高考数学二轮复习 第二部分 高考22题各个击破 专题四 数列 4.2.1 等差、等比数列与数列的通项及求和课件 文.ppt

4 2数列大题 2 3 4 5 1 求通项公式的常见类型 1 已知an与sn的关系或sn与n的关系 利用公式 2 等差数列 等比数列求通项或转化为等差 比 数列求通项 3 由递推关系式求数列的通项公式 形如an 1 an f n 利用累加法求通项 形如an 1 anf n 利用累乘法求通项 6 2 数列求和的常用方法 1 公式法 利用等差数列 等比数列的求和公式 2 错位相减法 适合求数列 an bn 的前n项和sn 其中 an bn 一个是等差数列 另一个是等比数列 3 裂项相消法 即将数列的通项分成两个式子的代数和 通过累加抵消中间若干项的方法 4 拆项分组法 先把数列的每一项拆成两项 或多项 再重新组合成两个 或多个 简单的数列 最后分别求和 5 并项求和法 把数列的两项 或多项 组合在一起 重新构成一个数列再求和 适用于正负相间排列的数列求和 7 3 数列单调性的常见题型及方法 1 求最大 小 项时 可利用 数列的单调性 函数的单调性 导数 2 求参数范围时 可利用 作差法 同号递推法 先猜后证法 4 数列不等式问题的解决方法 1 利用数列 或函数 的单调性 2 放缩法 先求和后放缩 先放缩后求和 包括放缩后成等差 或等比 数列再求和 或者放缩后裂项相消再求和 4 2 1等差 等比数列与数列的通项及求和 9 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 等差 等比数列的通项及求和 例1等差数列 an 中 a3 a4 4 a5 a7 6 1 求 an 的通项公式 2 设bn an 求数列 bn 的前10项和 其中 x 表示不超过x的最大整数 如 0 9 0 2 6 2 解 1 设数列 an 的公差为d 由题意有2a1 5d 4 a1 5d 3 10 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 所以数列 bn 的前10项和为1 3 2 2 3 3 4 2 24 解题心得对于等差 等比数列 求其通项及前n项和时 只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可 11 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练1 2017全国 文17 已知等差数列 an 的前n项和为sn 等比数列 bn 的前n项和为tn a1 1 b1 1 a2 b2 2 1 若a3 b3 5 求 bn 的通项公式 2 若t3 21 求s3 解设 an 的公差为d bn 的公比为q 则an 1 n 1 d bn qn 1 由a2 b2 2得d q 3 1 由a3 b3 5 得2d q2 6 因此 bn 的通项公式为bn 2n 1 12 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 2 由b1 1 t3 21得q2 q 20 0 解得q 5或q 4 当q 5时 由 得d 8 则s3 21 当q 4时 由 得d 1 则s3 6 13 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 可转化为等差 等比数列的问题 例2已知 an 是公差为3的等差数列 数列 bn 满足b1 1 b2 anbn 1 bn 1 nbn 1 求 an 的通项公式 2 求 bn 的前n项和 解 1 由已知 a1b2 b2 b1 b1 1 b2 得a1 2 所以数列 an 是首项为2 公差为3的等差数列 通项公式为an 3n 1 14 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解题心得无论是求数列的通项还是求数列的前n项和 通过变形 整理后 能够把数列转化为等差数列或等比数列 进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题 15 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练2设 an 是公比大于1的等比数列 sn为数列 an 的前n项和 已知s3 7 且a1 3 3a2 a3 4构成等差数列 1 求数列 an 的通项 16 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 求数列的通项及错位相减求和例3 2017天津 文18 已知 an 为等差数列 前n项和为sn n n bn 是首项为2的等比数列 且公比大于0 b2 b3 12 b3 a4 2a1 s11 11b4 1 求 an 和 bn 的通项公式 2 求数列 a2nbn 的前n项和 n n 解 1 设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q 由已知b2 b3 12 得b1 q q2 12 而b1 2 所以q2 q 6 0 又因为q 0 解得q 