j z s u 孑pe z j 毛 z s d s j t a t x h x t 第2 章预备知识 硕士论文 注1 最优性方程给出的是一个必要条件 如果方程有解 那么最优决策和目 标函数的最优值就被确定 如果函数f 是凸函数 那么方程将有一个极小值 如果函数f 是凹函数 那么方程将有一个极大值 我们注意到方程的边界条件 f l 0 当t 0 对于任意的z t 和x 亡 可得 故对于最优控制召同样得到 因此 b 如果亡o t l t 2 那么 j x t 0 j x t 三尸 t z 2 t o p t 0 p t o 0 t 1 p t o 0 t 2 p t 2 s t t 表示黎卡提方程末态边值条件为2 蹄 末态时刻为t 时的解 当曲 0 时 p t 0 t 表示末态边值为o 末态时刻为t 时的黎卡提方程的解 若 是初始时 刻 贝u p t o 0 t 1 和p t o 0 t 2 分别表示末态边值为o 末态时刻为 1 和亡2 的黎卡提方 程的解 如果片 z t t x t t 和龙 召 t 鹭 t 分别表示末态时刻为 1 和t 2 时的最优值 15 第4 章特殊的线性二次型模糊最优控制 硕士论文 最优控制和最优状态 根据最优性及t l t 2 易知 j r e 露f 亡 x 2 亡 g z f 2 t d 胡 e 口f 亡 墨2 亡 g t z 2 疵 e 它f t 埘2 t g 亡 召2 亡 捌 龙 表明对任意z t o 当亡1 0 时 令 百d p t 2 f 亡 一2 a 州亡 酉f l t 2 p t 2 邶 州 由于 i f p 1 巩旷肥 i f 2 q 肿 一跳 器 啪 一珊 i 陋卅i 筹 肿m 忙 p 2 圳 m i p t t 一忍 t 1 其中 m 是一常数 从而p t 满足李普希茨条件 根据模糊微分方程的解的存在唯一 性定理 可知在n n t t k p t 是唯一存在的 d 对于任意的 t l t 2 成立 p t 2 s t t 2 p t p h 2 s t t 2 t 1 4 4 硕士论文 线性系统二次型性能指标的模糊最优控制 由p 亡 性质 a 知p t 1 2 s t t 2 是非负的 式 4 4 的左右同是黎卡提方程满足同样 边界条件的解 可知式 4 4 的关系是成立的 4 1 3 模糊最优控制唯一存在性 定理4 2 当t o o 时 线l 生二次型的模糊最优控制召是唯一存在的 证明 必要条件 定理4 1 给出了最优控制的充分必要条件是 由p t 的性质 c 可知露存在 充分条件 由 可知 令 冒 一螋2 a o 召 一1 f l t 孺p t 厂 x d x 口 霹 亡 露 蹴 6 亡 群 矿0 z d c t 邮 墨一紫 出 酢 耳一警 觋 耳 t a 亡 胃一 f 1 2 t 湎 p t 厂 x 夕 嚣 亡 群一 a t 面f l t 万p t 一x 根据p 亡 的性质 c 及t o o 可知尸 亡 是单调有界的 而a 亡 p 亡 6 t 盯 t g 一1 亡 1 7 第4 章特殊的线性二次型模糊最优控制 硕士论文 是关于t 的连续有界函数 则有 i f x t 一f y 亡 f i g x t 一g y t 和 一掣卜可i 水 一嘴铲卜可 1 口 i 1 3 2 t p t l l 石 l l 帮1 l z 一可 l i x y 列黼 圳 m 一帮卜 一驾铲i l 茹 1 q l 1 3 2 t p t 1 6 i ia t 2 1 3 g t t p t 1 l z l 1 i x l 由模糊微分方程解的唯一性定理 可知x f 是唯一的 因此模糊最优控制是唯一的 4 1 4 无限时间状态下的线性二次型的模糊最优控制 e 竺三 蚬一 汪5 硕士论文 线性系统二次型性能指标的模糊最优控制 这就是说 在t 时刻给定任意的k 至少存在一个与五 t 有关的时间t 1 使得 在t 陋1 五 0a 8 无限时间状态下的线性二次型模型有如下结论 冒 一酉f l t p t x 其中雨是如下黎卡提方程的非负解 j 孕 2 阶2 雨 圃2 g t l p o o 0 t 山 丢砾2 埘 命题1 在定理4 3 的假定条件下 p t p t 0 o o l i mp t 0 t 证明 因为系统完全能控 所以对任意x t t 仕o 比存在控制z 和t l 使 得t i t l o 时咒乎处处为零 尽管z t 定义在区r e t o t l 上 我们可以在t l 之后 置z 为零 将z 的定义区间延拓定义在i t o 0 0 上 显然 在t l 时刻后系统仍保持 零状态 9 第4 章特殊的线性二次型模糊最优控制 硕士论文 对于t 0 时 最优控制满足如下方程 刃 一掣 其中 p l i mp t 0 t p t 0 1 是代数黎卡提方程 2 p a 一壁2 g 2 f 的非负解 从任意初态z 亡o 开始的最优值为 x o t o 壶磁 1 p t 0 0 0 的定常性 p t 0 o l i