一元函数微分学的应用.doc

第四章 一元函数微分学的应用第四章 一元函数微分学的应用本章教学要求1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理.2.熟练掌握会用洛必达法则求未定式的极限.3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法.4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题.5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形.重点：微分中值定理，用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题.难点：函数的最大值与最小值及其应用问题.第一节 中值定理与洛必达法则一、罗尔定理1、罗尔定理 罗尔定理 如果函数在团区间上连续，在开区间内可导，且在区间端点的函数值相等，即，那末在内至少有一点，使得函数在该点的导数等于零：。几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线是水平的。证明 由于在闭区间a,b上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，在闭区间a,b上必定取得它的最大值M和最小值m，这样只有两种可能情形：（1）。这时在区间a,b是必然取相同的数值M：。由此有，因此可以取（a,b）内任意一点作为而有。（2）。因为，所以M和m这两个数中至少有一个不等于在区间a,b的端点处的函数值。为确定起见，不妨设（如果设，证法完全类似），那末必定在开区间（a,b）内有一点使。下面证明在点处的导数等于零：。因为是开区间（a,b）内的点，根据假设可知存在，即极限存在。而极限存在必定左、右极限都存在并且相等，因此由于是在a,b上的最大值，因此不论是正的还是负的，只要在a,b上，总有，即 。当时，从而，根据函数极限性质有，同理，当时，从而 ，因此必然有 注意: 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.试看下例:端点的值不等, 非开区间可导, 非闭区间连续, 2、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那末在内至少有一点，使等式 (1)成立。注意：与罗尔定理相比条件中去掉了，结论亦可写成 (2)几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线平行于弦AB。(是弧的斜率，为曲线在点处的切线斜率) 分析：条件中与罗尔定理相差。从上图中看到，有向线段NM的值是x 的函数，把它表示为，它与有密切的联系，且当及时，点M与点N重合，即有。为求得函数的表达式，设直线AB的方程为，则由于点M、N的纵坐标依次为及，故表示有向线段NM的值的函数定理的证明 :引进辅助函数容易验证函数适合罗尔定理的条件：；在闭区间 a,b上连续，并在开区间内可导，且根据罗尔定理，可知在内至少有一点，使=0，即由此得 ，即 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 拉氏中值定理是微分学中最基本的一个定理，有广泛的应用。我们对它特别给出如下重要注解:、当时式子(2)仍然成立。、设， ( 或 )，在区间 ( ) 或 ( )上使用拉氏中值定理，我们有由于可正可负，因此，无法确定是区间，还是区间，因此，我们只能讲“在 与 之间”。如下图所示，可表示成为：更一般地，在或上使用拉氏中值定理有：推论1) 如果函数在区间I上的导数恒为零，那末在区间I上是一个常数。证 在区间I上任取两点、（），应用（）式就得由假定，所以，即因为、是上任意两点，所以上面的等式表明：在I上的函数值总是相等的，这就是说，在区间I上是一个常数。推论2) 如果对内任意,均有,则在内与之间只差一个常数,即证:令,则 ,由推论1知, 在内为一常数,即,证毕。例1 证明当时，证 设，显然在区间0，x上满足拉格朗中日值定理的条件，根据定理，应用由于，因此上式即为又由，有，即 。