2 所以 bn 2n 由b3 a4 2a1 可得3d a1 8 由s11 11b4 可得a1 5d 16 联立 解得a1 1 d 3 由此可得an 3n 2 所以 an 的通项公式为an 3n 2 bn 的通项公式为bn 2n 17 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 2 设数列 a2nbn 的前n项和为tn 由a2n 6n 2 有tn 4 2 10 22 16 23 6n 2 2n 2tn 4 22 10 23 16 24 6n 8 2n 6n 2 2n 1 上述两式相减 得 tn 4 2 6 22 6 23 6 2n 6n 2 2n 1 3n 4 2n 2 16 得tn 3n 4 2n 2 16 所以 数列 a2nbn 的前n项和为 3n 4 2n 2 16 18 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解题心得求数列通项的基本方法是利用等差 等比数列通项公式 或通过变形转换成等差 等比数列求通项 如果数列 an 与数列 bn 分别是等差数列和等比数列 那么数列 an bn 的前n项和采用错位相减法来求 19 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练3 2017山西太原二模 文17 已知数列 an 的前n项和sn 数列 bn 满足bn an an 1 n n 1 求数列 bn 的通项公式 当n 1时也成立 an n bn an an 1 n n 1 2n 1 20 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 数列 cn 的前n项和tn 22 2 23 3 24 n 2n 1 2tn 23 2 24 n 1 2n 1 n 2n 2 tn n 1 2n 2 4 21 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 求数列的通项及裂项求和 例4 2017全国 文17 设数列 an 满足a1 3a2 2n 1 an 2n 1 求 an 的通项公式 解 1 因为a1 3a2 2n 1 an 2n 故当n 2时 a1 3a2 2n 3 an 1 2 n 1 两式相减得 2n 1 an 2 22 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解题心得对于已知等式中含有an sn的求数列通项的题目 一般有两种解题思路 一是消去sn得到f an 0 求出an 二是消去an得到g sn 0 求出sn 再求an 把数列的通项拆成两项之差 求和时中间的项能够抵消 从而求得其和 注意抵消后所剩余的项一般前后对称 23 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练4 2017陕西渭南二模 文17 已知 an 为公差不为零的等差数列 其中a1 a2 a5成等比数列 a3 a4 12 1 求数列 an 的通项公式 解 1 设等差数列 an 的公差为d a1 a2 a5成等比数列 a3 a4 12 an 2n 1 n n 24 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 故所求的n 1009 25 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 涉及奇偶数讨论的数列求和例5已知等差数列 an 的前n项和为sn 且a1 2 s5 30 数列 bn 的前n项和为tn 且tn 2n 1 1 求数列 an bn 的通项公式 2 设cn 1 n anbn lnsn 求数列 cn 的前n项和 d 2 an 2n 对数列 bn 当n 1时 b1 t1 21 1 1 当n 2时 bn tn tn 1 2n 2n 1 2n 1 当n 1时也满足上式 bn 2n 1 26 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 2 cn 1 n anbn lnsn 1 nanbn 1 nlnsn lnsn lnn n 1 lnn ln n 1 而 1 nanbn 1 n 2n 2n 1 n 2 n 设数列 1 nanbn 的前n项和为an 数列 1 nlnsn 的前n项和为bn 则an 1 2 1 2 2 2 3 2 3 n 2 n 则 2an 1 2 2 2 2 3 3 2 4 n 2 n 1 得3an 1 2 1 2 2 2 3 2 n n 2 n 1 27 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 当n为偶数时 bn ln1 ln2 ln2 ln3 ln3 ln4 lnn ln n 1 ln n 1 ln1 ln n 1 当n为奇数时 bn ln1 ln2 ln2 ln3 ln3 ln4 lnn ln n 1 ln n 1 ln1 ln n 1 由以上可知 bn 1 nln n 1 28 考向一 考