mp t 0 t 1 0 0 并且p t 0 t 是黎卡提方程 篙 2 即时譬 的解 对于非时变黎恰提方程 可知p t 0 t 仅与t t 有关 即 p t 0 o 一l i mp t 0 t o o l i mp o 0 t t 1 o c o 第4 章特殊的线性二次型模糊最优控制硕士论文 上式表明p o 0 0 0 是与t 无关的常数 令p t 0 o o p 从而证明t p t 0 t p 对一切亡 一o o 0 0 都成立 2 p t 0 是黎卡提方程的解 并且f l i mp t 0 t 一o o p t 0 o 是黎卡提方程 掣 2 f 2 一p 岫 百卢2 p t 2 的解 但 1 已经证明t p t 0 0 0 芦是常数 因而 p 必满足黎卡提代数方程 掰埘p a 譬一o 这就是说 既可以通过解黎卡提代数方程而求得 也可以通过黎卡提 微分 方程取其 稳定解而得到 并有 p 一l i mp t 0 t t o o 1 i r ap 0 0 t t t l i mp o 0 t 一亡 t p 一 l i mp t 0 t t o o 3 f 的非负性 根据性质3 可知定常情况下最优值为 可1 2 o o 叫f 躅2 g z 2 d t 因为f 0 g 0 和p 舌 0 o o 一p 故 0 和i l z f o 因此 0 综匕论证 我们得出定理4 4 2 4 硕士论文 结论 结论 本文分别对线性时变系统 定常系统二次型模型进行了研究 其中时变系统分为 有限时间状态 无限时间状态两种情况 首先 给出了有限时间状态下的一般线性二 次型模型并对其进行了研究 得出模糊最优控制存在的充分必要条件及最优值 其 次 给出特殊的线性二次型的有限时间模型并证明了模糊最优控制的唯一存在性 最 后 对无限时间模型及定常系统分别进行了讨论并得到相应的结论 结果表明 对于 特殊的线性二次型模型 只要满足一定的限制条件 问题便归结为求解黎卡提方程 致谢 硕士论文 致谢 值此论文即将完成之际 我要感谢我的导师朱元国教授 感谢朱老师对我的精心 培养和悉心指导 朱老师工作上严谨 务实 学术上孜孜不倦 生活中平易近人 使 我受益匪浅 耐心地传道 授业 解惑 使我知识面的广度和深度得到了很大的扩 展 使我不仅学到了一定的专业知识 还学到了乐观积极的人生态度 为人做事的原 则 其次 我要感谢我的家人 特别是我的父母和弟弟 感谢他们对我的无限支持和 理解 如果没有他们的鼓励和支持 我的学业和生活不会如此的顺利和美好 最后 我要感谢研究生期间共同学习和生活的同学 朋友 他们给我提出的意见 和帮我解决难题 在此我向他们表示衷心的感谢 2 6 硕士论文 参考文献 参考文献 1 1 c h e nx f u z z yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n h t t p o r s c e d u c x w c h e n f d e p d l 2 j c h e nx an e we x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e mf o rf u z z yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s h t t p o r s c e d u c n o n l i n e 0 8 1 2 3 0 p d f 3 d i x i tak p i n d y c krs i n v e s t m e n tu n d e ru n c e r t a i n t y p r i n c e r t o n p r i n c e r t o n u n i v e r s i t yp r e s s 1 9 9 4 4 1 4f l e m i n gwh r i s h e lrw d e t e r m i n i s t i ca n ds t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o l n e wy o r k s p r i n g e r v e r l a g 1 9 8 6 5 h a r r i s o njm b r o w n i a nm o t i o na n ds t o c h a s t i cf l o ws y s t e m s n e wy o r k j o h nw i l e y a n ds o n s 1 9 8 5 f 6 k a r a t z a si o p t i m i z a t i o np r o b l e m si nt h et h e o r yo fc o n t i n u o u st r a d i n g s i a mj o u r n a lo nc o n t r o la n do p t