3、柯西中值定理柯西中值定理 如果函数及在闭区间上连续，在开区间内可导，且在内的每一点处均不为零，那末在内至少有一点，使等式 （3）成立。柯西中值定理的几何意义也十分明显，考虑由参数方程所表示的曲线视为参数曲线上点处的切线斜率为弦的斜率为 假定点对应于参数，那未曲线点处切线平行于弦，于是 证 首先注意到，这是由于其中，根据假定，又，所以作辅助函数容易验证，这个辅助函数适合罗尔定理的条件：；在闭区间a,b内可导且根据罗尔定理，可知在（a,b）内必定有一点使得=0，即由此得 定理证毕。很明显，如果取，那末，因而公式（3）就可以写成：这样就变成格朗日中值公式了。注意:罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件(反例)； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.二、洛必达法则1、或未定式解法：洛必达法则定义：如果（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那末极限可能存在、也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式，并分别简记为或。比如，就是未定式的一个例子。定理 设（1）当时，函数及 （2）当的某去心邻域内，及都存在且；（3）存在（或为无穷大）；则 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.证 因为求当时的极限与及无关，所以可以假定，于是由条件（1）、（2）知道及在点a的某一邻域内是连续的。设x是这邻域内的一点，那末在以x及a为端点的区间上，柯西中值定理的条件均满足，因此有 （在与之间）。令，并对上式两端求极限，注意到时，再根据条件（3）便得要证明的结论。如果当时仍属型，且这时，能满足定理中，所要满足的条件，那末可以继续使用洛必达法则先确定，从而确定，即且可以依次类推。例2 求解 例3 求解： 注意：上式中的已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致错误结果，以后使用洛必达法则时应当经常注意这一点，如果不是未定式，就不能应用洛必达法则。例4 求解 为了更好地使用这一定理求极限，给出几点重要注解：此定理用来处理时的型不定式极限问题。这种通过分子与分母导数之比的极限来确定不定式极限的方法称之为罗必达法则。如果极限仍属于型， 且、又满足定理中的条件，则可以再使用罗必达法则。即如果不存在，不能断言也不存在，只能说明该极限不适合用罗必达法则来求。反例：极限 存在，而使用罗必达法则 不存在。2. 型我们指出，对于时的未定式，以及对于或时的未定式，也有相应的洛必达法则，例如，对于时的未定式有：如果（1）当，函数及（2）当时与都存在，且；（3）存在（或为无穷大）；那末 例5 求解：例6 求解 例7 求解：相继应用洛必达法则n次，得注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.3、型的未定式解法关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型和.（1）、型步骤: 或例8 求解 这是未定式0，因为，当时，上式右端是未定式，应用洛必达法则，得（2）、型步骤: 例9 求解 这是未定式。因为，当时，上式右端是未定式，应用洛必达法则，得3).、型步骤:例10 求解 这是未定式00，设，取对数得，当时，上式右端是未定式0，应用例7的结果，得因为，而所以 例11 求解 注意：洛必达法则的使用条件,熟悉一些反例.小结:1、基本知识点：三个中值定理、未定式、洛必答法则2、重点掌握洛必达法则、洛必达法则适用条件、可转变为未定式的函数的极限的求解第二节 函数单调性的判定法第一章第一节中已经对函数的单调性作过描述，下面看看函数的单调性是否与导函数的符号有关呢?为此，我们进一步地作图，希望从中获得更多的感性认识。函数在上单调增加(减少)，则它的图形是一条沿轴正向上升(下降)的曲线， 曲线上各点处的切线之斜率均为正的(负的)，即： ()这表明：函数的单调性确实与其导数的符号有关，因此，可以利用导数的符号来判定函数的单调性。一、函数单调性的判定法：定理：设函数在a,b上连续，在（a,b）内可导。（1）如果在（a,b）内，那末函数在a,b上单调增加；（2）如果在（a,b）内，那末函数在a,b上单调减少。证明：在a,b上任取两点、（），应用拉格朗日中值定理，得到由于在（1）式中，因此，如果在（a,b）内导数保持正号，即，那末也有，于是即 表明函数在a,b上单调增加。同理，如果在（a,b）内导数保持负号，即，那末，于是，即，表明函数在a,b上单调减少。例1 判定函数在0，2上的单调性。解 因为在（0，2）内所以由判定法可知，函数在0，2上单调增加。例2 讨论函数解 函数的定义域为（，+），因为在（，0）内，所以函数在（，0）上单调减少；因为在（0，+）内，所以函数在0，+上单调增加。注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.二、单调区间求法问题: 如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点例3 确定函数的单调区间。解 这函数的定义域为（，），求这函数的导数：解方程，即解得出它在函数定义域（，）内的两个根、。这两个根把（，）分成三个部分区间，1,2及。在区间（，1）内，所以。因此，函数在内单调增加。在区间（1，2）内，、，所以。因此，函数在1，2上单调减少。在区间（2，+）内，、，所以。因此，函数在上单调增加。例4 讨论函数的单调性。解 这函数的定义域为（，）。函数的导数。显然，除了点使，在其余各点处均有。因此函数在区间及上都是单调增加的，从而在整个定义域（，）内是单调增加的，在处曲线有一水平切线。函数的图形如图38所示。注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例5 证明：当时，。证 令，则在上连续，在（1，+）内，因此在上单调增加，从而当时，。由于，故，即亦即 利用函数的单调性可以证明较为复杂的函数不等式。例6 试证明：当时， 有 解:作辅助函数 ，当时， ， ，故 ，在上单调增加，从而有 ，而 ，于是 ，在上也单调增加。从而有 ，即 。该证明方法十分典型，对于一些较精细的函数不等式的证明可借助下法。查查获得所需不等式利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.小结：1、基本知识点：单调性的判定法、求单调区间、应用单调性证明不等式2、重点理解判定定理的条件（如前面的注意），掌握用应用单调性证明不等式的方法第三节 函数的极值与最值一、函数的极值1、极值的定义设函数在区间内有定义，点是内的一点。若存在点的一个邻域，对于该邻域内任何异于的点，不等式 ()成立，称是函数的一个极大值(极小值)；称点是函数 的极大值点(极小值点)。函数的极大值与极小值统称为函数的极值； 使函数取得极值的点统称为极值点。关于函数的极值，如下几点注记是十分重要的。函数的极值概念是一个局部概念。如果是函数的一个极大值，那只是对的一个局部范围来说是 的一个最大值。但对于整个函数的定义域来说，就不一定是最大值了。对于极小值也是类似的。极小值有可能较极大值更大。如图： ( 是极大值， 而是极小值 )从图中可看出，在函数取得极值之处，曲线具有水平的切线。换句话说：函数在取得极值的点处，其导数值为零。2、函数极值的求法函数极值存在的必要条件定理1 设函数在点处可导，且在处取得极值，那末这函数在处的导数为零，即。证 为确定起见，假定是极大值（极小值的情形可类似地证明）。根据极大值的定义，在的某个去心邻域内，对于任何点x，均成立。于是，当时，因此 ；当时因此 ；从而得到定义：使导数为零的点（即方程的实根）叫做函数的驻点。注意：可导函数的极值点必定是它的驻点，但函数的驻点却不一定是极值点。例如的导数，因此是这可导函数的驻点，但却不是这函数的极值点。函数极值存在的第一种充分条件定理2 设函数在点的一个邻域内可导且。