i m i z a t i o n v 0 1 2 7 n o 61 2 2 1 1 2 5 9 1 9 8 9 7 k a oe pc a ni n t r o d u c t i o nt os t o c h a s t i cp r o c e s s e s w a d s w o r t hp u b l i s h i n gc o m p a n g v 0 1 1 3 7 4 4 2 0 1 9 9 7 8 l i ub t h e o r ya n dp r a c t i c eo fu n c e r t a i np r o g r a m m i n g h e i d e l b e r g p h y s i e a v e r l a g 2 0 0 2 9 l i ub u n c e r t a i n t yt h e o r y a ni n t r o d u c t i o nt o 幻a x i o m a t i cf o u n d a t i o n s b e r l i n s p r i n g e r v e r l a g 2 0 0 4 1 0 1l i ub u n c e r t a i n t yt h e o r y 2 n de d b e r l i n s p r i n g e r v e r l a g 2 0 0 7 11 l i ub f u z z yp r o c e s s p r o c e s sa n du n c e r t a i np r o c e s s j o u r n a ld u n c e r t a i ns y s t e r m s v 0 1 2 n o 1 3 1 6 2 0 0 8 线性系统二次型性能指标的模糊最优控制 硕士论文 1 2 l i uba n dl i uyk e x p e c t e dv a l u eo ff u z z yv a r i a b l ea n df u z z ye x p e c t e dv a l u e m o d e l s i e e et r a n s a c t i o n so nf u z z ys y s t e m s v 0 1 1 0 n o 4 4 4 5 4 5 0 2 0 0 2 1 3 l i uy a n dl i ub f u z z yr a n d o mv a r i a b l e s a s c a l a re x p e c t e dv a l u eo p r a t o r f u z z y o p t i m i z a t i o na n dd e c i s i o nm a k i n g v 0 1 2 n o 2 1 4 3 1 6 0 2 0 0 3 1 4 l i uy a n dl i ub e x p e c t e dv a l u eo p e r a t o ro fr a n d o mf u z z yv a r i a b l ea n dr a n d o m f u z z ye x p e c t e dv a l u em o d e l s i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo fu n c e r t a i n t y f u z z i n e s sa n d k n o w l e d g e b a s e ds y s t e m s v 0 1 11 n o 21 9 5 2 1 5 2 0 0 3 1 5 l i ub a n dl i uy e x p e c t e dv a l u eo ff u z z yv a r i a b l ea n df u z z ye x p e c t e dv a l u em o d e l s i e e et r a n s a c t i o n so nf u z z ys y s t e m s v 0 1 1 0 n o 44 4 5 4 5 0 2 0 0 2 1 6 l i u b u n c e r t a i n t yt h e o r y 3 r de d h t t p o r s c e d u c n f l i u u t p 够 2 0 0 8 1 7 m e r t o nrc o p t i m a lc o n s u m p t i o na n dp o r t f o l i or u l e si nac o n t i n u o u st i m em o d e l j o u r n a lo fe c o n o m i ct h e o r y v 0 1 3 3 7 3 4 1 3 1 9 7 1 i s q i nz af u z z yc o n t