（a）如果当取左侧邻近的值时，恒为正；当取右侧邻近的值时，恒为负，那末函数在处取得极大值；（b）如果当取左侧邻近的值时，恒为负；当取右侧邻近的值时，恒为正，那末函数在处取得极小值；（c）如果当取左右两侧邻近的值时，恒为正或恒为负，那末函数在处没有极值。定理2也可简单地这样说：当在的邻近渐增地经过时，如果的符号由正变负，那末在处取得极大值；如果的符号由负变正，那末在处取得极小值；如果的符号并不改变，那末在处没有极值。求极值的步骤:（1）求导数（2）求驻点，即求方程的根；（3）考察在每个驻点的左、右的的正负号，判断极值点；例1（4）求极值。 求函数的极值。解 （1）（2）令，求得驻点，。（3）由来确定的符号：当在1的左侧邻近时，所以；当在1的右侧邻近时，所以；因而，按定理2，函数在处取得极大值，同理，函数在处取得极小值。（4）算出极大值，极小值。函数求极值的第二种充分条件定理3 设函数在处具有二阶导数且，那末（a）当时，函数在处取得极大值；（b）当时，函数在处取得极小值。证 在情形（1），由于，按二阶导数的定义有根据函数极限的局部保号性，当在的足够小的去心邻域内时，但，所以上式即从而知道，对于这去心邻域内的x来说，与符号相反。因此，当即时，；当即时，。于是根据定理2知道，在点处取得极大值。类似地可以证明情形（2）。定理3表明，如果函数在驻点处的二阶导数，那末该驻点一定是极值点，并且可以按二阶导数的符号来判定是极大值还是极小值。注意：若，在处不一定取极值，仍用定理2判别。例2 求函数的极值解 （1）（2）令，求得驻点，（3）（4）因，在处取得极小值，极小值为。（5）因，用定理3无法判别。考察一阶导数在驻点及左右邻近的符号：当以1左侧邻近的值时，；当以1右侧邻近的值时，；因为的符号没有改变，所以在处没有极值。同理，在处也没有极值（图311）。注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,（函数在不可导点处的极值判定）例3 函数，如图在处不可导，但函数在处取得极小值。故点是函数的极小值例4 求函数的极值。解 当时，当时，不存在。当时，即在（，2）和（2，）内的各点处，都存在，且。根据定理1，在这两个区间内没有极值点，事实上，在（，2）内，函数单调增加；在（2，）内，函数单调减少。当时，不存在，但函数在该点连续，再由上面得到的函数的单调性，可知是函数的极大值。这两例所反映的事实说明：函数的不可导点，也是函数可疑的极值点，在讨论函数的极值时，应予以考虑。二、函数的最值1、闭区间上连续函数的最值如果函数在闭区间上连续，据闭区间上连续函数的最值定理，在上取得最小值与最大值 。如图，若在开区间内部取得最值，那么最值一定也是函数的极值，在这些极值点处函数的导数为零或导数不存在。另外，函数的最值也可能会在区间的端点处取得。如下例例5 求函数在上的最值。解：因为在上连续，所以在该区间上存在着最大值和最小值，又因为，令 ，得驻点 ，由于比较各值，可得函数的最大值为，最小值为。注意：综上讨论，函数取得最值的点只能是区间的端点或开区间内导数为零、导数不存在的点。计算函数在这些点处的函数值，比较它们的大小就可得到函数的最值。对于非闭区间上定义的函数，它有可能存在着最值，也有可能不存在着最值，这就给求函数最值带来了困难。探讨函数最值，可先求函数的可疑极值点(驻点，导数不存在的点)，并讨论由这些点所形成的区间上函数的单调性，再利用函数的性态来判断函数在这些可疑点处是否有最值。2、实用最值应用问题利用求函数的最值来处理实际问题，有如下几个步骤：（1）、据实际问题列出函数表达式及它的定义区间；（2）、求出该函数在定义区间上的可能极值点(驻点和一阶导数不存在的点)；（3）、讨论函数的单调性，确定函数在可能极值点处是否取得最值。例6试求单位球的内接圆锥体体积最大者的高，并求此体积的最大值。解：设球心到锥底面的垂线长为，则圆锥的高为，圆锥面底面半径为，圆锥体积为由 ,得驻点，在上，函数单增；在上，函数单减，故是函数的最大值点，是函数的最大值。于是最大的体积为，此时的高为。小结：1、基本知识点：极大（小）值，极值的必要条件，驻点，极值的判断（第一、第二充分条件），函数最值的求法2、区分驻点与极值点的关系，第一、第二充分条件的应用条件第四节 曲线的曲率一、曲率的概念设是曲线上两个点,假如曲线在点和点的切线与轴的夹角分别为和,那么,当点从沿曲线变到时,角度改变了,而改变这个角度所经过的路程则是弧长，从图上可见，曲线弧段的弯曲程度与方向改变的大小成正比，与改变这个方向所经过的路程成反比，我们自然就用比值来刻画曲线段上的弯曲程度,称为平均曲率，为了刻画曲线在某点处的曲率，我们有如下定义：定义 为曲线在点A的曲率例1 求半径为R的圆的平均曲率及曲率解：平均曲率 曲率可见，圆上任一点处的曲率都等于圆半径的倒数。因而圆半径越大，曲率越小；圆半径越小，曲率越大。这表明曲率确实反映了曲线的弯曲程度。二、曲率的计算设，二阶可导，由导数任何意义：即 ，则另一方面，（当，的弧长与直线段等价即）故有例2 .求直线的曲率解：因为所以即直线的弯曲程度为零（直线不弯曲）例3 计算抛物线上任意一点处的曲率，并且求出曲率最大处的位置；解：，k最大，分母最小，故2ax+b=0，顶点处曲率最大。第五节 函数图形的描绘为了准确地描绘函数的图形，仅知道函数的增减性、极值和最值是不够的，还应该知道她的弯曲方向以及不同的弯曲方向的分界点一、曲线的凹凸及其判别法1、曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向? （a） （b）定义 设在区间上联系，如果对上任意两点，恒有，那么称在上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有，那么称在上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。2、曲线凹凸的判定定理 设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在内，则在上的图形是凹的；（2）若在内，则在上的图形是凸的。证明 在情形（1），设和为内任意两点，且0，0，所以在上的曲线弧上升而且是凸的。在内0，0，所以在上的曲线弧下降而且是凸的。同样，可以讨论在区间上及在区间上的曲线弧的升降和凹凸。然后列成下表：+0-0+-0+的图形极大拐点极小 （4）由于，；， （5）算出，。从而得到函数图形上的三点、 适当补充一些点，例如，计算出 ，结合（3）、（4）的讨论，就可以画出函数的图形。 例6 描绘函数的图形。解 （1）所给函数=的定义域为（，）。由于 =，所以是偶函数，它的图形关于轴对称。因此可以只讨论上该函数的图形，求出 ， （2）在上，方程=0的根为；方程=0的根为。用点把划分成两个区间和。（3）在内，0，0，所以在上的曲线弧下降而且是凸的。结合以及图形关于轴对称可知，处函数有极大值。在内，0，所以在上的曲线弧下降而且是凹的。上述这些结果可以，可以列成下表：-+的图形极大拐点（4）由于，所以图形有一条水平渐近线。（5）算出，。从而得到函数 图形上的两点和）。又由得）。结合（3）、（4）的讨论，画出函数在上的图形。 最后，利用图形的对性，便可得到函数在上的图形。小结：1、熟悉函数的几个性态如单调性、极值、凹凸性2、熟悉函数水平渐近线、铅值渐进线的确定方法3、熟悉函数作图的一般步骤第六节 一元函数微分学在经济上的应用一、成本函数与收入函数1、成本函数成本函数为某种产品产量为时的总成本，记为生产的产品越多，成本越高，所以成本函数是一个单增函数。对一些产品如汽车、电视机来说，产量是一个整数，所以 的图像由一些离散的点组成（图1）；对煤，电等产品，产量可以连续变化，所以，的图像是一条连续的曲线（图（2）。图（1）图（2）当时，一般不为零，称固定成本。这一部分成本的特点是短期内不随产量的变化而变化，如厂房、设备、管理者的固定工资。而产品中如原材料、劳动者工资这部分成本缩产品的变化而变化的称为变动成本。2、收入函数收入表示售出产品的数量为时所获得的总收入，记为如果价格为常数，则收入图中直线斜率表示价格。一般地，产品供过与求时，产品价格会下落。3、利润函数利润是生产者收入扣除成本的剩余部分，用 表示所以利润也是的函数。二、边际分析1、边际成本在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时总成本的增量，即总成本对产量的变化率。当产量时